Identity theorem

Original article: w:Identity theorem

수학(mathematics)의 가지, 실수 해석학(real analysis)과 복소 해석학(complex analysis)에서, 해석적 함수(analytic functions)에 대해 항등 정리(identity theorem)는 다음을 말합니다: 도메인 D ($\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$의 열린 것이고 연결된 부분집합) 위에 해석적인 함수 f와 g가 주어졌을 때, 일부 $S\subseteq D$ 위에 f = g이면, 여기서 $S$는 누적 점(accumulation point)을 가지며, D 위에 f = g입니다.

따라서 해석적 함수는 D에서 단일 열린 이웃 또는 심지어 D의 셀-수-있는 부분집합 (이것은 수렴하는 수열을 포함한다는 조건에서) 위에 값에 의해 완전하게 결정됩니다. 이것은 일반적으로 실수-미분가능 함수, 심지어 무한하게 실수-미분가능 함수(infinitely real-differentiable functions)에 대해서도 참이 아닙니다. 이에 비해, 해석적 함수는 훨씬 더 엄격한 개념입니다. 비공식적으로, 우리는 때때로 해석적 함수가 "딱딱한" (말하자면, "부드러운" 연속 함수와 반대로) 것이라고 말함으로써 정리를 요약합니다.

그 정리가 확립되는 토대적인 사실은 정칙 함수를 그것의 테일러 급수로의 확장-가능성입니다.

도메인 D 위에 연결성 가정이 필요합니다. 예를 들어, D가 두 개의 서로소 열린 집합으로 구성되면, $f$는 하나의 열린 집합 위에 $0$이고 또 다른 것 위에 $1$일 수 있지만, $g$는 하나 위에 $0$이고 또 다른 것 위에 $2$입니다.

Lemma

만약 도메인 $D$ 위에 두 개의 정칙 함수 $f$와 $g$가 $D$에서 누적 점 $c$를 가지는 집합 $S$ 위에 일치하면, $c$를 중심으로 하는 $D$에서 디스크 위에 $f=g$입니다.

이를 입증하기 위해, 모든 $n\geq 0$에 대해 $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$임을 보여주는 것으로 충분합니다.

만약 이것이 그 경우가 아니면, $m$을 $f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)$를 갖는 가장 작은 비-음의 정수라고 놓습니다. 정칙성에 의해, 우리는 $c$의 일부 열린 이웃 $U$에서 다음과 같은 테일러 급수 표현을 가집니다:

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}$

연속성에 의해, $h$는 $c$ 주변의 일부 작은 열린 디스크 $B$에서 비-영입니다. 그러나 그때에 구멍난 집합 $B-\{c\}$ 위에 $f-g\neq 0$입니다. 이것은 $c$가 $\{f=g\}$의 누적 점이라는 가정과 모순됩니다.

이 보조정리는 복소수 $a\in \mathbb {C}$에 대해, 올(fiber) $f^{-1}(a)$가 $f\equiv a$가 아닌 한 이산 (및 따라서 셀-수-있는) 집합임을 보여줍니다.

Proof

$f$와 $g$가 같은 테일러 전개를 가지는 집합을 정의합니다: $$S=\left\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\right\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z)=0\right\}.$$

우리는 $S$가 비-빈, 열린, 및 닫힌 것임을 보여야 합니다. 그런-다음 $D$의 연결성(connectedness)에 의해, $S$는 $D$의 전부여야 하며, 이는 $S=D$ 위에 $f=g$를 의미합니다.

보조정리, $D$에서 $c$에 중심을 둔 디스크에서 $f=g$에 의해, 그것들은 $c$에서 같은 테일러 급수를 가지므로, $c\in S$, $S$는 비-빈입니다.

$f$와 $g$는 $D$ 위에 정칙이므로, $\forall w\in S$, $w$에서 $f$와 $g$의 테일러 급수는 비-영 수렴의 반지름(radius of convergence)을 가집니다. 그러므로, 열린 디스크 $B_{r}(w)$도 일부 $r$에 대해 $S$에 놓입니다. 따라서 $S$는 열린 것입니다.

$f$와 $g$의 정칙성에 의해, 그것들은 정칙 도함수를 가지므로, 모든l $f^{(n)},g^{(n)}$는 연속입니다. 이것은 $\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}$가 모든 $k$에 대해 닫힌 것임을 의미합니다. $S$는 닫힌 집합의 교집합이므로, 그것은 닫힌 것입니다.

Full characterisation

항등 정리는 두 개의 정칙 함수의 상등에 관한 것이므로, 우리는 단순히 차이 (이는 정형으로 남아 있음)을 고려할 수 있고, 정칙 함수가 동일하게 ${\textstyle 0}$일 때 간단히 특성화할 수 있습니다. 다음 결과는 발견될 수 있습니다.

