Equating coefficients

수학(mathematics)에서, 계수를 동일화(equating the coefficients)의 방법은 미지수 매개-변수(parameter)의 숫자에 대해 다항식(polynomial)과 같은 두 표현의 함수형 방정식을 푸는 방법입니다. 그것은 대응하는 계수가 항의 각 다른 유형에 대해 같을 때 두 표현이 정확하게 동일하다는 사실에 의존합니다. 그 방법은 공식(formula)을 원하는 형식으로 가져오기 위해 사용됩니다.

Example in real fractions

우리가 다음 표현에 대해 부분 분수 분해(partial fraction decomposition)를 적용하기를 원한다고 가정합니다:

{\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,

즉, 우리는 그것을 다음 형식으로 가져오기를 원합니다:

{\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,

이것에서 미지수 매개-변수는 A, B 및 C입니다. 이들 공식에 x(x − 1)(x − 2)를 곱하면 둘 다는 다항식으로 바뀌며, 이것을 우리는 동등하게 다룹니다:

A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,

또는, 전개하고 x의 같은 거듭제곱을 갖는 항을 묶은 후에,

(A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,

이 시점에서, 다항식 1은 x의 양의 거듭제곱에 대해 영 계수를 가지는 다항식 0x² + 0x + 1과 사실 같음을 인식하는 것이 필수적입니다. 해당 계수를 동일하게 하면 이제 이 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)을 초래합니다:

A+B+C=0,\,

3A+2B+C=0,\,

2A=1.\,

그것을 풀면 다음을 초래합니다:

A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,

Example in nested radicals

동류항의 계수가 아니라 동류항을 동일화를 포함하는 비슷한 문제가, 만약 우리가 제곱근을 포함하는 표현 자체의 제곱근을 포함하지 않는 동등한 표현을 얻기 위해 중첩된 제곱근(nested radicals) ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}$ 를 비-중첩을 원한다면, 발생합니다. 우리는 다음을 만족하는

{\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}

유리수 매개-변수 d, e의 존재를 가정할 수 있습니다.

이 방정식의 양쪽 변을 제곱하면 다음을 산출합니다:

a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.

d와 e를 구하기 위해, 우리는 제곱근을 포함하지 않는 항을 같게 하므로, $a=d+e$ 이고, 제곱근을 포함하는 부분을 같게 하므로, $b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}$ 이며, 이것은 제곱될 때 $b^{2}c=4de$ 임을 의미합니다. 이것은 원했던 매개-변수 d와 e에서, 두 방정식, 하나는 이차 및 하나는 선형을 제공하고, 이들은 다음을 얻기 위해 해결될 수 있습니다:

e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},

d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},

이것이 유효한 해 쌍인 것과 ${\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ 가 유리수인 것은 필요충분 조건입니다.

Example of testing for linear dependence of equations

(단지 2 미지수에서 3 방정식을 갖는) 이 과도-결정된 방정식 시스템(overdetermined equation system)을 생각해 보십시오:

x-2y+1=0,

3x+5y-8=0,

4x+3y-7=0.

세 번째 방정식이 처음 두 방정식에 선형적으로 종속(linearly dependent)되는지 여부를 테스트하기 위해, a 곱하기 첫 번째 방정식 더하기 b 곱하기 두 번째 방정식이 세 번째 방정식과 같음을 만족하는 두 매개-변수 a와 b를 가정합니다. 이것은 오른쪽 변에 대해 항상 유지하며, 이것의 모두는 0이기 때문에, 우리는 마찬가지로 왼쪽 변에 대해 유지되기 하기 위해 그것을 요구하는 것이 단지 필요합니다:

a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.

양쪽 변에 대한 x의 계수를 동일화, 양쪽 변에 대한 y의 변수를 동일화하고, 양쪽 변에 대한 상수를 동일화하면 원했던 매개-변수 a, b에서 다음 시스템을 제공합니다:

a+3b=4,

-2a+5b=3,

a-8b=-7.

그것을 풀면 다음을 제공합니다:

a=1,\ b=1

처음 두 방정식을 만족시키는 값의 고유한 쌍 a, b는 (a, b) = (1, 1)입니다; 이들 값이 역시 세 번째 방정식을 만족시키므로, a 곱하기 원래의 첫 번째 방정식 더하기 b 곱하기 원래의 두 번째 방정식은 원래의 세 번째 방정식과 같음을 만족하는 a, b가 실제로 존재합니다; 우리는 세 번째 방정식이 처음 두 방정식에 선형 적으로 의존한다고 결론지었습니다.

만약 원래의 세 번째 방정식에서 상수 항이 –7 이외의 무엇이면, 매개-변수에서 처음 두 방정식을 만족시키는 값 (a, b) = (1, 1)은 세 번째 방정식 (a–8b = 상수)을 만족시키지 못하므로, 매개-변수에서 모든 세 방정식을 만족시키는 a, b는 존재하지 않고, 따라서 세 번째 원래 방정식은 처음 두 방정식과 독립일 것입니다.

Example in complex numbers

계수를 동일화의 방법은 복소수(complex number)를 다룰 때 종종 사용됩니다. 예를 들어, 복소수 a+bi를 복소수 c+di로 나누기 위해, 우리는 그 비율이 복소수 e+fi와 같다고 가정하고, 우리는 이것이 참이 되는 것에 대해 매개-변수 e와 f의 값을 찾기를 원합니다. 우리는 다음을 쓰고,