Empty product

Original article: wikipedia:Empty product

For the non-empty product that equals to zero, see zero-product property.

수학(mathematics)에서, 빈 곱(empty product), 또는 영항 곱(nullary product)은 인수없이 곱셈(multiplying)한 것의 결과입니다. 그것은 관례에 의해 곱셈의 항등원(multiplicative identity)과 같습니다 (문제에서 곱셈 연산에 대해 항등원이 있다고 가정합니다), 마찬가지로 빈 합(empty sum)—숫자없이 덧셈(adding)한 것의 결과—는 관례에 의해 영(zero), 또는 덧셈의 항등원입니다.

용어 빈 곱은 가장 자주 산술(arithmetic) 연산을 논의할 때 위의 의미에서 사용됩니다. 어쨌든, 그 용어는 때때로 컴퓨터 프로그래밍에서 집합-이론적(set-theoretic) 교집합, 카테고리적 곱, 및 곱을 논의할 때, 사용됩니다; 이것들은 아래에서 논의됩니다.

Nullary arithmetic product

Justification

a₁, a₂, a₃, ...를 숫자의 수열로 놓고, 다음을 수열의 처음 m 원소의 곱으로 놓습니다:

$P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}$.

그런-다음 모든 m = 1, 2, ...에 대해 우리가 관례 $P_{0}=1$를 사용하는 조건 아래에서 제공됩니다 (이 선택은 고유합니다).

$P_{m}=P_{m-1}a_{m}$.

달리 말해서, 인수를 전혀 갖지 않는 "곱" $P_{0}$는 1로 평가합니다. 인수를 갖지 않는 "곱"을 허용하는 것은 많은 수학적 공식에서 경우의 고려되어야 할 경우의 숫자를 줄입니다. 그러한 "곱"은 알고리듬뿐만 아니라, 귀납법 증명(induction proofs)에서 자연스러운 시작하는 점입니다. 이들 이유에 대해, "빈 곱은 일입니다" 관례는 수학 및 컴퓨터 프로그래밍에서 일반적인 책략입니다.

Relevance of defining empty products

빈 곱의 개념은 숫자 영(zero)과 빈 집합(empty set)이 유용한 것과 같은 이유로 유용합니다: 반면에 그것들이 상당히 흥미롭지 않은 개념을 나타내는 것처럼 보이지만, 그것들의 존재는 많은 주제의 훨씬 더 짧은 수학적 표현을 허용합니다.

예를 들어, 빈 곱 0! = 1 (영의 팩토리얼(factorial))과 x⁰ = 1은 테일러 급수 표기법(Taylor series notation)을 짧게 합니다 (x = 0일 때 토론에 대해 영의 거듭제곱을 갖는 영(Zero to the power of zero)을 참조하십시오. 마찬가지로, 만약 M이 n × n 행렬이면, M⁰은 n × n 항등 행렬(identity matrix)이며, 선형 맵(linear map)을 영 번 적용하는 것은 항등 맵(identity map)을 적용한 것과 같은 효과를 가진다는 사실을 반영합니다.

또 다른 예제로, 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)는 모든 각 양의 정수가 소수의 곱으로 고유하게 쓸 수 있음을 말합니다. 어쨌든, 만약 우리가 오직 0과 1 인수를 갖는 곱을 허용하지 않으면, 그 정리 (및 그것의 증명)은 더 길게 됩니다.

수학에서 빈 곱의 사용의 더 많은 예제는 이항 정리(binomial theorem) (이것은 모든 x에 대해 x⁰ = 1을 가정하고 의미함), 스털링 숫자(Stirling number), 쾨니그의 정리(König's theorem), 이항 유형(binomial type), 이항 급수(binomial series), 차이 연산자(difference operator) 및 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)에서 찾아질 수 있습니다.

Logarithms

로그는 곱을 합으로 바꾸기 때문에:

$\prod _{i}x_{i}=e^{\sum _{i}\ln x_{i}},$

그것들은 빈 곱을 빈 합(empty sum)으로 매핑해야 합니다. 따라서 만약 우리가 빈 곱을 1로 정의하면, 빈 합은 $\ln(1)=0$이어야 합니다. 반대로, 지수 함수는 합을 곱으로 바꾸기 때문에, 따라서 우리가 빈 합을 0으로 정의하면, 빈 제품은 $e^{0}=1$이어야 합니다.

Nullary Cartesian product

데카르트 곱(Cartesian product)의 일반적인 정의를 생각해 보십시오:

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.$

만약 I가 빈 것이면, 오직 그러한 g가 빈 함수(empty function) $f_{\varnothing }$이며, 이것은 함수 $\varnothing \to \varnothing$, 즉 빈 부분집합 $\varnothing$ ($\varnothing \times \varnothing =\varnothing$을 가지는 고유한 부분집합)인 $\varnothing \times \varnothing$의 고유한 부분집합입니다:

$\prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.$

따라서, 집합이 없는 데카르트 곱의 카디널리티는 1입니다.

