Factor theorem

Original article: w:Factor theorem

대수학에서, 인수 정리(factor theorem)는 다항식의 인수와 영(zeros)을 연결하는 정리입니다. 인수 정리는 다항식 나머지 정리(polynomial remainder theorem)의 특별한 경우입니다.

인수 정리는 다항식 $f(x)$가 인수 $(x-k)$를 가지는 것과 $f(k)=0$인 것 (즉, $k$는 근입니다)은 필요충분 조건임을 말합니다.

Factorization of polynomials

Main article: Factorization of polynomials

인수 정리가 공통적으로 적용되는 두 가지 문제는 다항식을 인수 분해하는 것과 다항식의 근을 찾는 것입니다; 이들 문제가 본질적으로 동등하다는 것이 인수 정리의 직접적인 결과입니다.

인수 정리는 다항식에서 알려진 영(근)을 제거하는 동시에 모든 알려지지 않은 영을 그대로 남기는데, 따라서 영이 더 쉽게 찾아질 수 있는 낮은 차수의 다항식을 생성하는 것에 역시 사용됩니다. 추상적으로, 방법은 다음을 따릅니다:

1. 다항식 $f$의 영 $a$를 "추측하십시오". (일반적으로, 이것은 매우 어려울 수 있지만, 다항 방정식을 푸는 것을 포함하는 수학 교재 문제는 일부 근이 쉽게 발견될 수 있도록 종종 설계됩니다.)
2. $(x-a)$가 $f(x)$의 인수임을 결정하기 위해 인수 정리를 사용하십시오.
3. 다항식 $g(x)=f(x){\big /}(x-a)$를 계산하십시오. 이때, 다항식 긴 나눗셈(polynomial long division) 또는 조립제법(synthetic division) 등을 사용하십시오.
4. $f(x)=0$의 임의의 근 $x\neq a$이 $g(x)=0$의 근이라는 결론을 내리십시오. $g$의 다항식 차수(polynomial degree)는 $f$의 차수보다 작기 때문에, $g$를 살펴봄으로써 남은 영을 발견하기 "더 쉽습니다".

Example

다음 다항식의 인수를 구하십시오:

$x^{3}+7x^{2}+8x+2.$

이것을 하기 위해, 표현이 영과 같아지는 첫 번째 x 값을 찾기 위해 시행과 오류 (또는 유리 근 이론(rational root theorem))를 사용할 수 있습니다.

$(x-1)$이 인수임을 찾기 위해, 위의 다항식에 $x=1$을 대입하십시오:

$x^{3}+7x^{2}+8x+2=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2$

$=1+7+8+2$

$=18.$

결과는 18이고 0이 아닙니다. 이것은 $(x-1)$가 $x^{3}+7x^{2}+8x+2$의 인수가 아님을 의미합니다. 그래서, 우리는 다음으로 $(x+1)$을 시도합니다 (다항식에 $x=-1$을 대입하십시오):

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2.$

이것은 $0$과 같습니다. 그러므로 $x-(-1)$, 즉, 다시 말해서 $x+1$은 인수이고, $-1$은 $x^{3}+7x^{2}+8x+2$의 근(root)입니다.

다음의 두 근은 이차를 얻기 위해 $x^{3}+7x^{2}+8x+2$을 $(x+1)$을 대수적으로 나눔으로써 구할 수 있습니다:

${x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2,$

그러므로, $(x+1)$과 $x^{2}+6x+2$은 $x^{3}+7x^{2}+8x+2$의 인수입니다. 이들 이차 인수는 이차 공식(quadratic formula)을 사용하여 더 인수분해가 되고, 공식은 이차의 근 $-3\pm {\sqrt {7}}$을 제공합니다. 따라서 원래 다항식의 세 기약 인수(irreducible factors)는 $x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ 및 $x-(-3-{\sqrt {7}})$입니다.