Almost prime

숫자 이론(number theory)에서, 자연수는 만약 그것이 k 소수 인수를 가지면 k-거의 소수(k-almost prime)라고 불립니다.^[1]^[2]^[3] 보다 형식적으로, 숫자 n이 k-거의 소수인 것과 만약 Ω(n) = k인 것은 필요충분 조건이며, 여기서 Ω(n)은 n의 소수 인수분해(prime factorization)에서 소수의 총 개수입니다 (역시 모든 소수의 지수의 합으로 볼 수 있습니다):

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

따라서 자연수가 소수인 것과 1-거의 소수인 것은 필요충분 조건이고, 반-소수인 것과 그것이 2-거의 소수인 것은 필요충분 조건입니다. k-거의 소수의 집합은 보통 P_k에 의해 표시됩니다. 가장 작은 k-거의 소수는 2^k입니다. 처음 몇 개의 k-거의 소수는 다음과 같습니다:

k	k-almost primes	OEIS sequence
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	A069276
16	65536, 98304, 147456, …	A069277
17	131072, 196608, 294912, …	A069278
18	262144, 393216, 589824, …	A069279
19	524288, 786432, 1179648, …	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296, …	A069281

정확히 k 개의 소수 약수 (반드시 구별되지는 않음)를 갖는 n 보다 작거나 같은 양의 정수의 숫자 π_k(n)은 다음과 같은 란다우(Landau)의 결과로^[4] 점근적(asymptotic)입니다:^[5]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

역시 하디-라마누젠 정리(Hardy–Ramanujan theorem)를 참조하십시오.

Properties

$k_{1}$ -거의 소수와 $k_{2}$ -거의 소수의 배수는 $(k_{1}+k_{2})$ -거의 소수입니다.
$k$ -거의 소수는 모든 $n>k$ 에 대해 인수로 $n$ -거의 소수를 가질 수 없습니다.

References

^ Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. p. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.
^ Rényi, Alfréd A. (1948). "On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (in Russian). 12 (1): 57–78.
^ Heath-Brown, D. R. (May 1978). "Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357–375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657. S2CID 122691474.
^ Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. "§ 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ". Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Vol. 1. Chelsea Publishing Company. p. 211.
^ Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.

External links

Weisstein, Eric W. "Almost prime". MathWorld.

[1] Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. p. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.

[2] Rényi, Alfréd A. (1948). "On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (in Russian). 12 (1): 57–78.

[3] Heath-Brown, D. R. (May 1978). "Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357–375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657. S2CID 122691474.

[4] Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. "§ 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ". Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Vol. 1. Chelsea Publishing Company. p. 211.

[5] Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.

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