Consistent and inconsistent equations

Original article: w:Consistent and inconsistent equations

수학(mathematics) 및 특히 대수학(algebra)에서, 선형(linear) 또는 비선형(nonlinear) 시스템의 방정식(system of equations)이 만약 시스템에서 각 방정식을 만족시키는 미지수에 대해 값의 적어도 하나의 집합이 있으면 일치된(consistent) 것입니다–즉, 방정식의 각각에 대입했을 때 항등식(identity)처럼 각 방정식은 참을 유지하도록 만듭니다. 대조적으로, 선형 또는 비선형 방정식 시스템은, 만약 방정식의 모두를 만족시키는 미지수에 대해 값의 집합이 없으면, 불일치된(inconsistent) 것입니다.

만약 방정식의 시스템이 불일치이면, 방정식을 조작하고 결합하는 방식에서, 2 = 1, 또는 x³ + y³ = 5 및 x³ + y³ = 6 (이것은 5 = 6을 의미합니다)과 같은, 모순되는 정보를 얻을 수 있습니다.

방정식 시스템의 두 가지 유형, 일치된 것 및 불일치된 것은 (미지수보다 더 많은 방정식을 가지는) 초과-결정(overdetermined), (미지수보다 더 적은 방정식을 가지는) 미달-결정(underdetermined), 또는 정확하게 결정되는 중에 임의의 것일 수 있습니다.

Simple examples

Underdetermined and consistent

시스템

$x+y+z=3,$

$x+y+2z=4$

은 해의 무한한 개수를 가지며, 그들은 전부는 z = 1을 가지고 (왜냐하면 두 번째에서 첫 번째 방정식을 뺌으로써 알 수 있기 때문입니다), 그들의 모두는 그러므로 x 및 y의 임의의 값에 대해 x+y = 2를 가집니다.

비선형 시스템

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=10,$

$x^{2}+y^{2}=5$

은 해의 무한대를 가지며, 그들의 모두는 $z=\pm {\sqrt {5}}$를 포함합니다.

이들 시스템의 각각은 하나보다 많은 해르 가지므로, 그것은 하나의 불확정 시스템(indeterminate system)입니다.

Underdetermined and inconsistent

시스템

$x+y+z=3,$

$x+y+z=4$

은 해를 가지지 않는데, 왜냐하면 두 번째로부터 첫 번째 방정식을 뺌으로써 불가능 0 = 1을 얻는 것을 알 수 있기 때문입니다.

비선형 시스템

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=10,$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$

은 해를 가지지 않는데, 왜냐하면 만약 하나의 방정식이 다른 것으로부터 빼지면, 우리는 불가능 0 = 2를 얻습니다.

Exactly determined and consistent

시스템

$x+y=3,$

$x+2y=5$

은 정확하게 하나의 해: x = 1, y= 2를 가집니다.

비선형 시스템

$x+y=1,$

$x^{2}+y^{2}=1$

은 두 개의 해 (x, y) = (1, 0) 및 (x, y) = (0, 1)을 가지며, 반면에

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,$

$x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,$

$3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=34$

는 해의 무한한 개수를 가지는데, 왜냐하면 세 번째 방정식은 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식의 두 배를 더한 것이고 그러므로 독립적인 정보를 포함하지 않습니다; 따라서 z의 임의의 값은 선택될 수 있고 x와 y의 값은 처음 두 방정식 (및 그러므로 세 번째 것)을 만족시키도록 구할 수 있습니다.

Exactly determined and inconsistent

시스템

$x+y=3,$

$4x+4y=10$

은 해를 가지지 않습니다; 불일치성은 첫 번째 방정식에 4를 곱하고 두 번째 방정식을 뺌으로써 불가능 0 = 2를 얻음으로써 알 수 있습니다.

마찬가지로,

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,$

$x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,$

$3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=32$

는 불일치된 시스템인데 왜냐하면 첫 번째 방정식에 두 번째 것의 두 배를 더하고 세 번째 것을 뺌으로써 모순 0 = 2에 빠집니다.

Overdetermined and consistent

시스템

$x+y=3,$

$x+2y=7,$

$4x+6y=20$

은 하나의 해, x = –1, y = 4를 가지는데, 왜냐하면 처음 두 개의 방정식은 서로 모순되지 않고 세 번째 방정식은 불필요한 것입니다 (왜냐하면 그것은 처음 두 방정식 각각에 2를 곱하고 그들을 더함으로써 획득될 수 있으므로 같은 정보를 포함하기 때문입니다).

시스템

$x+2y=7,$

$3x+6y=21,$

$7x+14y=49$

은 해의 무한대를 가지는데 왜냐하면 모든 세 방정식은 서로 같은 정보를 제공하기 때문입니다 (왜냐하면 첫 번째 방정식에 3 또는 7을 곱함으로써 알 수 있습니다). y의 임의의 값은 해의 부분인데, x의 대응하는 값은 7–2y를 가집니다.

비선형 시스템

$x^{2}-1=0,$

$y^{2}-1=0,$

$(x-1)(y-1)=0$

은 세 개의 해 (x, y) = (1, –1), (–1, 1), 및 (1, 1)를 가집니다.

Overdetermined and inconsistent

시스템

$x+y=3,$

$x+2y=7,$

$4x+6y=21$

은 불일치된 것인데 왜냐하면 마지막 방정식은 처음 두 개에서 내재된 정보에 모순되기 때문으로써, 처음 두 개에 각각 2를 곱하고 그들을 더함으로써 알 수 있습니다.

시스템

$x^{2}+y^{2}=1,$

$x^{2}+2y^{2}=2,$

$2x^{2}+3y^{2}=4$

은 불일치된 것인데 왜냐하면 처음 두 방정식의 합은 세 번째 것에 모순되기 때문입니다.

Criteria for consistency

위의 예제에서 알 수 있듯이, 일치성 대 불일치성은 방정식의 숫자와 미지수를 비교하는 것과는 다른 문제입니다.

Linear systems

Main article: Linear equation system § Consistency

선형 시스템이 일치된 것과 그의 계수 행렬이 증가된 행렬(augmented matrix) (더해진 여분의 열을 가진 계수 행렬(coefficient matrix), 해당 열은 상수의 열 벡터(column vector)입니다)과 같은 랭크(rank)를 갖는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.

Nonlinear systems

Main article: System of polynomial equations § What is solving?