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Almost surely

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(Redirected from Almost always)
Original article: w:Almost surely
"Almost never" redirects here. For the Biota album, see Almost Never. For the British television series, see Almost Never (TV series).
"Probability 1" redirects here. For Rudolf Carnap's notion of "probability1", see Probability interpretations.

확률 이론(probability theory)에서, 사건(event)은 만약 그것이 확률 1 (또는 르베그 측정(Lebesgue measure) 1)로 발생하면 거의 확실하게 (때때로 a.s.로 축약됨) 발생된다고 말합니다.[1] 다시 말해서, 가능한 예외 집합은 비-빈일 수 있지만, 그것은 확률 0을 가집니다. 그 개념은 측정 이론(measure theory)에서 "거의 모든 곳(almost everywhere)"의 개념과 유사합니다.

유한 표본 공간(sample space) 위에 확률 실험에서, 종종 거의 확실한과 확실한 사이의 차이가 없습니다 (왜냐하면 확률 1을 갖는 것은 종종 모든 표본 점(sample points)을 포함하는 것을 수반하기 때문입니다). 어쨌든, 이 구분은 표본 공간(sample space)이 무한 집합(infinite set)일 때 중요해지는데,[2] 왜냐하면 무한 집합은 확률 0의 비-빈 부분집합을 가질 수 있기 때문입니다.

이 개념을 사용하는 몇 가지 예제는 강력하고 균등 큰 숫자의 법칙(law of large numbers)과 브라운 운동(Brownian motion) 경로의 연속성을 포함합니다.

용어 거의 틀림없이 (almost certainly, 줄여서 a.c.) 및 거의 항상 (almost always, 줄여서 a.a.)은 역시 사용됩니다. 거의 하지 않음(almost never)은 거의 확실함의 반대를 설명합니다: 확률이 영을 갖는 사건은 거의 발생하지 않습니다.[3]

Formal definition

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},P)} 를 확률 공간(probability space)으로 놓습니다. 사건(event) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E \in \mathcal{F}} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(E)=1} 이면 거의 확실하게 발생합니다. 동등하게, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E} 는 발생하지 않는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E} 의 확률이 영(zero): Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(E^C) = 0} 이면 거의 확실하게 발생합니다. 보다 일반적으로, (반드시 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} 안에 있지는 않은) 임의의 사건 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E \subseteq \Omega} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E^C} 가 널 집합(null set): Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(N)=0} 를 만족하는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \mathcal F} 에서 부분집합 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle N} 에 포함되면 거의 확실하게 발생합니다.[4] 거의 확실성의 개념은 확률 측정 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P} 에 의존합니다. 만약 이 의존성을 강조할 필요가 있으면, 사건 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle E} 가 P-거의 확실한, 또는 거의 확실하게 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left(\!P\right)} 발생한다고 말하는 것이 관례입니다.

Illustrative examples

일반적으로, 문제에서 확률 공간은 사건에 속하지 않는 결과를 포함하더라도, 사건은 "거의 확실하게" 발생할 수 있습니다–아래 예제에서 설명됩니다.

Throwing a dart

단위 정사각형 (1의 넓이를 갖는 정사각형)에 다트를 던지면 다트가 항상 정사각형의 정확한 지점에 맞도록 하여 정사각형에서 각 지점이 맞을 확률이 같게 된다고 상상해 보십시오. 정사각형의 넓이가 1이므로, 다트가 정사각형의 임의의 특정 부분영역을 맞출 확률은 해당 부분영역의 넓이와 같습니다. 예를 들어, 오른쪽 절반이 넓이 0.5를 가지므로 다트가 정사각형의 오른쪽 절반을 맞출 확률은 0.5입니다.

다음으로, 다트가 단위 정사각형의 대각선에 있는 한 점에 정확히 맞을 사건을 생각해 보십시오. 정사각형의 대각선의 넓이는 0이므로, 다트가 대각선에 정확하게 맞출 확률은 0입니다. 즉, 비록 대각선 위의 점의 집합이 비어 있지 않고, 대각선 위의 한 점이 임의의 다른 점보다 덜 가능하지는 않을지라도, 다트는 대각선 위에 거의 떨어지지 않습니다 (동등하게, 그것은 대각선 위에 거의 확실하게 떨어지지 않습니다).

Tossing a coin repeatedly

확률 공간 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\{H,T\}, 2^{\{H, T\}}, P)} 에 해당하는 (아마도 편향된) 동전을 던지는 경우를 생각해 보는데, 여기서 사건 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \{H\}} 는 앞면이 던지지면 발생하고, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \{T\}} 는 뒷면이 던져지면 발생합니다. 이 특별한 동전에 대해 앞면이 던져질 확률이 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(H) = p\in (0,1)} 이을 가져하며, 이것으로부터 여사건, 뒷면이 던져질 사건은 확률 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(T) = 1 - p} 를 가질 것임이 따릅니다.

