Algebraic element satisfying some of the criteria of an inverse
"Pseudoinverse" redirects here. For the Moore–Penrose inverse, sometimes referred to as "the pseudoinverse", see
Moore–Penrose inverse .
수학(mathematics) , 특히 대수학(algebra) 에서, 원소 x 의 일반화된 역 (generalized inverse , 또는 g-inverse )은 역 원소(inverse element) 의 일부 속성을 가지지만 반드시 모든 속성을 가질 필요는 없는 원소 y 입니다. 행렬의 일반화된 역을 구성하는 목적은 역-가능 행렬(invertible matrices) 보다 더 넓은 행렬의 클래스에 대해 어떤 의미에서 역으로 작용할 수 있는 행렬을 얻는 것입니다. 일반화된 역은 결합적 곱셈을 포함하는 임의의 수학적 구조(mathematical structure) , 즉 반그룹(semigroup) 에서 정의될 수 있습니다. 이 기사는 행렬(matrix)
A
{\displaystyle A}
행렬
A
g
∈
R
n
×
m
{\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}
A
A
g
A
=
A
{\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}
A
∈
R
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
[1] [2] [3] 정규 역(regular inverse) 을 가질 때, 이 역은 그것의 고유한 일반화된 역입니다.[1]
Motivation 다음 선형 시스템(linear system) 을 생각해 보십시오:
A
x
=
y
{\displaystyle Ax=y}
여기서
A
{\displaystyle A}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
y
∈
R
(
A
)
{\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A)}
A
{\displaystyle A}
열 공간(column space) 입니다. 만약
A
{\displaystyle A}
비-특이(nonsingular) 이면 (이는
n
=
m
{\displaystyle n=m}
x
=
A
−
1
y
{\displaystyle x=A^{-1}y}
A
{\displaystyle A}
A
A
−
1
A
=
A
.
{\displaystyle AA^{-1}A=A.}
이제
A
{\displaystyle A}
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
y
∈
R
(
A
)
{\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A)}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
G
{\displaystyle G}
A
G
y
=
y
.
{\displaystyle AGy=y.}
[4] 즉,
x
=
G
y
{\displaystyle x=Gy}
A
x
=
y
{\displaystyle Ax=y}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
G
{\displaystyle G}
A
G
A
=
A
.
{\displaystyle AGA=A.}
따라서 다음과 같이 일반화된 역 을 정의할 수 있습니다:
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
{\displaystyle A}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
G
{\displaystyle G}
A
G
A
=
A
{\displaystyle AGA=A}
A
{\displaystyle A}
[1] [2] [3]
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
A
{\displaystyle A}
정규 역 (regular inverse )이라고 이름-지어져 왔습니다.
Types 일반화된 역의 중요한 유형은 다음을 포함합니다:
한-쪽 역(One-sided inverse , 즉, 오른쪽 역 또는 왼쪽 역)
오른쪽 역: 만약 행렬
A
{\displaystyle A}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
rank
(
A
)
=
n
{\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}
A
A
R
−
1
=
I
n
{\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}}
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
R
−
1
{\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
항등 행렬(identity matrix) 입니다.
왼쪽 역: 만약 행렬
A
{\displaystyle A}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
rank
(
A
)
=
m
{\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}
A
L
−
1
A
=
I
m
{\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
L
−
1
{\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}
I
m
{\displaystyle I_{m}}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
[5] 보트-더핀 역(Bott–Duffin inverse) 드레이즌 역(Drazin inverse) 무어-펜로즈 역(Moore–Penrose inverse) 일부 일반화된 역은 펜로즈 조건에 따라 정의되고 분류됩니다:
A
A
g
A
=
A
{\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}
A
g
A
A
g
=
A
g
{\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}
(
A
A
g
)
∗
=
A
A
g
{\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}
(
A
g
A
)
∗
=
A
g
A
,
{\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}
여기서
∗
{\displaystyle {}^{*}}
A
g
{\displaystyle A^{\mathrm {g} }}
A
{\displaystyle A}
일반화된 역 입니다. 만약 그것이 처음 두 조건을 만족시키면, 그것은
A
{\displaystyle A}
반사적 일반화된 역 (reflexive generalized inverse )입니다. 만약 그것이 네 가지 조건을 모두 만족시키면, 그것은
A
{\displaystyle A}
유사-역 (pseudoinverse )이며, 이는
A
+
{\displaystyle A^{+}}
일라이어킴 헤이스팅스 무어(E. H. Moore) 와 로저 펜로즈(Roger Penrose) 의 선구적인 연구 후에 무어-펜로즈 역 (Moore–Penrose inverse )으로도 알려져 있습니다.[2] [6] [7] [8] [9] [10]
I
⊂
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}
A
{\displaystyle A}
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
A
(
1
,
4
)
A
A
(
1
,
3
)
=
A
+
{\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}
I
{\displaystyle I}
[1]
A
{\displaystyle A}
A
g
=
A
−
1
{\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}
A
{\displaystyle A}
Examples Reflexive generalized inverse 다음이라고 놓습니다:
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
,
G
=
[
−
5
3
2
3
0
4
3
−
1
3
0
0
0
0
]
.
