Angle bisector theorem

기하학(geometry)에서, 각도 이등분 정리(angle bisector theorem)는 삼각형(triangle)의 변이 대각을 이등분(bisection)하는 직선에 의해 나누어지는 두 부분의 상대적인 길이(length)와 관련시킵니다. 그것은 그들의 상대적인 길이를 삼각형의 다른 두 변의 상대적인 길이와 같게 합니다.

Theorem

삼각형 ABC를 생각해 보십시오. 각도 A의 각도 이등분선(angle bisector)이 B와 C 사이의 점 D에서 변 BC와 교차(intersection)하게 놓습니다. 각도 이등분 정리는 선분(line segment) DC에 대한 선분 BD의 길이의 비율이 변 AC의 길이에 대한 변 AB의 길이의 비율과 같음을 말합니다:

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},

그리고 역으로(conversely), 만약 삼각형 ABC의 변 BC 위의 점 D가 변 AB와 AC와 같은 비율로 BC를 나누면, AD는 각도 ∠ A의 각도 이등분선입니다.

일반화된 각도 이등분선 정리는, 만약 D가 직선 BC 위에 놓이면, 다음임을 말합니다:

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.

이것은, 만약 AD가 ∠ BAC의 이등분선이면 이전 버전으로 축소됩니다. D가 변 BC의 바깥에 있을 때, 방향화된 선분 및 방향화된 각도가 반드시 계산에서 사용되어야 합니다.

각도 이등분선 정리는 각도 이등분선과 변의 길이를 알고 있을 때 공통적으로 사용됩니다. 그것은 계산 또는 증명에서 사용될 수 있습니다.

그 정리의 즉각적 결과는 이등변 삼각형의 꼭짓점 각도의 각도 이등분선은 대변을 역시 이등분할 것입니다.

Proofs

Proof 1

위의 그램에서, 삼각형 ABD 및 ACD에 대한 사인의 법칙(law of sines)을 사용하십시오:

{\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}

(1)

{\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}

(2)

각도 ∠ BDA 및 ∠ ADC는 선형 쌍을 형성하며, 즉, 그들은 인접한 보충 각도(supplementary angles)입니다. 보충 각도는 같은 사인을 가지므로,

{\sin \angle BDA}={\sin \angle ADC}.

각도 ∠ BAD와 ∠ DAC는 같습니다. 그러므로, 방정식 (1)과 (2)의 오른쪽 변은 같으므로, 그들의 왼쪽 변도 반드시 역시 같아야 합니다.

{\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},

이것이 각도 이등분선 정리입니다.

만약 각도 ∠ BAD와 ∠ DAC가 같지 않으면, 방정식 (1)와 (2)은 다음으로 다시-쓸 수 있습니다:

{{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA},

{{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.

각도 ∠ BDA와 ∠ ADC는 여전히 보충-각이므로, 그들 방정식의 오른쪽 변은 여전히 같습니다. 그러므로 우리는 다음을 얻습니다:

{{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC},

이것은 정리의 "일반화된" 버전으로 다시-정렬된 것입니다.

Proof 2

D를 직선 BC 위의 한 점, B 또는 C는 같지 않고 AD가 삼각형 ABC의 고도(altitude)가 아닌 것을 만족하도록 놓습니다.

B₁을 B를 통과하는 삼각형 ABD에서 고도의 밑 (발)으로 놓고 C₁을 C를 통과하는 삼각형 ACD에서 고도의 밑으로 놓습니다. 그런-다음, 만약 D는 B와 C 사이에 엄격한 것이면, B₁ 또는 C₁의 하나, 오직 하나가 삼각형 ABC의 안에 놓이고, 우리는 B₁이 그런 것으로 일반성의 손실 없이(without loss of generality) 가정할 수 있을 것입니다. 이 경우는 인접한 그림에 나와 있습니다. 만약 D가 선분 BC 외부에 놓이면, B₁과 C₁ 어떤 것도 삼각형 안에 놓이지 않습니다.

∠ DB₁B와 ∠ DC₁C는 직각이고, 반면에 각도 ∠ B₁DB 및 ∠ C₁DC는, 만약 D가 선분 BC 위에 (즉, B와 C 사이에) 놓이면, 일치하고 그들은 고려되어야 할 다른 경우에서 같으므로, 삼각형 DB₁B 및 DC₁C는 닮았으며 (AAA), 이것은 다음임을 의미합니다:

{\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.

만약 D가 고도의 발이면,

{\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ and }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,

그리고 일반화된 형식을 따릅니다.

History

각도 이등분선 정리는 유클리드의 원론에서 책 VI의 제안 3으로 나타납니다. Heath (1956, p. 197 (vol. 2))에 따르면, 외부 각도 이등분선에 대한 해당하는 명제는 로버트 심슨(Robert Simson)에 의해 제공되었으며, 그는 파푸스(Pappus)가 증명없이 이 결과를 가정했었다고 주장했습니다. 헬스는 오거스터스 드모르간(Augustus De Morgan)은 두 명제는 다음으로 결합해야 한다고 제안했었다고 이어서 말합니다:

만약 삼각형의 각도가 대변 또는 연장된 대변을 자르는 직선에 의해 내부 또는 외부에서 이등분되면, 그 변의 선분은 삼각형의 다른 변과 같은 비율을 가질 것입니다; 그리고, 만약 삼각형의 한 변이 삼각형의 다른 변과 같은 비율을 갖도록 삼각형의 내부 또는 외부로 나뉘면, 단면의 점에서 첫 번째 언급된 변과 반대되는 각도 점으로 그려진 직선은 그 각도 점에서 내부 또는 외부 각도를 이등분할 것입니다.

Exterior angle bisectors

비-등변 삼각형에서 외각 이등분선에 대해, 삼각형 변의 길이의 비율에 대한 유사한 방정식이 있습니다. 보다 정확하게, 만약 $A$ 에서 외부 각도 이등분선은 $E$ 에서 연장된 변 $BC$ 와 교차하고, $B$ 에서 외부 각도 이등분선은 $D$ 에서 연장된 변 $AC$ 와 교차하고 $C$ 에서 외부 각도 이등분선이 $F$ 에서 연장된 변 $AB$ 와 교차하면, 다음 방정식은 유지됩니다:^[1]

{\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}

,

{\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}

,

{\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}

외부 각도 이등분선과 연장된 삼각형 변 $D$ , $E$ 및 $F$ 사이의 세 교차점은 같은-직선 위에 있으며, 즉, 그들은 공통 직선 위에 놓입니다.^[2]

Notes

^ Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, ISBN 9781930190856, pp. 3-4
^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).

References

Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

External links

[1] Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, ISBN 9781930190856, pp. 3-4

[2] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).

[1]

[2]