If and only if

↔⇔≡⟺
Logical symbols representing iff

논리(logic) 및 수학(mathematics)과 철학(philosophy)과 같은 관련된 분야에서, 만약과 오직 만약(if and only if, 줄여서 iff)은 명제 사이의 쌍-조건부(biconditional) 논리적 연결(logical connective)이며, 여기서 명제 둘 다는 참 또는 둘 다는 거짓 중 하나입니다.

그 연결은 쌍-조건부(biconditional) (물질 동등성의 명제)이고,^[1] 그것의 역 ("만약")과 결합된 표준 물질 조건부(material conditional) ("오직 만약"은, "만약 ... 이면"과 같음)와 비유될 수 있습니다; 따라서 그 이름입니다. 그 결과는 연결된 명제 중 둘 중 하나의 진리가 다른 것의 진리를 요구하는 것입니다 (즉, 명제 둘 다가 참 또는 둘 다가 거짓 중 하나입니다). 비록 이렇게 정의된 그 연결이 영어에 의해 "if and only if"—그것의 이전-존재하는 의미와 함께–에 의해 적절하게 표현되는지는 논란의 여지가 있습니다. 예를 들어, P if and only if Q는 P가 Q가 참일때 마다 참이고, P가 참인 유일한 경우가 만약 Q가 역시 참이고, 반면에 P if Q의 경우에서, P가 참이고 Q가 거짓인 다른 시나리오가 있을 수 있음을 의미합니다.

쓰기에서, P "if and only if" Q에 대한 대안으로 공통적으로 사용되는 구문은 다음을 포함합니다: Q is necessary and sufficient for P, P is equivalent (or materially equivalent) to Q (compare with material implication), P precisely if Q, P precisely (or exactly) when Q, P exactly in case Q, 및 P just in case Q.^[2] 일부 저자들은 "iff"를 형식적인 쓰기에서 적합하지 않은 것으로 여깁니다;^[3] 다른 저자들은 그것을 "경계선 경우"로 여기고 그것의 사용을 용인합니다.^[4]

논리적 공식(logical formulae)에서, $\leftrightarrow$ 및 $\Leftrightarrow$ ,^[5]와 같은 논리적 기호는 이들 구문 대신에 사용됩니다; 아래 § Notation를 참조하십시오.

Definition

P $\Leftrightarrow$ Q의 진리 테이블(truth table)은 다음과 같습니다:^[6]^[7]

진리 테이블
P	Q	P $\Rightarrow$ Q	P $\Leftarrow$ Q	P $\Leftrightarrow$ Q
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

그것은 XNOR 게이트에 의해 생성된 것과 동등하고, XOR 게이트에 의해 생성된 것과 반대입니다.^[8]

Usage

Notation

해당하는 논리적 기호는 "↔", " $\Leftrightarrow$ ",^[5] 및 "≡",^[9] 그리고 때때로 "iff"입니다. 이것들은 보통 동등하게 취급됩니다. 어쨌든, 수학적 논리(mathematical logic)의 일부 텍스트 (특히 명제 논리(propositional logic)가 아닌 일-차 논리(first-order logic)에 대한 텍스트)는 이러한 사이에 구별을 만들며, 이것에서 첫 번째 ↔는 논리 공식에서 기호로 사용되고, 반면에 ⇔는 그들 논리 공식 (예를 들어, 메타논리(metalogic))에 대한 추론에 사용됩니다. 우카시에비치(Łukasiewicz)의 폴란드 표기법(Polish notation)에서, 그것은 접두사 기호 'E'입니다.^[10]

이 논리적 연결(logical connective)에 대해 또 다른 용어는 배타적 NOR(exclusive nor)입니다.

