Double factorial

Original article: w:Double factorial

The double factorial should not be confused with the factorial function iterated twice (OEIS에서 수열 A000197), which is written as $(n!)!$ and not $n!!$.

The fifteen different chord diagrams on six points, or equivalently the fifteen different perfect matchings on a six-vertex complete graph. These are counted by the double factorial 15 = (6 − 1)‼.

수학(mathematics)에서, 숫자 n의 두-배 팩토리얼(double factorial) 또는 반-팩토리얼(semifactorial)은, n‼로 표시되며, n과 같은 패리티(parity, 홀수 또는 짝수)를 가지는 1에서 n까지의 모든 정수(integers)의 곱입니다. 즉,

$n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$

짝수 n에 대해, 두-배 팩토리얼은 다음과 같습니다:

$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,$

그리고 홀수 n에 대해 그것은 다음과 같습니다:

$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.$

예를 들어, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. 영 두-배 팩토리얼은 빈 곱(empty product)으로 0‼ = 1입니다.

짝수 0, 2, 4, 6, 8,...에 대해 두-배 팩토리얼의 수열(sequence)은 다음으로 시작합니다:

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (OEIS에서 수열 A000165)

홀수 n = 1, 3, 5, 7, 9,...에 대해 두-배 팩토리얼의 수열(sequence)은 다음으로 시작합니다:

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (OEIS에서 수열 A001147)

용어 홀수 팩토리얼(odd factorial)은 때때로 홀수의 두-배 팩토리얼에 대해 사용됩니다.

History and usage

1902년 논문에서, 물리학자 아서 슈스터(Arthur Schuster)는 다음과 같이 썼습니다:

이 논문의 결과에 대한 기호적 표현은 교대하는 인수의 곱에 대해 별도의 기호, $n$이 홀수이면, $n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1$, 또는 $n$이 홀수이면, $n\cdot n-2\cdots 2$를 도입함으로써 훨씬 용이해집니다. 나는 그러한 곱에 대해 $n!!$라고 쓰기를 제안하고, 그러한 곱에 대해 이름이 요구되면, 그것을 "교대하는 팩토리얼" 또는 "두-배 팩토리얼"라고 부를 수 있습니다.

Meserve (1948)는 두-배 팩토리얼이 원래 월러스 곱(Wallis product)의 유도에서 발생하는 특정 삼각 적분(trigonometric integrals)의 표현을 단순화하기 위해 도입되었다고 말합니다. 두-배 팩토리얼은 초-구(hypersphere)의 부피를 표현하는 데에도 발생하고, 그것들은 열거 조합론(enumerative combinatorics)에서 많은 응용을 가집니다. 비록 고셋(Gosset)이 이중 느낌표 표기법을 사용하지 않았지만, 그것들은 스튜던트의 t-분포(Student's t-distribution) (1908)에서 발생합니다.

Relation to the factorial

두-배 팩토리얼은 보통의 팩토리얼(factorial)의 인수의 약 절반만 포함하기 때문에, 그 값은 팩토리얼 n!의 제곱근보다 실질적으로 크지 않고, 그것은 반복 팩토리얼 (n!)!보다 훨씬 작습니다.

비-영 n의 팩토리얼은 두 개의 두-배 팩토리얼의 곱으로 쓸 수 있습니다:

$n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,$

그리고 따라서

$n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,$

여기서 분모는 분자에서 원하지 않는 인수를 취소합니다. (마지막 형식은 n = 0일 때도 적용됩니다.)

k ≥ 0을 갖는 짝수 비-음의 정수 n = 2k에 대해, 두-배 팩토리얼은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$n!!=2^{k}k!\,.$

k ≥ 1을 갖는 홀수 n = 2k − 1에 대해, 위의 두 개를 조합하면 다음을 산출합니다:

$n!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.$

k ≥ 1을 갖는 홀수 양의 정수에 대해, 두-배 팩토리얼은 2k의 k-순열의 관점에서 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$(2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.$

Asymptotics

팩토리얼 $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$에 대해 스털링의 근사(Stirling's approximation)는 $n$이 무한대로 경향일 때 다음 점근적 동등물을 유도하기 위해 사용될 수 있습니다:

$$n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$$

Applications in enumerative combinatorics

The fifteen different rooted binary trees (with unordered children) on a set of four labeled leaves, illustrating 15 = (2 × 4 − 3)‼ (see article text).

