Codimension

Original article: w:Codimension

수학(mathematics)에서, 여차원(codimension)은 벡터 공간(vector spaces)에서 부분공간(subspaces), 매니폴드(manifolds)에서 부분매니폴드(submanifolds), 대수적 다양체(algebraic varieties)의 적합한 부분집합(subsets)에 적용되는 기본 기하학적 개념입니다.

아핀(affine)과 투영 대수적 다양체(projective algebraic varieties)에 대해, 여차원은 정의하는 아이디얼(ideal)의 높이(height)와 같습니다. 이러한 이유로, 아이디얼의 높이는 종종 그것의 여차원이라고 말합니다.

이중 개념은 상대적 차원(relative dimension)입니다.

Definition

여차원은 상대적인 개념입니다: 그것은 또 다른 대상 내부의 한 대상에 대해서만 정의됩니다. "(고립에서) 벡터 공간의 여차원"은 없으며, 벡터 부분공간의 여차원만 있습니다.

만약 W가 유한-차원(finite-dimensional) 벡터 공간(vector space) V의 선형 부분공간(linear subspace)이면, V에서 W의 여차원(codimension)은 차원 사이의 차이입니다:

$\operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).$

W의 차원과 함께 주변 공간(ambient space) V의 차원을 더한다는 점에서 W의 차원의 여입니다:

$\dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).$

유사하게, 만약 N이 M에서 부분매니폴드 또는 부분다양체이면, M에서 N의 여차원은 다음입니다:

$\operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).$

부분매니폴드의 차원이 접 다발(tangent bundle)의 차원 (부분매니폴드 위로 이동할 수 있는 차원의 숫자)인 것처럼, 여차원은 정규 다발(normal bundle)의 차원 (부분매니폴드를 떠날 수 있는 차원의 숫자)입니다.

보다 일반적으로, 만약 W가 (무한 차원일 수도 있는) 벡터 공간(vector space) V의 선형 부분공간(linear subspace)이면, V에서 W의 여차원은 몫 공간(quotient space) V/W의 차원 (무한대일 수도 있음)이며, 이는 추상적으로 포함의 여커널(cokernel)로 알려져 있습니다. 유한-차원 벡터 공간에 대해, 이는 이전 정의와 일치합니다.

$\operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),$

그리고 커널(kernel)의 차원으로 상대 차원과 이중입니다.

무한-차원 공간의 유한-여차원 부분공간은 토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces) 연구에 종종 유용합니다.

Additivity of codimension and dimension counting

여차원의 기본 속성은 교집합(intersection)과의 관계에 놓입니다: 만약 W₁이 여차원 k₁을 가지고, W₂가 여차원 k₂를 가지면, U가 여차원 j와의 교집합이면 다음을 가집니다:

max (k₁, k₂) ≤ j ≤ k₁ + k₂.

실제로 j는 이 범위에서 임의의 정수(integer) 값을 취할 수 있습니다. RHS는 단지 여차원의 합이기 때문에, 이 명제는 차원의 관점에서 평행이동보다 더 명확합니다. 말로

여차원은 (많아야) 더합니다.

만약 부분공간 또는 부분매니폴드가 횡단(transversally)으로 교차하면 (일반적으로 발생), 여차원은 정확하게 더합니다.

이 명제는 특히 교차 이론(intersection theory)에서 차원 세는 것(dimension counting)이라고 불립니다.

Dual interpretation

이중 공간(dual space)의 관점에서, 차원이 더해지는 이유는 매우 분명합니다. 부분공간은 특정 숫자의 선형 함수의 사라짐에 의해 정의될 수 있으며, 만약 우리가 선형 함수를 선형 독립(linearly independent)이라고 취하면, 그것들의 숫자는 여차원입니다. 그러므로, 우리는 W_i를 정의하는 선형 함수형의 집합의 합집합을 취함으로써 U가 정의된다는 것을 알 수 있습니다. 그 합집합은 어느 정도 선형 종속성(linear dependence)을 도입할 수 있습니다: j의 가능한 값은 해당 종속성을 나타내며, RHS 합은 해당 종속성이 없는 경우입니다. 부분공간을 잘라내는 데 필요한 함수의 숫자라는 관점에서 여차원의 이 정의는 주변 공간과 부분공간이 모두 무한 차원인 상황으로 확장됩니다.

교차 이론(intersection theory)의 임의의 종류에 대해 기본이 되는 다른 언어에서, 우리는 특정 숫자의 제약 조건(constraints)의 합집합을 취하고 있습니다. 우리가 주의해야 할 두 가지 현상이 있습니다:

1. 두 개의 제약 조건의 집합은 독립적이지 않을 수 있습니다;
2. 두 개의 제약 조건의 집합은 호환되지 않을 수 있습니다.

이들 중 첫 번째는 종종 제약 조건(constraints)을 세는 원칙으로 표현됩니다: 만약 우리가 조정할 매개변수(parameters)의 숫자 N을 가지고 (즉, N 자유도(degrees of freedom)를 가지고), 제약 조건이 그것을 충족하기 위해 매개변수를 '소비'해야 함을 의미하면, 해집합의 여차원은 많아야 제약 조건의 숫자입니다. 예측된 여차원, 즉 독립 제약 조건의 숫자가 N을 초과하면 해를 찾을 수 있을 것으로 기대하지 않습니다 (선형 대수의 경우에서, 항상 자명한, 널 벡터(null vector) 해가 있으며, 이는 따라서 세지 않습니다).

두 번째는 평행 직선(parallel lines) 모델 위에 기하학 문제입니다; 때때로 선형 대수의 방법으로 선형 문제(linear problems)에 대해 논의할 수 있고, 복소수(complex number) 필드에 걸쳐 투영 공간(projective space)에서 비-선형 문제에 대해 논의할 수 있습니다.

In geometric topology

여차원은 기하학적 토폴로지(geometric topology)에서도 일부 명확한 의미를 가지고 있습니다: 매니폴드 위에, 여차원 1은 부분매니폴드에 의한 토폴로지적 비-연결의 차원이고, 여차원 2는 분기(ramification)와 매듭 이론(knot theory)의 차원입니다. 사실, 차원 5 이상에서 시작하는 고-차원 매니폴드의 이론은 차원이 높을수록 매듭 현상을 피하기 때문에 여차원 3에서 시작한다고 대안적으로 말할 수 있습니다. 수술 이론(surgery theory)은 중간 차원까지 동작해야 하기 때문에, 일단 5차원에 있으면, 중간 차원은 2보다 큰 여차원을 가지고, 따라서 매듭을 피합니다.

이 핑계는 공허하지 않습니다; 여차원 2에서 삽입에 대한 연구는 매듭 이론이고, 어렵고, 반면 여차원 3 이상에서 삽입 연구는 고-차원 기하학적 토폴로지의 도구를 사용할 수 있고, 따라서 훨씬 더 쉽습니다.

See also

• Glossary of differential geometry and topology

References

• "Codimension", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]