텍스(TeX)에서, "if and only if"는 명령 \iff를 통해 긴 이중 화살표: $\iff$ 로 보입니다.^[11]

Proofs

대부분의 논리 시스템(logical system)에서, 우리는 "if P, then Q"와 "if Q, then P", 또는 "if P, then Q"와 "if not-P, then not-Q"를 증명함으로써 "P iff Q" 형식의 명제를 증명합니다. , 다음 not-Q". 이들 쌍의 명제를 증명하는 것은 때때로 보다 자연스러운 증명으로 이어지는데, 왜냐하면 우리가 직접 쌍조건을 추론할 명백한 조건이 없기 때문입니다. 대안은 논리합(disjunction) "(P and Q) or (not-P and not-Q)"를 증명하는 것이며, 이 그 자체가 노리합 중 하나에서 직접 추론될 수 있습니다–즉, "iff"가 진리-함수(truth-function)이기 때문에, " P iff Q"는 P와 Q가 둘 다 참이거나, 둘 다 거짓임을 보여주는 것에 따라옵니다.

Origin of iff and pronunciation

약어 "iff"의 사용은 존 켈리(John L. Kelley)의 1955년 책 General Topology에 처음 인쇄로 나타났습니다.^[12] 그 발명품은 종종 폴 핼모스(Paul Halmos)로 공인되고 있으며, 그는 "I invented 'iff,' for 'if and only if'—but I could never believe I was really its first inventor"라고 썼습니다.^[13]

"iff"가 어떻게 발음되었는지는 다소 불분명합니다. 현재 관행에서, 단일 '단어' "iff"는 거의 항상 4단어 "if and only if"로 읽습니다. 어쨌든, General Topology의 서문에서, 켈리는 다르게 읽어야 한다고 제안합니다: "In some cases where mathematical content requires 'if and only if' and euphony demands something less I use Halmos' 'iff'". 이산 수학 교과서의 저자는 다음을 제안합니다:^[14] "Should you need to pronounce iff, really hang on to the 'ff' so that people hear the difference from 'if'"는, "iff"가 [ɪfː]로 발음될 수 있음을 암시합니다.

Usage in definitions

기술적으로, 정의는 항상 "if and only if" 명제입니다; 켈리의 General Topology와 같은 일부 텍스트는 논리의 엄격한 요구를 따르고, 새로운 용어의 정의에서 "if and only if" 또는 iff를 사용합니다.^[15] 어쨌든, 대부분의 교과서, 연구 논문과 기사 (영문 위키피디아 기사 포함)는, 수학적 정의가 포함될 때마다 ("모든 열린 각 덮개가 유한 부분덮개를 가지면 토폴로지 공간은 컴팩트입니다"와 같이) "if"를 "if and only if"로 해석하는 특별 관례를 따르기 때문에, "if and only if"의 논리적으로 올바른 사용법은 비교적 드뭅니다.^[16]

Distinction from "if" and "only if"

"Madison will eat the fruit if it is an apple." (equivalent to "Only if Madison will eat the fruit, can it be an apple" or "Madison will eat the fruit ← the fruit is an apple")
이것은 매디슨이 사과인 과일을 먹을 것임을 말합니다. 어쨌든, 매디슨이 역시 바나나 또는 다른 유형의 과일을 먹을 가능성도 배제하지 않습니다. 확실하게 알려져 있는 모두는 그녀가 우연히 마주친 어떤 과일과 모든 사과를 먹을 것이라는 것입니다. 그 과일이 사과라는 것은 매디슨이 그 과일을 먹기 위한 충분 조건입니다.
"Madison will eat the fruit only if it is an apple." (equivalent to "If Madison will eat the fruit, then it is an apple" or "Madison will eat the fruit → the fruit is an apple")
이것은 매디슨이 먹을 유일한 과일은 사과라고 말합니다. 어쨌든, 매디슨이 임의의 사과를 먹을 수 있도록 요구하는 (1)과 달리 매디슨이 그것을 먹을 수 있으면 사과를 거부할 가능성을 배제하지 않습니다. 이 경우에서, 주어진 과일이 사과라는 것은 매디슨이 그것을 먹기 위한 필요 조건입니다. 그것은 충분 조건은 아닌데 왜냐하면 매디슨이 그녀에게 주어진 사과를 모두 먹지 못할 수도 있기 때문입니다.
"Madison will eat the fruit if and only if it is an apple." (equivalent to "Madison will eat the fruit ↔ the fruit is an apple")
이 명제는 매디슨이 사과인 모든 과일과 오직 그것을 먹을 것임을 분명히 합니다. 그녀는 어떤 사과도 먹지 않고 남겨두지 않을 것이고, 그녀는 어떤 다른 종류의 과일도 먹지 않을 것입니다. 주어진 과일이 사과라는 것은 매디슨이 그 과일을 먹기 위한 필요와 충분 조건입니다.