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}
det
(
A
)
=
0
{\displaystyle \det(A)=0}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
One-sided inverse 다음이라고 놓습니다:
A
=
[
1
2
3
4
5
6
]
,
A
R
−
1
=
[
−
17
18
8
18
−
2
18
2
18
13
18
−
4
18
]
.
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
R
−
1
{\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
Inverse of other semigroups (or rings) 원소 b 가 원소 a 의 일반화된 역인 것과 임의의 반그룹 (또는 링, 왜냐하면 임의의 링에서 곱셈 함수가 반그룹이기 때문)에서,
a
⋅
b
⋅
a
=
a
{\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}
링
Z
/
12
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
Z
/
12
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3
⋅
3
⋅
3
=
3
{\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}
3
⋅
7
⋅
3
=
3
{\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}
3
⋅
11
⋅
3
=
3
{\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}
링
Z
/
12
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
Z
/
12
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
4
⋅
1
⋅
4
=
4
{\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}
4
⋅
4
⋅
4
=
4
{\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}
4
⋅
7
⋅
4
=
4
{\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}
4
⋅
10
⋅
4
=
4
{\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}
만약 반그룹 (또는 링)에서 원소 a 가 역을 가지면, 그 역은 링
Z
/
12
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
링
Z
/
12
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
2
⋅
b
⋅
2
=
2
{\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}
b 가 없기 때문입니다.
Construction 다음 특성은 확인하기 쉽습니다:
비-특이 행렬(non-square matrix)
A
{\displaystyle A}
A
R
−
1
=
A
⊺
(
A
A
⊺
)
−
1
{\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}
A
{\displaystyle A}
[5] 비-정사각 행렬
A
{\displaystyle A}
A
L
−
1
=
(
A
⊺
A
)
−
1
A
⊺
{\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}
A
{\displaystyle A}
[5]
만약
A
=
B
C
{\displaystyle A=BC}
랭크 인수분해(rank factorization) 이면,
G
=
C
R
−
1
B
L
−
1
{\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}
A
{\displaystyle A}
C
R
−
1
{\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}
C
{\displaystyle C}
B
L
−
1
{\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}
B
{\displaystyle B}
만약 임의의 비-특이 행렬
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
A
=
P
[
I
r
0
0
0
]
Q
{\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}
G
=
Q
−
1
[
I
r
U
W
V
]
P
−
1
{\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}
U
,
V
{\displaystyle U,V}
W
{\displaystyle W}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
r
{\displaystyle r}
A
=
[
B
C
D
E
]
,
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}
B
r
×
r
{\displaystyle B_{r\times r}}
A
{\displaystyle A}
G
=
[
B
−
1
0
0
0
]
{\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}
A
{\displaystyle A}
E
=
D
B
−
1
C
{\displaystyle E=DB^{-1}C}
Uses 임의의 일반화된 역은 선형 방정식의 시스템 이 임의의 해를 가지는지 여부를 결정하기 위해 사용될 수 있고, 그렇다면 모든 해를 제공합니다. 만약 n × m 선형 시스템에 대한 해가 존재하면
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
이때 벡터
x
{\displaystyle x}
b
{\displaystyle b}
w
{\displaystyle w}
x
=
A
g
b
+
[
I
−
A
g
A
]
w
{\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}
여기서
A
g
{\displaystyle A^{\mathrm {g} }}
A
{\displaystyle A}
A
A
g
b
=
b
{\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}
A 가 완전한 열 랭크를 가지면, 이 방정식에서 괄호친 표현은 영 행렬이고 따라서 해는 고유합니다.[11]
Generalized inverses of matrices 행렬의 일반화된 역은 다음과 같이 특징지을 수 있습니다.