이제, 동전이 반복적으로 던져지는 실험이 수행되었고, 결과는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \omega_1,\omega_2,\ldots} 이고 각 던짐의 결과가 다른 모든 것들에 대해 독립적이라는 가정합니다 (즉, 그것들은 독립적이고 동일하게 분포됩니다; i.i.d). 동전 던지기 공간에서 확률 변수의 수열, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (X_i)_{i\in\mathbb{N}}} 를 정의합니다. 즉, 각 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle X_i} 는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle i} -번째 던짐의 결과를 기록합니다.

이 경우에서, 앞면과 뒷면의 임의의 무한 수열은 실험의 가능한 결과입니다. 어쨌든, 앞면과 뒷면의 특정 임의의 특정 무한 수열은 (무한) 실험의 정확한 결과가 될 확률 0을 가집니다. 이것은 i.i.d. 가정이 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle n} 던짐에 걸쳐 모든 앞면을 뒤집을 확률이 단순히 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(X_i = H, \ i=1,2,\dots,n)=\left(P(X_1 = H)\right)^n = p^n} 임을 의미하기 때문입니다. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle n\rightarrow\infty} 이 0을 산출한다고 놓는데, 왜냐하면 가정에 의해 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p\in (0,1)} 이기 때문입니다. 우리가 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p} 를 엄격하게 0과 1 사이에 있도록 제한하는 한, 그 결과는 우리가 동전을 앞면으로 향하도록 얼마나 편향됨에 상관없이 같습니다. 사실, 같은 결과는 심지어 비-표준 해석학에서도 유지됩니다–여기서 무한소 확률이 허용되지 않습니다.[5]

게다가, 사건 "적어도 한번 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle T} 를 포함할 던짐의 수열"은 역시 거의 확실하게 일어날 것입니다 (즉, 확률 1을 가집니다). 그러나 만약 무한 던짐의 횟수 대신에, 던짐이 어떤 유한 횟수, 말하자면 1,000,000 던짐 후에 중지되면, 모든-앞면 수열을 얻을 확률, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p^{1,000,000}} 은 더 이상 0이 아니지만, 적어도 하나의 뒷면을 얻을 확률, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 1 - p^{1,000,000}} 은 더 이상 1이 아닙니다 (즉, 사건은 더 이상 거의 확실하지는 않습니다).

Asymptotically almost surely

점근적 해석(asymptotic analysis)에서, 속성은 만약 집합의 수열에 걸쳐, 확률이 1로 수렴하면 점근적으로 거의 확실하게(asymptotically almost surely, 줄여서 a.a.s.) 유지된다고 말합니다. 예를 들어, 숫자 이론에서, 큰 숫자는 소수 정리(prime number theorem)에 의해 점근적으로 거의 확실하게 합성(composite)됩니다; 그리고 확률 그래프 이론(random graph theory)에서, 명제 "Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle G(n,p_n)} 는 연결됩니다" (여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle G(n,p)} 는 가장자리 확률 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p} 를 갖는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle n} 꼭짓점에 대한 그래프를 나타냅니다)는 일부 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \varepsilon > 0} 에 대해 다음일 때, 정확히 a.a.s.입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle p_n > \frac{(1+\varepsilon) \ln n} n.}    [6]

숫자 이론(number theory)에서, 이것은 "거의 모든 숫자가 합성수입니다"에서 처럼 "거의 모든(almost all)"으로 참조됩니다. 유사하게, 그래프 이론에서, 이것은 때때로 "거의 확실하게"로 참조됩니다.[7]

See also

Notes

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Almost Surely". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-16.
  2. ^ "Almost surely - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Retrieved 2019-11-16.
  3. ^ Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Finite Model Theory and Its Applications. Springer. p. 232. ISBN 978-3-540-00428-8.
  4. ^ Jacod, Jean; Protter (2004). Probability Essentials. Springer. p. 37. ISBN 978-3-540-438717.
  5. ^ Williamson, Timothy (2007-07-01). "How probable is an infinite sequence of heads?". Analysis. 67 (3): 173–180. doi:10.1093/analys/67.3.173. ISSN 0003-2638.
  6. ^ Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (January 2006). "A Sharp Threshold for Random Graphs with a Monochromatic Triangle in Every Edge Coloring". Memoirs of the American Mathematical Society. 179 (845). AMS Bookstore: 3–4. doi:10.1090/memo/0845. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933.
  7. ^ Spencer, Joel H. (2001). "0. Two Starting Examples". The Strange Logic of Random Graphs. Algorithms and Combinatorics. Vol. 22. Springer. p. 4. ISBN 978-3540416548.

References

  • Rogers, L. C. G.; Williams, David (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales. Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press. ISBN 978-0521775946.
  • Williams, David (1991). Probability with Martingales. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 978-0521406055.

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