Fractional part

비-음의 실수 $x$ 의 분수의 부분(fractional part) 또는 십진 부분(decimal part)^[1]은 해당 숫자의 정수 부분(integer part)의 범위를 넘어서는 초과 부분입니다. 만약 후자가 $x$ 보다 크지 않은 가장 큰 정수, $x$ 의 바닥(floor)으로 불리는 또는 $\lfloor x\rfloor$ 로 정의되면, 그의 분수 부분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0

.

(이진수(binary) 또는 십진수(decimal)와 같은) 전통적인 위치 숫자 시스템(positional numeral system)으로 쓰인 양의(positive) 숫자에 대해, 그것의 분수 부분은 따라서 밑수 점(radix point) 뒤에 보이는 자릿수에 해당합니다.

For negative numbers

어쨌든, 음수의 경우에서, 분수 부분 함수를 그들로 확장하는 다양한 상충되는 방법이 있습니다: 양수에 대해, 즉, $\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$ 에 의해 (Graham, Knuth & Patashnik 1992)^[2], 또는 밑수 점의 오른쪽 숫자의 부분 $\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$ 으로 (Daintith 2004),^[3] 또는 다음 홀수 함수(odd function)에 의한 것과 같은 방법에서 정의됩니다:

\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}

여기서 $\lceil x\rceil$ 는, 역시 $x$ 의 천장(ceiling)으로 불리는, $x$ 보다 작지 않은 가장 작은 정수입니다. 결과적으로, 우리는, 예를 들어, 단지 하나의 $x$ 의 분수 부분에 대해 세 가지 다른 값을 얻을 수 있습니다: 그것을 −1.3으로 놓으면, 그것의 분수 부분은 첫 번째 정의에 따라 0.7, 두 번째 정의에 따라 0.3, 세 번째 정의에 따라 −0.3이며, 그 결과는 다음과 같은 간단한 방법으로 역시 얻어질 수 있습니다:

\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn} (x)

.

$x-\lfloor x\rfloor$ 와 "홀수 함수" 정의는 임의의 실수 $x$ 를 그것의 정수 부분과 분수 부분의 합(sum)으로 고유한 분해를 허용하며, 여기서 "정수 부분"은 각각 $\lfloor x\rfloor$ 또는 $\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn} (x)$ 를 참조합니다. 분수-부분 함수의 이들 두 정의는 역시 거듭-상등(idempotence)을 제공합니다.

⌊ ⌋와의 차이를 통해 정의된 분수 부분은 보통 물결 괄호(curly brace)에 의해 표시됩니다:

\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .

그것의 치역(range)은 절반-열린 구간 $[0, 1)$ 입니다. 반대 숫자(opposite number)에 대해, 분수 부분은 다음처럼 보완됩니다:

\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}

Relation to continued fractions

모든 각 실수는 본질적으로 연속된 분수(continued fraction)로 고유하게 표현될 수 있습니다. 즉 그것의 정수 부분과 그것의 정수 부분과 그것의 분수 부분의 역수(reciprocal)의 합으로 쓰인 분수 부분의 역수의 합, 마찬가지로 이런 식으로 계속한 것으로 표현될 수 있습니다.

References

^ "Decimal part". OxfordDictionaries.com. Retrieved 2018-02-15.
^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1992), Concrete mathematics: a foundation for computer science, Addison-Wesley, p. 70, ISBN 0-201-14236-8
^ Daintith, John (2004), A Dictionary of Computing, Oxford University Press

[1] "Decimal part". OxfordDictionaries.com. Retrieved 2018-02-15.

[2] Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1992), Concrete mathematics: a foundation for computer science, Addison-Wesley, p. 70, ISBN 0-201-14236-8

[3] Daintith, John (2004), A Dictionary of Computing, Oxford University Press

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For negative numbers

Relation to continued fractions

See also

References