Bitangent

수학(mathematics)에서, 곡선(curve) C에 대한 쌍접선은 두 개의 다른 점 P와 Q에서 C와 접촉하고 이들 점에서 C와 같은 방향을 가지는 직선 L입니다. 즉, L은 P와 Q에서 접선(tangent line)입니다.

Bitangents of algebraic curves

일반적으로, 대수적 곡선(algebraic curve)은 무한하게 많은 가름선(secant line)을 가지지만, 오직 유한하게 많은 쌍접선을 가질 것입니다.

베주의 정리(Bézout's theorem)는 쌍접선을 갖는 평면 곡선(plane curve)은 차수 적어도 4를 가져야 함을 의미합니다. 사차의 28 쌍접선(28 bitangents of a quartic)의 경우는 19세기의 유명한 기하학의 부분이었으며, 관계는 삼차 곡면(cubic surface) 위의 27 직선에 대해 보여줍니다.

Bitangents of polygons

둘의 서로소 볼록 다각형(convex polygon)의 넷의 쌍접선은 이진 검색(binary search)을 기반으로 한 알고리듬에 의해 효과적으로 찾아질 수 있으며, 이것에서 이진 검색 포인터를 각 다각형의 가장자리의 목록에 유지하고 두 포인터에서 가장자리에 대한 접선이 서로 교차하는 위치에 따라 각 단계에서 포인터 중 하나를 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동합니다. 이 쌍접선 계산은 볼록 껍질(convex hull)을 동적(dynamically)으로 유지하기 위한 데이터 구조에서 핵심 서브루틴입니다 (Overmars & van Leeuwen 1981). Pocchiola and Vegter (1996a, 1996b)는 유사-삼각분할(pseudotriangulation)을 기반으로 하는 기법을 사용하여 여러 서로소 볼록 곡선의 시스템에서 다른 곡선의 어떤 것과도 교차하지 않는 모든 쌍접선 선분을 효율적으로 나열하는 알고리듬을 설명합니다.

쌍접선은 유클리드 최단 경로(Euclidean shortest path) 문제를 풀기 위한 가시성 그래프(visibility graph) 접근법의 속도를 높이기 위해 사용될 수 있습니다: 다각형 장애물 모음 사이에 최단 경로는 오직 그것의 쌍접선의 하나를 따라 장애물의 경계를 들어오거나 나갈 수 있으므로, 최단 경로는 쌍접선 위에 놓인 가시성 가장자리에 의해 형성된 가시성 그래프의 부분-그래프(subgraph)에 데이크스트라의 알고리듬(Dijkstra's algorithm)을 적용함으로써 발견될 수 있습니다 (Rohnert 1986).

Related concepts

쌍접선은 가름선(secant line)이 교차하는 두 점에서 곡선을 교차할 수 있다는 점에서 가름선과 다릅니다. 우리는 역시 직선이 아닌 쌍접선을 고려할 수 있습니다; 예를 들어, 곡선의 대칭 집합(symmetry set)은 두 점에서 곡선에 접하는 원의 중심의 궤적입니다.

원의 쌍에 대한 쌍접선(Bitangents to pairs of circles)은 야코프 슈타이너(Jakob Steiner)의 말파티 원(Malfatti circles)의 1826년 구성, 두 개의 풀리를 연결하는 벨트의 길이를 계산하는 벨트 문제(belt problem), 공통 접선 원을 갖는 넷의 원의 집합을 특성화하는 케이시의 정리(Casey's theorem), 및 특정 쌍접선의 교점의 같은 직선 성질에 대한 몽주의 정리(Monge's theorem)에서 두드러지게 나타납니다.

References

Overmars, M. H.; van Leeuwen, J. (1981), "Maintenance of configurations in the plane", Journal of Computer and System Sciences, 23 (2): 166–204, doi:10.1016/0022-0000(81)90012-X, hdl:1874/15899.
Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996a), "The visibility complex", International Journal of Computational Geometry and Applications, 6 (3): 297–308, doi:10.1142/S0218195996000204, Preliminary version in Ninth ACM Symposium on Computational Geometry (1993) 328–337]., archived from the original on 2006-12-03, retrieved 2007-04-12.
Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996b), "Topologically sweeping visibility complexes via pseudotriangulations", Discrete and Computational Geometry, 16 (4): 419–453, doi:10.1007/BF02712876.
Rohnert, H. (1986), "Shortest paths in the plane with convex polygonal obstacles", Information Processing Letters, 23 (2): 71–76, doi:10.1016/0020-0190(86)90045-1.