A
∈
R
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
A
=
U
[
Σ
1
0
0
0
]
V
T
{\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\textsf {T}}}
그것의 특이-값 분해(singular-value decomposition) 라고 놓습니다. 그런-다음 임의의 일반화된 역
A
g
{\displaystyle A^{g}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
[1]
A
g
=
V
[
Σ
1
−
1
X
Y
Z
]
U
T
.
{\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\textsf {T}}.}
반대로, 이 형식의 행렬에 대해
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
A
{\displaystyle A}
[1]
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
Z
=
Y
Σ
1
X
{\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}
{
1
,
3
}
{\displaystyle \{1,3\}}
X
=
0
{\displaystyle X=0}
{
1
,
4
}
{\displaystyle \{1,4\}}
Y
=
0
{\displaystyle Y=0}
X
=
Y
=
Z
=
0
{\displaystyle X=Y=Z=0}
A
+
=
V
[
Σ
1
−
1
0
0
0
]
U
T
.
{\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\textsf {T}}.}
Transformation consistency properties 실제 응용에서, 일반화된 역수에 의해 보존되어야 하는 행렬 변환의 클래스를 식별해야 합니다. 예를 들어, 무어-펜로즈 역,
A
+
{\displaystyle A^{+}}
U 와 V 를 포함하는 변환에 관해 다음과 같은 일관성의 정의를 만족시킵니다:
(
U
A
V
)
+
=
V
∗
A
+
U
∗
{\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}
드레이즌 역,
A
D
{\displaystyle A^{\mathrm {D} }}
S 를 포함하는 닮음 변환에 관해 일관성의 다음 정의를 만족시킵니다:
(
S
A
S
−
1
)
D
=
S
A
D
S
−
1
{\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}
단위-일관된 (UC) 역,[12]
A
U
{\displaystyle A^{\mathrm {U} }}
D 와 E 를 포함하는 변환에 관해 일관성의 다음 정의를 만족시킵니다:
(
D
A
E
)
U
=
E
−
1
A
U
D
−
1
{\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}
무어-펜로즈 역이 회전 (이는 직교 변환)에 관해 일관성을 제공한다는 사실은 유클리드 거리가 보존되어야 하는 물리학과 기타 응용 분야에서 널리 사용되는 이유를 설명합니다. 대조적으로, UC 역은 시스템 행동이 다른 상태 변수, 예를 들어, 마일 대 킬로미터에 대한 단위의 선택에 관해 불변일 것으로 예상되는 경우에 적용될 수 있습니다.
See also Citations
^ a b c d e f Ben-Israel & Greville 2003 , pp. 2, 7^ a b c Nakamura 1991 , pp. 41–42^ a b Rao & Mitra 1971 , pp. vii, 20^ Rao & Mitra 1971 , p. 24^ a b c Rao & Mitra 1971 , p. 19^ Rao & Mitra 1971 , pp. 20, 28, 50–51^ Ben-Israel & Greville 2003 , p. 7^ Campbell & Meyer 1991 , p. 10^ James 1978 , p. 114^ Nakamura 1991 , p. 42^ James 1978 , pp. 109–110^ Uhlmann 2018
Sources Textbook Ben-Israel, Adi ; Greville, Thomas Nall Eden (2003). Generalized Inverses: Theory and Applications (2nd ed.). New York, NY: Springer. doi :10.1007/b97366 . ISBN 978-0-387-00293-4 Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991). Generalized Inverses of Linear Transformations ISBN 978-0-486-66693-8 Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985). Matrix Analysis . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-38632-6 Nakamura, Yoshihiko (1991). Advanced Robotics: Redundancy and Optimization . Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985 Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Generalized Inverse of Matrices and its Applications 240 . ISBN 978-0-471-70821-6 Publication
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9f5c2ac663131913e92943a47cba88c2611507)
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a030bef20f0e12287aaaa1748b684fcb6f17a102)
![{\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba09020cd65466d4f4415d3bd0f3f6eb3aeb64b8)