두-배 팩토리얼은 그것들이 열거 조합론(enumerative combinatorics)과 기타 설정에서 자주 발생한다는 사실에 의해 동기가 부여됩니다. 예를 들어, n의 홀수 값에 대해 n‼은 다음을 셉니다:

• 홀수 n에 대한 완전한 그래프(complete graph) K_{n + 1}의 완벽한 일치(Perfect matchings). 그러한 그래프에서, 임의의 단일 꼭짓점 v는 일치시킬 수 있는 n 가능한 꼭짓점의 선택을 가지고, 일단 이 선택이 이루어지면 남은 문제는 두 개의 더 적은 꼭짓점을 갖는 완전한 그래프에서 완벽한 일치를 선택하는 것입니다. 예를 들어, 4개의 꼭짓점 a, b, c, 및 d를 갖는 완전한 그래프는 세 가지 완벽한 일치: ab와 cd, ac와 bd, 및 ad와 bc를 가집니다. 완벽한 일치는 n + 1 항목의 집합 (각 주기가 쌍인 순열)에 고정된 점 없이 인볼루션(involutions) 또는 코드 다이어그램 (브라우어(Brauer) 다이어그램이라고도 하는 각 점이 정확하게 하나의 현의 끝점임을 만족하는 원 위에 균등한 간격으로 배치된 n + 1 개의 점 집합의 현의 집합)을 포함하여 여러 다른 동등한 방법에서 설명될 수 있습니다. 완전한 그래프에서 일치의 숫자는 일치를 완벽한 것으로 제한 없이, 대신 두-배 팩토리얼을 포함하는 합계로 표현될 수 있는 전화 번호(telephone numbers)에 의해 제공됩니다.
• 스털링 순열(Stirling permutations), 숫자 1, 1, 2, 2, ..., k, k의 중복집합(multiset)의 순열, 이것에서 같은 숫자의 각 쌍은 더 큰 숫자로만 구분되며, 여기서 k = n + 1/2입니다. k의 두 복사본은 인접되어야 합니다; 순열에서 그것들을 제거하는 것은 최대 원소가 k − 1인 순열을 남기며, 인접한 k 값 쌍이 배치될 수 있는 n 위치를 가집니다. 이 재귀 구조에서, 스털링 순열이 이중 순열에 의해 세어진다는 증명은 귀납법에 의해 이어집니다. 대안적으로, 쌍 사이의 값이 그것보다 클 수 있다는 제한 대신에, 각 쌍의 첫 번째 복사본이 정렬된 순서로 나타나는 이 중복집합의 순열을 고려할 수도 있습니다; 그러한 순열은 순열의 2k 위치에 대한 일치를 정의하므로, 다시 순열의 숫자는 이중 순열에 의해 계산될 수 있습니다.
• 힙-순서화된 트리(Heap-ordered trees), 트리의 뿌리는 레이블 0을 가지고, 각 다른 노드는 그것의 부모보다 더 큰 레이블을 가짐을 만족하고, 각 노드의 자식은 고정된 순서화를 가짐을 만족하는 0, 1, 2, ... k로 레이블-지정된 k + 1 개의 노드를 갖는 트리. (두-배된 가장자리를 갖는) 오일러 투어(Euler tour)는 스털링 순열을 제공하고, 모든 각 스털링 순열은 이러한 방법으로 트리를 나타냅니다.
• n + 5/2 레이블-지정된 잎을 갖는 뿌리-없는 이진 트리(Unrooted binary trees). 각각의 그러한 트리는 n 개의 트리 가장자리 중 하나를 세분화하고 새로운 꼭짓점을 새로운 잎의 부모로 만듦으로써 하나 더 적은 잎을 갖는 트리에서 형성될 수 있습니다.
• n + 3/2 레이블-지정된 잎을 갖는 루트-있는 이진 트리(Rooted binary trees). 이 경우는 뿌리-없는 경우와 유사하지만, 세분화될 수 있는 가장자리의 숫자는 짝수이고, 가장자리를 세분화하는 것 외에도 두 개의 자식이 더 작은 트리와 새로운 잎인 새로운 뿌리를 더함으로써 하나 더 작은 잎을 갖는 트리에 노드를 추가할 수 있습니다.