아마도 더 친숙한 n-튜플(tuple) 해석 아래에서,

$\prod _{\varnothing }{}=\{()\},$

즉, 빈 튜플(empty tuple)을 포함하는 한원소 집합(singleton set)입니다. 표현 둘 다에서 빈 곱은 카디널리티(cardinality) 1을 가짐을 주목하십시오 – 0 입력에서 0 출력을 생성하기 위한 모든 방법의 숫자는 1입니다.

Nullary categorical product

임의의 카테고리(category)에서, 빈 가족의 곱(product)은 해당 카테고리에서 끝 대상(terminal object)입니다. 이것은 그 곱의 극한(limit)을 사용함으로써 시연될 수 있습니다. n-겹 카테고리적 곱은 n 대상을 갖는 이산 카테고리(discrete category)에 의해 제공된 다이어그램(diagram)에 관한 극한으로 정의될 수 있습니다. 빈 곱은 그런-다음 빈 카테고리에 관한 극한에 의해 제공되며, 만약 그것이 존재하면 카테고리의 끝 대상입니다. 이 정의는 위와 같은 결과를 제공하기 위해 특화되어 있습니다. 예를 들어, 집합의 카테고리(category of sets)에서, 카테고리적 곱은 보통의 데카르트 곱이고, 끝 대상은 한원소 집합입니다. 그룹의 카테고리(category of groups)에서, 카테고리적 곱은 그룹의 데카르트 곱이고, 끝 대상은 하나의 원소를 갖는 자명한 그룹입니다. 빈 곱의 보통의 산술 정의를 얻기 위해, 우리는 유한 집합의 카테고리에서 빈 곱의 카테고리-해제(decategorification)를 취해야 합니다.

이중적(Dually)으로, 빈 가족의 공동-곱(coproduct)은 초기 대상(initial object)입니다. 영항 카테고리적 곱 또는 공동-곱은 주어진 카테고리에서 존재하지 않을 수 있습니다; 예를 들어, 필드의 카테고리(category of fields)에서, 어떤 것도 존재하지 않습니다.

In logic

고전적 논리(Classical logic)는 논리곱(conjunction)의 연산을 정의하며, 이것은 술어 계산(predicate calculus)에서 보편적 정량화(universal quantification)로 일반화되고, 논리적 곱셈으로 널리 알려져 있는데 왜냐하면 우리는 직관적으로 참을 1로, 거짓을 0으로 식별하고 우리의 논리곱이 보통의 곱셈기처럼 동작하기 때문입니다. 곱셈기는 임의의 숫자의 입력을 가질 수 있습니다. 0 입력의 경우에서, 우리는 빈 논리곱(empty conjunction)을 가지며, 이것은 참과 동일하게 같습니다.

이것은 논리에서 또 다른 개념, 공허한 진리(vacuous truth)와 관련이 있으며, 이것은 빈 대상의 집합이 임의의 속성을 가질 수 있음을 말합니다. 그것은 논리곱 (일반적으로 논리의 일부)이 1보다 작거나 같은 값을 처리하는 방법으로 설명될 수 있습니다. 이것은 논리곱이 길수록, 0으로 끝날 확률이 더 높다는 것을 의미합니다. 논리곱은 단지 제안을 확인하고 제안 중 하나가 거짓으로 평가되는 즉시 0 (또는 거짓)을 반환합니다. 결합된 제안의 숫자를 줄이면 검사를 통과하고 1을 유지할 수 있는 기회가 증가합니다. 특히, 만약 검사할 0 테스트 또는 구성원이 있으면, 어떤 것도 실패할 수 없으므로, 기본값으로 어떤 제안 또는 구성원 속성이 테스트될 것에 관계없이 항상 성공해야 합니다.

In computer programming

파이썬(Python)과 같은 많은 프로그래밍 언어는 숫자 목록의 직접 표현을 허용하고, 심지어 임의의 숫자의 매개변수를 허용하는 함수도 허용합니다. 만약 그러한 언어가 목록에서 모든 숫자의 곱을 반환하는 함수를 가지면, 보통 다음과 같이 작동합니다:

>>> math.prod([2, 3, 5])
30
>>> math.prod([2, 3])
6
>>> math.prod([2])
2
>>> math.prod([])
1

(항상 주목하십시오: prod는 버전 3.8 이전의 math 모듈에서 유용하지 않습니다.)

이 관례는 "만약 목록 길이가 1이면" 또는 "만약 목록 길이가 영이면"과 같은 특수 경우를 코드해야 하는 것을 피하는 데 도움이 됩니다.

곱셈은 중위(infix) 연산자이고 따라서 이항 연산자로, 빈 곱의 표기법이 복잡해집니다. 일부 프로그래밍 언어는 가변 함수(variadic function)를 구현함으로써 이것을 처리합니다. 예를 들어, 리스프 언어(Lisp languages)의 완전하게 괄호친 접두사 표기법(fully parenthesized prefix notation)은 영항(nullary) 함수에 대해 자연스러운 표기법을 제공합니다:

(* 2 2 2)   ; evaluates to 8
(* 2 2)     ; evaluates to 4
(* 2)       ; evaluates to 2
(*)         ; evaluates to 1

See also

• Iterated binary operation
• Empty function

External links

• PlanetMath article on the empty product