Compass equivalence theorem
컴퍼스 동치 정리(compass equivalence theorem)는 컴퍼스와 직선자 구성(compass and straightedge constructions)에서 중요한 명제입니다. 플라톤(Plato)에 의한 이들 구성에서 옹호된 도구는 분할기(divider) 또는 접히는 컴퍼스(collapsing compass), 즉, 그것이 직접 거리를 전달하기 위해 사용될 수 없도록 그것이 종이에서 들어올릴 때마다 "접히는" 컴퍼스(compass)입니다. 고정-가능한 조리개를 갖는 현대 컴퍼스는 거리를 직접 전달하기 위해 사용될 수 있고 따라서 더 강력한 도구로 보입니다. 어쨌든, 컴퍼스 동치 정리는 "현대 컴퍼스"를 통한 임의의 구성이 접히는 컴퍼스로 달성될 수 있음을 말합니다. 이것은 접히는 컴퍼스와 함께, 평면에서 원(circle)이 주어지면, 평면 위에 임의의 주어진 점을 중심으로 하는 같은 반지름(radius)의 또 다른 원을 구성하는 것이 가능하다는 것을 설정함으로써 보일 수 있습니다. 이 정리는 유클리드의 원론(Euclid's Elements)의 책 I의 제안 II입니다. 이 정리의 증명은 신뢰할 수 없는 역사를 가져왔습니다.[1]
Construction
다음 구성과 정확성의 증명은 유클리드에 의해 그의 원론에서 제공됩니다.[2] 비록 유클리드의 처리에서 여러 가지 경우가 있는 것 같지만, 모호한 지침을 해석할 때 만들어진 선택에 따라, 그것들 모두는 같은 결론으로 이어지고,[1] 따라서 구체적인 선택이 아래에 주어집니다.
점 A, B, 및 C가 주어지면, 반지름 길이 BC를 갖는 A에 중심을 둔 (즉, 실선 녹색 원과 동등하지만, A에 중심을 둔) 원을 구성하십시오.
- A에 중심을 두고 B를 통과하는 원을 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다 (빨간색 원). 그것들은 점 D에서 교차할 것이고 등변 삼각형(equilateral triangle) ABD를 형성할 것입니다.
- B를 지나 DB를 연장하고 E로 이름-붙여진 원 BC와 DB의 교차점을 찾으십시오.
- D에 중심을 두고 E를 통과하는 원을 만듭니다 (파란색 원).
- A를 지나 DA를 연장하고 F로 이름-붙여진 원 DE와 DA의 교차점을 찾으십시오.
- A를 중심을 두고 F를 통과하는 원을 만듭니다 (점선 녹색 원).
- ADB가 등변 삼각형이기 때문에, DA = DB.
- E와 F가 D를 중심으로 한 원 위에 있기 때문에, DE = DF.
- 그러므로, AF = BE.
- E가 원 BC 위에 있기 때문에, BE = BC.
- 그러므로, AF = BC.
Alternative construction without straightedge
직선자의 사용없이 컴퍼스 동치성을 입증하는 것이 가능합니다. 이것은 직선자와 컴퍼스로 가능한 임의의 구성이 컴퍼스 단독으로 달성될 수 있다고 말하는 모르-마스케로니 정리(Mohr-Mascheroni theorem)의 증명에서 "고정된 컴퍼스" 이동 (다른 위치에서 주어진 반지름의 원을 구성)의 사용을 정당화합니다.
점 A, B, C가 주어지면, 직선자없이 오직 접히는 컴퍼스를 사용하여 반지름 BC를 갖는 A에 중심을 둔 원을 구성하십시오.
- A에 중심을 두고 B를 지나는 원을 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다 (파란색 원). 그것들은 점 D와 D'에서 교차할 것입니다.
- D와 D'에 중심을 갖는 C를 통과하는 원을 그립니다 (빨간색 원). 그것들의 다른 교차점에 E라고 이름-붙이십시오.
- 중심 A를 갖고 E를 통과하는 원을 그립니다 (녹색 원). 이것이 요구된 원입니다.[3][4]
이 구성의 정확성의 몇 가지 증명이 있고 종종 독자를 위한 연습으로 남겨집니다.[3][4] 아래는 변환(transformations)을 사용하는 현대 증명입니다.
- 직선 DD'은 AB의 수직 이등분선(perpendicular bisector)입니다. 따라서 A는 직선 DD'를 통한 B의 반사(reflection)입니다.
- 구성에 의해, E는 직선 DD'를 통한 C의 반사입니다.
- 반사는 등거리-변환(isometry)이므로, 원하는 대로 AE = BC가 따릅니다.
References
- ^ a b Toussaint, Godfried T. (January 1993). "A New Look at Euclid's Second Proposition" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 15 (3). Springer US: 12–24. doi:10.1007/bf03024252. eISSN 1866-7414. ISSN 0343-6993. S2CID 26811463.
- ^ Heath, Thomas L. (1956) [1925]. The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed.). New York: Dover Publications. p. 244. ISBN 0-486-60088-2.
- ^ a b Eves, Howard (1963), A survey of Geometry (Vol. I), Allyn Bacon, p. 185
- ^ a b Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, p. 212, ISBN 0-534-35188-3