Extraneous and missing solutions

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수학(mathematics)에서, 관계-없는 해(extraneous solution) (또는 가짜 해(spurious solution))는 문제를 푸는 과정에서 나오지만 문제에 대한 유효한 해가 아닌 방정식에 대한 해입니다. 잃어버린 해(missing solution)는 문제에 대한 유효한 해이지만, 문제를 푸는 과정에서 사라진 해입니다. 둘 다는 변수의 일부 또는 모든 값에 대해 역-가능(invertible)하지 않은 연산을 수행한 것의 자주 발생하는 결과이며, 이것은 증명에서 양방향이 되는 것으로부터 논리적으로 함축의 연쇄를 방지합니다.

Extraneous solutions: multiplication

대수의 기본 원리 중 하나는 우리가 방정식의 해의 변경없이 방정식의 양쪽 변에 같은 표현을 곱할 수 있다는 것입니다. 어쨌든, 엄밀히 말하자면, 이것은 참이 아닌데, 왜냐하면 그것에서 특정 표현에 의한 곱셈이 이전에는 존재하지 않았던 새로운 해를 도입할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 다음 방정식을 생각해 보십시오:

$x+2=0.$

만약 우리가 양쪽 변에 영을 곱하면, 우리는 다음을 얻습니다:

$0=0.$

이것은 x의 모든 값에 대해 참이므로, 해 집합은 모든 실수입니다. 그러나 모든 실수가 원래 방정식에 대한 해는 아닙니다. 문제는 영에 의한 곱셈이 역-가능(invertible)이 아니라는 것입니다: 만약 우리가 임의의 비-영 값을 곱하면, 우리는 같은 값으로 나눔으로써 단계를 되돌릴 수 있지만, 영에 의한 나눗셈(division by zero)은 정의되지 않으므로, 영에 의한 곱셈은 절대 되돌릴 수 없습니다.

보다 미묘하게, 우리가 같은 방정식을 취하고 양쪽 변에 x를 곱한다고 가정하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

$x(x+2)=(0)x,$

$x^{2}+2x=0.$

이런 이차 방정식은 두 해, −2와 0을 가집니다. 그러나 만약 영이 원래 방정식에 x에 대해 대체되면, 그 결과는 유효하지-않은 방정식 2 = 0입니다. 이런 반직관적인 결과는 발생하는데 왜냐하면 x=0인 경우에서, 양쪽 변에 x를 곱하는 것은 양쪽 변에 0을 곱하고, 따라서 첫 번째 예제에서 처럼 반드시 참 방정식을 생성합니다.

일반적으로, 우리가 방정식의 양쪽 변에 변수를 포함하는 표현을 곱할 때마다, 우리는 해당 표현이 영과 같아지는 곳마다 관계-없는 해를 도입합니다. 그러나 이들 값을 제외하는 것은 충분하지 않은데, 왜냐하면 그것들이 원래 방정식에 대한 합법적인 해일 수 있기 때문입낟. 예를 들어, 우리가 원래 방정식 x + 2 = 0 by x + 2의 양쪽 변에 x + 2를 곱한다고 가정합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

$(x+2)(x+2)=0(x+2),$

$x^{2}+4x+4=0,$

이것은 오직 하나의 실수 해: x = −2를 가지고, 이것은 원래 방정식에 대한 해이므로, 심지어 x + 2가 이 x 값에 대해 영이더라도, 그것은 배제될 수 없습니다.

Extraneous solutions: rational

관계-없는 해는 분모에 변수를 갖는 분수를 포함하는 문제에서 자연스럽게 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 다음 방정식을 생각해 보십시오:

${\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.$

풀기 시작하기 위해, 우리는 방정식의 각 변에 방정식에 포함된 모든 분수의 최소 공통 분모(least common denominator)를 곱합니다. 이 경우에서, 최소 공통 분모는 $(x-2)(x+2)$입니다. 이들 연산을 수행한 후에, 분수가 제거되고, 방정식은 다음이 됩니다:

$x+2=3(x-2)-6x\,.$

이것을 풀면 단일 해 x = −2를 산출합니다. 어쨌든, 우리가 해를 원래 방정식에 다시 대체할 때, 우리는 다음을 얻습니다:

${\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)(-2+2)}}\,.$

그 방정식은 그런-다음 다음이 됩니다:

${\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}+{\frac {12}{0}}\,.$

이 방정식은 유효하지 않는데, 왜냐하면 영에 의한 나누기(divide by zero)를 할 수 없기 때문입니다. 그러므로, 해 x = –2는 관계-없는 해이고 유효하지 않고, 원래 방정식은 해를 가지지 않습니다.