Callan (2009) 및 Dale & Moon (1993)은 "사다리꼴 단어" (증가하는 홀수 기수를 갖는 혼합된 기수 시스템에서 숫자-표시), 높이-레이블-지정된 다이크 경로(Dyck paths), 높이-레이블-지정된 순서화된 트리, "오버행(overhang) 경로", 및 뿌리-있는 이진 트리에서 각 노드의 가장-낮은-숫자-지정된 잎 자손을 설명하는 특정 벡터를 포함하여 같은 세는 수열을 갖는 몇 가지 추가 대상을 나열합니다. 이들 대상 중 일부가 같게-많은 것이라는 전단사 증명(bijective proofs)에 대해, Rubey (2008) 및 Marsh & Martin (2011)을 참조하십시오.

짝수 두-배 팩토리얼은 초팔면체형 그룹(hyperoctahedral groups, 초입방체(hypercube)의 부호화된 순열 또는 대칭)의 원소의 숫자를 제공합니다.

Extensions

Negative arguments

보통의 팩토리얼은, 감마 함수(gamma function)로 확장될 때, 각 음의 정수에 극점(pole)을 가지며, 팩토리얼이 이들 숫자에서 정의되는 것을 방지합니다. 어쨌든, 홀수의 두-배 팩토리얼은 다음 재귀 관계(recurrence relation)를

$n!!=n\times (n-2)!!$

다음을 제공하기 위해 반전함으로써 임의의 음의 홀수 정수 인수로 확장될 수 있습니다:

$n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.$

이 반전된 재귀를 사용하여, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1, 및 (−5)!! = 1/3입니다; 더 큰 크기를 갖는 음의 홀수는 분수 두-배 팩토리얼을 가집니다. 특히 n이 홀수일 때, 이것은 다음을 제공합니다:

$(-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.$

Complex arguments

n의 짝수 값에 대해 대한 n!!의 위의 정의를 무시하여, 홀수 정수에 대한 두-배 팩토리얼은 z가 양의 홀수 정수일 때 다음임을 주목함으로써 대부분의 실수와 복소수 z로 확장될 수 있습니다:

${\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 3\cdot 1\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\,.\end{aligned}}$

이것으로부터, z의 비-음의 짝수 정수 값에 대해 z!!의 대안적인 정의를 계산합니다:

$(2k)!!=2^{\frac {2k-1}{2}}{\frac {\Gamma \left(k+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}={\frac {2^{-1/2}2^{k}k!}{{\sqrt {\pi }}/2}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,$

이 경우에서 0!!에 대한 값은 다음입니다: (OEIS에서 수열 A076668):

$0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\dots$

z!!에 대해 찾은 표현은 음의 짝수 정수를 제외한 모든 복소수에 대해 정의됩니다. 그것을 정의로 사용하여, 반지름 R의 n-차원(dimensional) 초-구(hypersphere)의 부피(volume)는 다음으로 나타낼 수 있습니다:

$V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,.$

z의 양의 짝수 값에 대한 공식 $z!!=z(z-2)\cdots 2$과 일치하는 두-배 팩토리얼의 다른 확장은 다음입니다:

$$z!!=2^{\left(1+2z-\cos(\pi z)\right)/4}\cdot \pi ^{\left(\cos(\pi z)-1\right)/4}\cdot \Gamma \left(1+{\tfrac {1}{2}}z\right)$$

Additional identities

n의 정수 값에 대해,

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$

대신 홀수의 두-배 팩토리얼을 복소수로의 확장을 사용하여, 공식은 다음입니다:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.$

두-배 팩토리얼은 역시 더 복잡한 삼각 다항식의 적분을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다.

홀수의 두-배 팩토리얼은 다음 항등식에 의해 감마 함수(gamma function)와 관련됩니다:

$(2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.$

홀수의 두-배 팩토리얼과 관련하여 일부 추가적인 항등식은 다음입니다:

${\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\,,\\(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\,,\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}$

두 연속 정수의 두-배 팩토리얼의 비율에 대해 근사는 다음입니다:

${\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.$

이 근사는 n이 증가함에 따라 더 정확해지며, 이는 월리스 적분(Wallis Integral)의 결과로 볼 수 있습니다.