Claim

${\textstyle G\subseteq \mathbb {C} }$는 복소 평면의 비-빈, 연결된(connected) 열린 부분집합을 나타낸다고 놓습니다. ${\textstyle h:G\to \mathbb {C} }$에 대해, 다음은 동등합니다:

1. ${\textstyle G}$ 위에 ${\textstyle h\equiv 0}$;
2. 집합 ${\textstyle G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}}$은 누적 점(accumulation point), ${\textstyle z_{0}}$을 포함합니다;
3. 집합 ${\textstyle G_{\ast }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}}$은 비-빈이며, 여기서 ${\textstyle G_{n}:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}}$.

Proof

방향 (1 ${\textstyle \Rightarrow }$ 2) 및 (1 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3)은 자명하게 유지됩니다.

(3 ${\textstyle \Rightarrow }$ 1)에 대해, ${\textstyle G}$의 연결성에 의해, 그것은 비-빈 부분집합, ${\textstyle G_{\ast }\subseteq G}$이 닫힌-열린 것임을 입증하는 것으로 충분합니다 (왜냐하면 토폴로지적 공간이 연결된 것과 그것이 적절한 닫힌-열린 부분집합을 가지지 않는 것은 필요충분 조건이기 때문입니다). 정칙 함수는 무한하게 미분-가능, 즉, ${\textstyle h\in C^{\infty }(G)}$이므로, ${\textstyle G_{\ast }}$가 닫혀 있음이 분명합니다. 열림을 보여주기 위해, ${\textstyle u\in G_{\ast }}$를 생각해 보십시오. ${\textstyle u}$를 포함하는 열린 공 ${\textstyle U\subseteq G}$를 생각해 보십시오. 이것에서 ${\textstyle h}$는 ${\textstyle u}$를 중심으로 하는 수렴 테일러-급수 전개를 가집니다. ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ 덕분에, 이 급의 모든 계수는 ${\textstyle 0}$이며, 여기서 ${\textstyle U}$ 위에 ${\textstyle h\equiv 0}$임이 따라옵니다. ${\textstyle h}$의 모든 ${\textstyle n}$-번째 도함수는 ${\textstyle U}$ 위에서 0이며, 여기서 ${\textstyle U\subseteq G_{\ast }}$입니다. 따라서 각 ${\textstyle u\in G_{\ast }}$는 ${\textstyle G_{\ast }}$의 내부에 놓입니다.

(2 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3)을 향해, 누적 점 ${\textstyle z_{0}\in G_{0}}$를 고정합니다. 우리는 이제 각 ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$에 대해 ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$임을 귀납법에 의해 직접적으로 입증합니다. 이를 위해, ${\textstyle r\in (0,\infty )}$를 ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}}$에 의해 주어지는 ${\textstyle z_{0}}$ 주변의 ${\textstyle h}$의 거듭제곱 급수 전개의 수렴 반지름보다 엄격하게 작다고 놓습니다. 이제 일부 ${\textstyle n\geq 0}$을 수정하고 모든 ${\textstyle k<n}$에 대해 ${\textstyle z_{0}\in G_{k}}$라고 가정합니다. 그런-다음 ${\textstyle z\in {\bar {B}}_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$에 대해, 거듭제곱 급수 전개의 조작은 다음을 산출합니다:

$$h^{(n)}(z_{0})=n!{\frac {h(z)}{(z-z_{0})^{n}}}-(z-z_{0})\underbrace {n!\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k-(n+1)}} _{=:R(z)}.$$

(1)

${\textstyle r}$이 거듭제곱 급수의 반지름보다 작기 때문에, 거듭제곱 급수 ${\textstyle R(\cdot )}$가 연속적이고 따라서 ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$에 경계져 있음을 쉽게 도출할 수 있음에 주목하십시오.

이제, ${\textstyle z_{0}}$가 ${\textstyle G_{0}}$에서 누적 점이기 때문에, ${\textstyle z_{0}}$에 수렴하는 점 ${\textstyle (z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$의 수열이 있습니다. ${\textstyle G_{0}}$ 위에 ${\textstyle h\equiv 0}$이고 각 ${\textstyle z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$이기 때문에, (1)에서 표현은 다음을 산출합니다:

$$h^{(n)}(z_{0})=n!{\frac {h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_{0})^{n}}}-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})=0-\underbrace {(z^{(i)}-z_{0})} _{\longrightarrow _{i}0}R(z^{(i)}).$$

(2)

${\textstyle R(\cdot )}$ on ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$ 위에 ${\textstyle R(\cdot )}$의 경계성에 의해 , ${\textstyle h^{(n)}(z_{0})=0}$이며, 여기서 ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$임이 따라옵니다. 귀납법을 통해, 주장이 유지됩니다. Q.E.D.

See also

• Analytic continuation
• Identity theorem for Riemann surfaces

References

• Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S. (1997). Complex variables: Introduction and applications. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 122. ISBN 0-521-48058-2.