충분성은 필요성의 전환입니다. 다시 말해서, P→Q가 주어지면 (즉, 만약 P이면 Q이다가 주어지면), P는 Q에 대한 충분 조건이 될 것이고, Q는 P에 대한 필요 조건이 될 것입니다. 역시, P→Q가 주어지면, ¬Q→¬P는 참입니다 (여기서 ¬는 부정 연산자, 즉 "not"입니다). 이것은 P→Q에 의해 설정되는 P와 Q 사이의 관계가 다음과 같은 모든 동등한 방법에서 표현될 수 있음을 의미합니다:

P는 Q에 대한 충분 조건입니다

Q는 P에 대한 필요 조건입니다

¬Q는 ¬P에 대한 충분 조건입니다

¬P는 ¬Q에 대한 필요 조건입니다

예제로서, P→Q를 말하는 위의 첫 번째 예제를 살펴보겠습니다. 여기서 P는 "문제에서 과일은 사과입니다"이고 Q는 "매디슨이 문제에서 과일을 먹을 것입니다"입니다. 다음은 바로 이 관계를 표현하는 4가지 동등한 방법입니다:

If the fruit in question is an apple, then Madison will eat it.

Only if Madison will eat the fruit in question, is it an apple.

If Madison will not eat the fruit in question, then it is not an apple.

Only if the fruit in question is not an apple, will Madison not eat it.

여기서, 두 번째 예제는 if...then을 "If Madison will eat the fruit in question, then it is an apple"의 형식에서 다시 말할 수 있습니다; 이것을 첫 번째 예제와 논리곱을 취하여, 우리는 세 번째 예제가 "If the fruit in question is an apple, then Madison will eat it; and if Madison will eat the fruit, then it is an apple"라고 말할 수 있음을 찾습니다.

In terms of Euler diagrams

A is a proper subset of B. A number is in A only if it is in B; a number is in B if it is in A.
C is a subset but not a proper subset of B. A number is in B if and only if it is in C, and a number is in C if and only if it is in B.

오일러 다이어그램(Euler diagram)은 사건, 속성, 등 사이의 논리적 관계를 보여줍니다. "P only if Q", "if P then Q", 및 "P→Q"는 모두 P가 Q의 적절한 또는 부적절한 부분집합(subset)임을 의미합니다. "P if Q", "if Q then P", 및 Q→P 모두는 Q가 P의 적절한 또는 부적절한 부분집합임을 의미합니다. "P if and only if Q"와 "Q if and only if P" 둘 다는 집합 P와 Q가 서로 동일함을 의미합니다.

More general usage

Iff는 논리 분야 밖에서도 사용됩니다. 논리가 적용되는 곳마다, 특히 수학적(mathematical) 토론에서, 그것은 위에서 처럼 같은 의미를 가집니다: 그것은 if and only if에 대한 약어이며, 한 명제가 다른 명제에 대해 필요이고 충분 조건 둘 다임을 나타냅니다. 이것은 수학적 전문 용어(mathematical jargon)의 한 예제입니다 (비록, 위에서 언급한 바와 같이, if는 정의의 명제에서 iff보다 더 자주 사용됩니다).

