Coefficient matrix

Original article: w:Coefficient matrix

선형 대수(linear algebra)에서, 계수 행렬(coefficient matrix)은 선형 방정식의 집합에서 변수의 계수(coefficients)로 구성된 행렬(matrix)입니다. 그 행렬은 선형 방정식의 시스템을 푸는 데 사용됩니다.

Coefficient matrix

일반적으로, m 선형 방정식(linear equations)과 n 미지수를 갖는 시스템은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}$

여기서 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$는 미지수이고 숫자 $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}$는 시스템의 계수입니다. 계수 행렬은 (i, j)-번째 엔트리로 계수 a_ij를 갖는 m × n 행렬입니다:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

그런-다음 위의 방정식의 집합은 다음과 같이 보다 간결하게 표현될 수 있습니다:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

여기서 A는 계수 행렬이고 b는 계수 항의 열 벡터입니다.

Relation of its properties to properties of the equation system

루셰–카펠리 정리(Rouché–Capelli theorem)에 의해, 방정식의 시스템은 불일치(inconsistent)이며, 증가된 행렬(augmented matrix, 벡터 b로 구성된 추가 열을 갖는 증가된 계수 행렬)의 랭크가 계수 행렬의 랭크보다 크면 해가 없음을 의미합니다. 다른 한편으로, 이들 두 행렬의 랭크가 같으면, 시스템은 적어도 하나의 해를 가져야 합니다. 그 해가 고유한 것과 랭크 r이 변수의 숫자 n과 같은 것은 필요충분 조건입니다. 그렇지 않으면 일반적인 해는 n – r 자유 매개변수를 가집니다; 따라서 그러한 경우에서, 변수의 n – r에 임의의 값을 부과하고 고유한 해에 대해 결과 시스템을 해결함으로써 찾을 수 있는 해의 무한대가 있습니다; 고정할 변수에 대한 다른 선택과 그것들의 다른 고정된 값은 서로 다른 시스템 해를 제공합니다.

Dynamic equations

상수 항을 갖는 일-차 행렬 차이 방정식(matrix difference equation)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c} ,$

여기서 A는 n × n 행렬이고 y와 c는 n × 1입니다. 이 시스템이 y의 정상-상태 수준으로 수렴하는 것과 A의 모든 n 고윳값(eigenvalues)의 절댓값(absolute values)이 1보다 작은 것은 필요충분 조건입니다.

상수 항을 갖는 일-차 행렬 미분 방정식(matrix differential equation)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

${\frac {d\mathbf {y} }{dt}}=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c} .$

이 시스템이 안정적인 것과 A의 모든 n 고윳값이 음의 실수 부분(real parts)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.