Existence theorem
수학(mathematics)에서, 존재 정리(existence theorem)는 특정 대상의 존재를 주장하는 정리입니다.[1][2] 그것은 문구 "존재합니다(there exist)"로 시작하는 명제일 수 있으며, 또는, 그것은 그의 마지막 한정어(quantifier)가 존재적(existential) 보편적인 명제일 수 있습니다 (예를 들어, "모든 x, y,에 대해 ..., ... 존재합니다"). 기호적 논리(symbolic logic)의 공식적인 용어에서, 존재 정리는 존재적 한정어(existential quantifier)를 포함하는 프리넥스 정규 형식(prenex normal form)을 가진 정리이며, 비록 실제로 그럴지라도, 그런 정리는 보통 표준 수학 언어로 말합니다. 예를 들어, 사인(sine) 함수가 어디에서나 연속(continuous)이라는 것 또는 큰 O 표기법(big O notation)으로 쓰인 임의의 정리인 명제는 본성에 의해 존재하는 정리로 여길 수 있습니다—왜냐하면 정량화는 사용된 개념의 정의에서 찾아질 수 있기 때문입니다.
20세기 초로 거슬러 올라가는 논란은 순전히 이론적 존재 정리, 즉 무한대의 공리(axiom of infinity), 선택의 공리(axiom of choice) 또는 제외된 중간의 법칙(law of excluded middle)과 같은 비-구성적 기초 재료에 의존하는 정리의 문제에 관심을 가집니다. 그러한 정리는 그의 존재가 주장된 대상을 어떻게 구성 (또는 전시)하는지에 대한 표시를 제공하지 않습니다. 구성주의(constructivist) 관점으로부터, 그러한 접근은 생존 가능하지 않은데 왜냐하면 그것은 그의 구체적 적용-가능성을 잃어버린 수학에 적합하기 때문이지만,[3] 반대되는 관점은 추상적 방법이 수치 해석학(numerical analysis)이 불가능하게 되는 방법에서 광범위하다는 것입니다.
'Pure' existence results
수학에서, 존재 정리는 만약 그것에 대해 주어진 증명이 그의 존재가 주장되는 대상의 구성을 가리키지 않으면 순전히 이론적입니다. 그러한 증명은 비-구성적인데,[4] 왜냐하면 전체의 접근은 자체를 구성하기 적합하지 않을 수 있기 때문입니다.[5] 알고리듬(algorithm)의 관점에서, 순수한 이론적 존재 정리는 존재하기 위해 주장되는 것을 찾기 위해 모든 알고리듬을 우회합니다. 이것들은 소위 "구성적" 존재 이론과 대조되는 것이며,[6] 이것은 (직관론적 논리(intuitionistic logic)와 같은) 확장된 논리학에서 일하는 많은 구성주의 수학자들은 그들의 비-구성적 짝보다 본질적으로 더 강한 것으로 믿습니다.
그럼에도 불구하고, 순수하게 이론적 존재 결과는 현대 수학에서 어디에나 있습니다. 예를 들어, 1951년 내쉬 균형(Nash equilibrium)의 존재의 존 내쉬(John Nash)의 원래 증명은 그러한 존재 정리였습니다. 구성적인 접근 방식은 1962년에 나중에 역시 발견되었습니다.[7]
Constructivist ideas
다른 방향에서, '마스터 이론'의 출현없이–구성적 수학(constructive mathematics)이 무엇인지의 많은 설명이 있어 왔습니다. 예를 들어, 에렛 비숍(Errett Bishop)의 정의에 따르면, 와 같은 함수의 연속성은 연속성의 모듈러스(modulus of continuity)에 대한 구성적 경계로 입증되어야 하며, 연속성 주장의 존재 내용이 항상 지켜질 수 있는 약속이라는 것을 의미합니다. 그에 따라서, 비숍은 점별 연속성의 표준 아이디어를 거부하고, 연속성이 "지역 균등 연속성(local uniform continuity)"의 관점에서 정의되어야 한다고 제안했습니다.[8] 우리는 유형 이론(type theory)으로부터 존재 정리의 또 다른 설명을 얻을 수 있으며, 그것에서 존재의 명제의 증명은 용어로부터 오직 나올 수 있습니다 (이것은 우리가 계산적 내용으로 볼 수 있습니다).
See also
Notes
- ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Theorem". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-29.
{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link) - ^ "Definition of existence theorem | Dictionary.com". www.dictionary.com. Retrieved 2019-11-29.
- ^ See the section on nonconstructive proofs of the entry "Constructive proof".
- ^ Weisstein, Eric W. "Existence Theorem". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.
- ^ Dennis E. Hesseling (6 December 2012). Gnomes in the Fog: The Reception of Brouwer’s Intuitionism in the 1920s. Birkhäuser. p. 376. ISBN 978-3-0348-7989-7.
- ^ Isaak Rubinstein; Lev Rubinstein (28 April 1998). Partial Differential Equations in Classical Mathematical Physics. Cambridge University Press. p. 246. ISBN 978-0-521-55846-4.
- ^ Schaefer, Uwe (3 December 2014). From Sperner's Lemma to Differential Equations in Banach Spaces : An Introduction to Fixed Point Theorems and their Applications. KIT Scientific Publishing. p. 31. ISBN 978-3-7315-0260-9.
- ^ "Bishop's constructive mathematics in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2019-11-29.