X의 원소는 Y의 모두이고 오직 원소임을 의미합니다: "담론의 영역에서 임의의 z에 대해, z가 X 안에 있는 것과 z가 Y 안에 있는 것은 필요충분 조건입니다."

References

^ Copi, I. M.; Cohen, C.; Flage, D. E. (2006). Essentials of Logic (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
^ Weisstein, Eric W. "Iff." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
^ E.g. Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011), Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 52, ISBN 9781441994790, While it can be a real time-saver, we don't recommend it in formal writing.
^ Rothwell, Edward J.; Cloud, Michael J. (2014), Engineering Writing by Design: Creating Formal Documents of Lasting Value, CRC Press, p. 98, ISBN 9781482234312, It is common in mathematical writing
^ ^a ^b Peil, Timothy. "Conditionals and Biconditionals". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.
^ p <=> q. Wolfram|Alpha
^ If and only if, UHM Department of Mathematics, Theorems which have the form "P if and only Q" are much prized in mathematics. They give what are called "necessary and sufficient" conditions, and give completely equivalent and hopefully interesting new ways to say exactly the same thing.
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^ Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-04.
^ "Jan Łukasiewicz > Łukasiewicz's Parenthesis-Free or Polish Notation (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 2019-10-22.
^ "LaTeX:Symbol". Art of Problem Solving. Retrieved 2019-10-22.
^ General Topology, reissue ISBN 978-0-387-90125-1
^ Nicholas J. Higham (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences (2nd ed.). SIAM. p. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
^ Maurer, Stephen B.; Ralston, Anthony (2005). Discrete Algorithmic Mathematics (3rd ed.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. p. 60. ISBN 1568811667.
^ For instance, from General Topology, p. 25: "A set is countable iff it is finite or countably infinite." [boldface in original]
^ Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing, American Mathematical Society, p. 71, ISBN 978-0-8218-0635-7

External links

"Tables of truth for if and only if". Archived from the original on May 5, 2000.
Language Log: "Just in Case"
Southern California Philosophy for philosophy graduate students: "Just in Case"

[1] Copi, I. M.; Cohen, C.; Flage, D. E. (2006). Essentials of Logic (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.

[2] Weisstein, Eric W. "Iff." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html

[3] E.g. Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011), Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 52, ISBN 9781441994790, While it can be a real time-saver, we don't recommend it in formal writing.

[4] Rothwell, Edward J.; Cloud, Michael J. (2014), Engineering Writing by Design: Creating Formal Documents of Lasting Value, CRC Press, p. 98, ISBN 9781482234312, It is common in mathematical writing

[:2-5] Peil, Timothy. "Conditionals and Biconditionals". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.

[6] <=> q. Wolfram|Alpha

[7] If and only if, UHM Department of Mathematics, Theorems which have the form "P if and only Q" are much prized in mathematics. They give what are called "necessary and sufficient" conditions, and give completely equivalent and hopefully interesting new ways to say exactly the same thing.

[8] "XOR/XNOR/Odd Parity/Even Parity Gate". www.cburch.com. Retrieved 2019-10-22.

[9] Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-04.

[10] "Jan Łukasiewicz > Łukasiewicz's Parenthesis-Free or Polish Notation (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 2019-10-22.

[11] "LaTeX:Symbol". Art of Problem Solving. Retrieved 2019-10-22.

[12] General Topology, reissue ISBN 978-0-387-90125-1

[Higham1998-13] Nicholas J. Higham (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences (2nd ed.). SIAM. p. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.

[14] Maurer, Stephen B.; Ralston, Anthony (2005). Discrete Algorithmic Mathematics (3rd ed.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. p. 60. ISBN 1568811667.

[15] For instance, from General Topology, p. 25: "A set is countable iff it is finite or countably infinite." [boldface in original]

[16] Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing, American Mathematical Society, p. 71, ISBN 978-0-8218-0635-7

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