Apollonian circles

Original article: wikipedia:Apollonian circles

This article is about a family of circles sharing a radical axis, and the corresponding family of orthogonal circles. For other circles associated with Apollonius of Perga, see circles of Apollonius.

Some Apollonian circles. Every blue circle intersects every red circle at a right angle. Every red circle passes through the two points, C and D, and every blue circle separates the two points.

기하학(geometry)에서, 아폴로니우스 원(Apollonian circles)은 첫 번째 가족에서 모든 각 원이 두 번째 가족에서 모든 각 원과 직교적(orthogonally)으로 교차하고, 그 반대도 마찬가지임을 만족하는 두 원(circles)의 가족 (연필)입니다. 이들 원은 양-극 좌표(bipolar coordinates)에 대해 기저를 형성합니다. 그것들은 그리스의 유명한 기하학자, 페르가의 아폴로니우스에 의해 발견되었습니다.

Definition

아폴로니우스 원은 CD로 표시된 선분(line segment)에 의해 두 가지 다른 방법으로 정의됩니다.

첫 번째 가족에서 각 원 (그림에서 파란색 원)은 양의 실수 r과 결합되고, X에서 C와 D까지의 거리의 비율이 r과 같음을 만족하는 점 X의 궤적으로 정의됩니다:

$\left\{X\mid {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.$

r이 영에 가까운 값에 대해, 해당하는 원이 C에 가깝고, 반면에 r이 ∞에 가까운 값에 대해, 해당하는 원이 D에 가깝습니다; 중간 값 r = 1에 대해, 원이 CD의 수직 이등분선, 직선으로 퇴화됩니다. 이들 원을 궤적으로 정의하는 방정식은 더 큰 가중값의 점 집합의 페르마-아폴로니우스 원(Fermat–Apollonius circles)을 정의하기 위해 일반화될 수 있습니다.

두 번째 가족에서 각 원 (그림에서 빨간색 원)은 각도 θ와 결합되고, 내접 각도(inscribed angle) CXD가 θ와 같음을 만족하는 점 X의 궤적으로 정의됩니다:

$\left\{X\mid \;C{\hat {X}}D\;=\theta \right\}.$

0에서 π까지 θ를 스캔하면 두 점 C와 D를 통과하는 모든 원의 집합을 생성합니다.

모든 빨간색 원이 교차하는 두 점은 파란색 가족에서 원 쌍의 극한하는 점(limiting points)입니다.

Bipolar coordinates

Main article: Bipolar coordinates

주어진 파란색 원과 주어진 빨간색 원은 두 점에서 교차합니다. 양-극 좌표(coordinates)를 얻기 위해, 어느 지점이 옳은지 지정하는 방법이 요구됩니다. 등각 원호는 주어진 벡터의 방향화된 각도 아래에서 점 C와 D를 보는 점 X의 궤적입니다. 즉,

$\operatorname {isopt} (\theta )=\{X\mid \angle ({\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}})=\theta +2k\pi \}.$

그러한 호는 빨간색 원에 포함되고 점 C와 D로 경계집니다. 해당하는 빨간색 원의 남아있는 부분은 $\operatorname {isopt} (\theta +\pi )$입니다. 우리가 정말로 전체 빨간 원을 원할 때, 직선의 방향화된 각도를 사용하는 설명은 사용되어야 합니다:

${\rm {full\;red\;circle}}=\{X\mid \angle ({\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}})=\theta +k\pi \}$

Pencils of circles

Main article: Pencil (mathematics) § Pencil of circles

아폴로니우스 원의 두 가족은 원의 연필(pencils of circles)입니다. 각각은 연필 생성기라고 불리는 임의의 두 구성원에 의해 결정됩니다. 구체적으로 특히, 하나는 정확히 두 점 (C와 D)에서 서로를 통과하는 두 개의 생성기에 의해 정의되는 타원형 연필 (그림에서 빨간색 원 가족)입니다. 다른 하나는 임의의 점에서 서로 교차하지 않는 두 개의 생성기에 의해 정의되는 쌍곡형 연필 (그림에서 파란색 원 가족)입니다.

Radical axis and central line

연필 안에 있는 이들 원 중 두 개는 같은 근의 축(radical axis)을 가지고, 연필 안의 모든 원은 공선형(collinear) 중심을 가집니다. 같은 가족에서 임의의 세 개 이상의 원은 동축 원(coaxial circles 또는 coaxal circles)이라고 불립니다.