이 특정 예제에 대해, (x=−2의 값에 대해) $(x-2)(x+2)$를 곱하는 연산이 영에 의한 곱셈인 것으로 인식될 수 있습니다. 어쨌든, 이미 수행된 각 연산은 최종 답에 의해 허용되었는지 여부를 평가하는 것이 항상 간단한 것은 아닙니다. 이것 때문에, 종종, 변수를 포함하는 표현에 의한 곱셈을 처리하는 유일한 간단한 효과적인 방법은 원래 방정식으로 얻어진 각 해를 대체하고 이것이 유효한 방정식을 산출하는지 확인하는 것입니다. 유효하지-않은 방정식을 산출하는 해를 버린 후에는, 우리는 올바른 해의 집합을 구할 것입니다. 일부 경우에서, 위의 예제에서 처럼, 모든 해는 버려질 수 있으며, 이 경우에서 원래 방정식은 해를 가지지 않습니다.

Missing solutions: division

관계-없는 해는 그들이 모든 해를 단지 유효성에 대해 검사하기 때문에 처리하기가 그렇게 어렵지 않습니다. 어쨌든, 보다 교활한 것이 잃어버린 해이며, 이것은 그들 표현의 특정 값에 대해 유효하지 않은 표현에 대해 연산을 수행할 때 발생할 수 있습니다.

예를 들어, 만약 우리가 다음 방정식을 풀면, 올바른 해는 양쪽 변에서 4를 빼고, 그런-다음 양쪽 변을 2로 나눔으로써 얻습니다:

$2x+4=0,$

$2x=-4,$

$x=-2.$

유추에 의해, 우리가 양쪽 변에서 2x를 빼고, 그런-다음 x로 나눔으로써 다음 방정식을 풀 수 있다고 가정할 수 있습니다:

$x^{2}+2x=0,$

$x^{2}=-2x,$

$x=-2.$

해 x = −2는 실제로 원래 방정식에 대한 유효한 해입니다; 그러나 나머지 해, x = 0은 사라졌습니다. 문제는 우리가 양쪽을 x로 나눈 것이며, 이것은 x = 0일 때 영에 의한 나누기의 비-정의된 연산을 포함합니다.

일반적으로 영일 될 수 있는 임의의 표현에 의해 나누는 것을 피하는 것이 가능 (그리고 타당)합니다; 어쨌든, 이것이 필요한 곳, 그것을 영으로 만드는 변수의 임의의 값이 원래 방정식을 역시 만족시키지 못하는 것을 보증하는 것으로 충분합니다. 예를 들어, 우리는 이 방정식을 가짐을 가정합니다:

$x+2=0.$

양쪽 변을 x−2로 나누는 것이 유효하며, 다음 방정식을 얻습니다:

${\frac {x+2}{x-2}}=0.$

이것은 x−2를 영과 같게 만드는 x의 유일한 값이 x=2이고, x=2가 원래 방정식에 대한 해가 아니기 때문에 유효합니다.

어떤 경우에서, 우리는 특정 해에 관심이 없습니다; 예를 들어, 우리가 x가 양수인 해를 오직 원할 수 있습니다. 이 경우에서, x가 영 또는 음수일 때 오직 영인 표현으로 나누는 것이 괜찮은데, 왜냐하면 이것은 우리가 신경 쓰지 않는 해를 오직 제거할 수 있기 때문입니다.

Other operations

곱셈과 나눗셈이 해 집합을 수정할 수 있는 유일한 연산은 아닙니다. 예를 들어 문제를 생각해 보십시오:

$x^{2}=4.$

만약 우리가 양쪽 변에 양의 제곱근을 취하면, 우리는 다음을 얻습니다:

$x=2.$

우리는 여기서 임의의 음의 값의 제곱근을 취하지 않는데, 왜냐하면 x²과 4 둘 다는 반드시 양수이기 때문입니다. 그러나 우리는 해 x = −2를 잃어버렸습니다. 그 이유는 x가 실제로 x²의 양의 제곱근이 일반적으로 아니라는 것입니다. 만약 x가 음수이면, x²의 양의 제곱근은 −x입니다. 만약 단계가 올바르게 취해지면, 그것은 대신 방정식으로 이어집니다:

${\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {4}}.$

$|x|=2.$

$x=\pm 2.$

이 방정식은 원래 해와 같은 두 해: x = 2, 및 x = −2를 가집니다.

See also

• Invalid proof