Absolutely irreducible

수학(mathematics)에서, 유리수(rational number)에 걸쳐 정의된 다변수 다항식(multivariate polynomial)은 만약 그것이 복소수 필드에 걸쳐 기약(irreducible)이면 절대적 기약(absolutely irreducible)입니다.^[1]^[2]^[3] 예를 들어, $x^{2}+y^{2}-1$ 는 절대적 기약이지만, 반면에 $x^{2}+y^{2}$ 은 정수와 실수에 걸쳐 기약이며, 그것은 $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy)$ 로 복소수에 걸쳐 가약(reducible)이고, 따라서 절대적 기약이 아닙니다.

보다 일반적으로, 필드 K에 걸쳐 정의된 다항식은 만약 그것이 K의 모든 각 대수적 확장에 대해 기약이면, 절대적 기약이고,^[4] 필드 K에서 계수를 갖는 방정식에 의해 정의된 아핀 대수적 집합(affine algebraic set)은 만약 그것이 K의 대수적 닫힌 확장(algebraically closed extension)에서 방정식에 의해 정의된 두 대수적 집합의 합집합이 아니면 절대적 기약입니다. 달리 말해서, 절대적 기약 대수적 집합은 대수적 다양체(algebraic variety:대수 다양체)의 동의어이며,^[5] 이것은 정의되는 방정식의 계수가 대수적으로 닫힌 필드에 속하지 않을 수 있음을 강조합니다.

절대적 기약(Absolutely irreducible)은 역시 대수적 그룹(algebraic group)의 선형 표시(linear representation)와 같은 의미와 함께 적용됩니다.

모든 경우에서, 절대적 기약인 것은 바닥 필드(ground field)의 대수적 클로저(algebraic closure)에 걸쳐 기약인 것과 같습니다.

Examples

2보다 크거나 같은 차수의 일변수 다항식은 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)로 인해 결코 대수적으로 기약이 아닙니다.
원래 유리수(rational number)의 필드에 걸쳐 정의된 차수 6의 대칭 그룹(symmetric group) S₃의 기약 이-차원 표시는 절대적으로 기약입니다.
평면에서 회전에 의한 원 그룹(circle group)의 표시는 (실수의 필드에 걸쳐) 기약이지만, 절대적으로 기약은 아닙니다. 필드를 복소수로 확장한 후에, 그것은 둘의 기약 성분으로 분리됩니다. 이것은 기대된 것인데, 왜냐하면 원 그룹은 교환적(commutative)이고 대수적으로 닫힌 필드에 걸쳐 교환 그룹의 모든 기약 표시가 이-차원이라는 것이 알려져 있습니다.
다음 방정식에 의해 정의된 실수 대수적 다양체는

x^{2}+y^{2}=1

절대적으로 기약입니다.^[3] 그것은 실수에 걸쳐 보통의 원(circle)이고 복소수의 필드에 걸쳐 기약 원뿔 단면(conic section)으로 남습니다. 절대 기약성은 보다 일반적으로 특성(characteristic) 2가 아닌 임의의 필드에 걸쳐 유지됩니다. 특성 2에서, 방정식은 (x + y −1)² = 0와 동등합니다. 따라서 그것은 비-축소된(non-reduced) 스킴(scheme)인 이중 직선 x + y =1을 정의합니다.

다음 방정식에 의해 주어진 대수적 다양체는

x^{2}+y^{2}=0

절대적으로 기약이 아닙니다. 실제로, 왼쪽 변은 다음으로 인수화될 수 있습니다:

x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),

여기서

i

는 −1의 제곱근입니다.

그러므로, 이 대수적 다양체는 원점에서 교차하는 두 개의 직선으로 구성되고 절대적으로 기약이 아닙니다. 이것은 만약 −1이 제곱이면, 바닥 필드에 걸쳐 이미 유지되거나, i를 인접함으로써 얻어진 이차 확장에 걸쳐 유지됩니다.

References

^ Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Academic Press, p. 10, ISBN 9780080873329.
^ Grabmeier, Johannes; Kaltofen, Erich; Weispfenning, Volker (2003), Computer Algebra Handbook: Foundations, Applications, Systems, Springer, p. 26, ISBN 9783540654667.
^ ^a ^b Tucker, Allen B. (2004), Computer Science Handbook (2nd ed.), CRC Press, pp. 8–17 – 8-18, ISBN 9780203494455.
^ Stepanov, Serguei A. (1994), Arithmetic of Algebraic Curves, Monographs in Contemporary Mathematics, Springer, p. 53, ISBN 9780306110368.
^ Niederreiter, Harald; Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton University Press, p. 47, ISBN 9781400831302.

[1] Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Academic Press, p. 10, ISBN 9780080873329.

[2] Grabmeier, Johannes; Kaltofen, Erich; Weispfenning, Volker (2003), Computer Algebra Handbook: Foundations, Applications, Systems, Springer, p. 26, ISBN 9783540654667.

[tucker-3] Tucker, Allen B. (2004), Computer Science Handbook (2nd ed.), CRC Press, pp. 8–17 – 8-18, ISBN 9780203494455.

[4] Stepanov, Serguei A. (1994), Arithmetic of Algebraic Curves, Monographs in Contemporary Mathematics, Springer, p. 53, ISBN 9780306110368.

[5] Niederreiter, Harald; Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton University Press, p. 47, ISBN 9781400831302.

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