두 점 C와 D를 통과하는 원의 타원형 연필 (그림에서 빨간색 원의 집합)은 직선 CD를 근의 축으로 가집니다. 이 연필에서 원의 중심은 CD의 수직 이등분선 위에 놓입니다. 점 C와 D로 정의된 쌍곡형 연필 (파란 원들)은 직선 CD의 수직 이등분선 위에 근의 축을 가지고, 모든 그것의 원은 직선 CD 위에 중심을 둡니다.

Inversive geometry, orthogonal intersection, and coordinate systems

원 반전(Circle inversion)은 원을 원으로, 및 원의 연필을 원의 연필로 매핑하는 방법으로 평면을 변환합니다. 연필의 유형은 보존됩니다: 타원형 연필의 반전은 또 다른 타원형 연필이고, 쌍곡형 연필의 반전은 또 다른 쌍곡형 연필이고, 포물형 연필의 반전은 또 다른 포물형 연필입니다.

아폴로니우스 원에서 모든 각 파란색 원이 모든 각 빨간색 원과 직교적으로, 즉 직각(right angle)에서 교차한다는 반전을 사용하여 비교적 쉽게 표시할 수 있습니다. 점 C를 중심으로 둔 원에 관한 파란색 아폴로니우스 원의 반전은 점 D의 이미지를 중심으로 둔 동심원의 연필을 초래합니다. 같은 반전은 빨간색 원을 모두 D의 이미지를 포함하는 직선의 집합으로 변환합니다. 따라서, 이 반전은 아플로니우스 원에 의해 정의된 양-극 좌표 시스템(bipolar coordinate system)을 극 좌표 시스템(polar coordinate system)으로 변환합니다. 분명하게, 변환된 연필은 직각에서 만납니다. 반전은 등각 변환(conformal transformation)이기 때문에, 그것은 변환하는 곡선 사이의 각도를 보존하므로, 원래 아폴로니우스 원도 직각에서 만납니다.

대안적으로, 두 연필의 직교 속성은 연필 P의 근의 축 위에 임의의 점 X에서 X에서 P에서 각 원까지의 접선 길이가 모두 같다는 근의 축의 정의하는 속성을 따릅니다. 이로부터 길이가 이 접선과 같은 X를 중심으로 하는 원은 P의 모든 원과 수직으로 교차합니다. 같은 구성이 P의 근의 축 위에 각 X에 대해 적용될 수 있으며, P에 수직인 원의 또 다른 연필을 형성합니다.

보다 일반적으로, 모든 각 원 연필에 대해, 첫 번째 연필에 수직인 원으로 구성된 고유한 연필이 존재합니다. 만약 한 연필이 타원형이면, 그것의 수직 연필은 쌍곡형이고, 그 반대도 마찬가지입니다; 이 경우에서, 두 연필은 일련의 아폴로니우스 원을 형성합니다. 포물형 연필에 수직인 원의 연필도 포물형입니다; 그것은 같은 공통 접점을 가지지만 해당 점에 수직 접선을 갖는 원으로 구성됩니다.

Physics

아폴로니우스 궤적은 광자 파동 또는 결합된 폴라리톤 파동과 같은 간섭 또는 결합 필드를 포함하는 일부 물리적 시스템에서 꼭짓점 코어 또는 기타 정의된 상태에 의해 움직이는 것으로 나타났습니다. 궤적은 블로흐 구(Bloch sphere)에서 전체 파동 함수의 Rabi 회전과 관찰이 이루어지는 실제 공간의 아폴로니우스 원 사이의 동형 매핑에서 발생합니다.

See also

• Apollonius of Perga
• Greek mathematics

References

• Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, Mathematical World, vol. 26, American Mathematical Society, pp. 57–62, ISBN 978-0-8218-4323-9.
• Pfeifer, Richard E.; Van Hook, Cathleen (1993), "Circles, Vectors, and Linear Algebra", Mathematics Magazine, 66 (2): 75–86, doi:10.2307/2691113, JSTOR 2691113.
• Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dover, pp. 8–10.
• Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, Springer, pp. 40–43.
• Ogilvy, C. Stanley (1990), Excursions in Geometry, Dover, ISBN 0-486-26530-7.

External links

• Weisstein, Eric W. "Coaxal Circles". MathWorld.
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. p. 31