Generalizations

Definitions

두-배 팩토리얼이 단일 팩토리얼(single factorial)의 개념을 일반화하는 것과 같은 방법으로, 정수-값 배수의 팩토리얼 함수 (배수-팩토리얼), 또는 α-팩토리얼 함수의 다음 정의는, $\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}$에 대해 두-배 팩토리얼 함수의 개념을 확장합니다:

$n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>0\,;\\1&{\text{ if }}-\alpha <n\leq 0\,;\\0&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

Alternative extension of the multifactorial

대안적으로, 배수-팩토리얼 n!_(α)는 n이 α의 양의 배수보다 하나 더 클 때 다음임을 주목함으로써 대부분의 실수와 복소수 n으로 확장될 수 있습니다:

${\begin{aligned}n!_{(\alpha )}&=n(n-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {n-1}{\alpha }}\left({\frac {n}{\alpha }}\right)\left({\frac {n-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {n-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}$

이 마지막 표현은 원본보다 훨씬 더 광범위하게 정의됩니다. n!이 음의 정수에 대해 정의되지 않고, n‼가 음의 짝수 정수에 대해 정의되지 않는 것과 같은 방법에서, n!_(α)는 α의 음의 배수에 대해 정의되지 않습니다. 어쨌든, 그것은 모든 다른 복소수에 대해 정의됩니다. 이 정의는 n ≡ 1 mod α를 만족시키는 오직 그것들 정수 n에 대해 이전 정의와 일치합니다.

n!_(α)을 대부분의 복소수 n으로 확장하는 것 외에도, 이 정의는 α의 모든 양의 실수 값에 대해 작동하는 특색을 가집니다. 게다가, α = 1일 때, 이 정의는 위에서 설명한 Π(n) 함수와 수학적으로 동등합니다. 역시, α = 2일 때, 이 정의는 두-배 팩토리얼의 대안적인 확장과 수학적으로 동등합니다.

Generalized Stirling numbers expanding the multifactorial functions

일반화된 첫 번째 종류의 스털링 숫자의 클래스는 다음 삼각 재귀 관계에 의해 α > 0에 대해 정의됩니다:

$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.$

이들 일반화된 α-팩토리얼 계수(α-factorial coefficients)는 그런-다음 다음과 같이 배수 팩토리얼 또는 α-팩토리얼 함수, (x − 1)!_(α)를 정의하는 고유한 기호 다항식 곱을 생성합니다:

${\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}$

이전 방정식의 고유한 다항식 확장은 실제로 n₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1}에 대해 최소 잔여 x ≡ n₀ mod α의 여러 구별되는 경우에 대해 α-팩토리얼 곱을 정의합니다.

일반화된 α-팩토리얼 다항식, σ^(α)
_n(x)은, 여기서 σ⁽¹⁾
_n(x) ≡ σ_n(x), 단일 팩토리얼 경우에서 배수-팩토리얼 경우로 스털링 합성곱 다항식(Stirling convolution polynomials)을 일반화하며, 0 ≤ n ≤ x에 대해 다음에 의해 정의됩니다:

$\sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}$

이들 다항식은 다음에 의해 주어진 특히 멋진 닫힌-형식 보통의 생성 함수(ordinary generating function)를 가집니다:

$\sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.$

이들 일반화된 α-팩토리얼 삼각형과 다항식 수열의 다른 조합론적 속성과 확장은 Schmidt (2010)에서 고려됩니다.

Exact finite sums involving multiple factorial functions

n ≥ 1와 α ≥ 2가 정수 값이라고 가정합니다. 그런-다음 우리는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)와 일반화된, 유리-값 이항 계수(binomial coefficients)의 관점에서 배수-팩토리얼, 또는 α-팩토리얼 함수 (αn − 1)!_(α)를 포함하는 다음 단일 유한 합을 다음으로 확장할 수 있습니다:

${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}$

그리고 더욱이, 우리는 유사하게 다음에 의해 주어진 이들 함수의 두-배 합 확장을 가집니다:

${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}$

위의 처음 두 합은 Callan (2009)에 의해 주어진 α := 2일 때 두-배 팩토리얼 함수에 대해 알려진 비-라운드(non-round) 조합론적 항등식과 형식에서 유사합니다.

$(2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.$

문맥-자유 문법을 통해 유사한 항등식이 얻어질 수 있습니다. 임의의 0 ≤ d < α에 대해 임의의 규정된 정수 h ≥ 2 모듈로, α-팩토리얼 함수, (αn − d)!_(α)에 대해 일치의 추가적인 유한 합 확장은 Schmidt (2018)에 의해 제공됩니다.Schmidt (2018)