Imaginary number

$...$ (repeats the pattern from blue area)
$i -3 = i$
$i -2 = -1$
$i -1 = - i$
$i 0 = 1$
$i 1 = i$
$i 2 = -1$
$i 3 = - i$
$i 4 = 1$
$i 5 = i$
$i 6 = -1$
$i n = i m where m \equiv n mod 4$

허수(imaginary number)는, 그의 속성 $i 2 = -1$ 에 의해 정의되는, ^[1] 허수 단위 $i$ 에 의해 곱해진 실수(real number)로 쓸 수 있는 복소수입니다.^{[note 1]} 허수 $bi$ 의 제곱(square)은 $- b 2$ 입니다. 예를 들어, $5 i$ 는 허수이고, 그의 제곱은 $-25$ 입니다. 영은 실수와 허수 모두로 간주됩니다.^[2]

원래 17세기에 르네 데카르트(René Descartes)^[3]에 의해 경멸적인 용어로 만들어졌고 허구적이거나 쓸모없는 것으로 여겨진, 이 개념은 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy), 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) 및 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 연구에 따라 널리 받아들여졌습니다.

허수 $bi$ 는 실수 $a$ 에 더하여 형식 $a + bi$ 의 복소수를 형성할 수 있으며, 여기서 실수 $a$ 와 $b$ 는, 각각, 복소수의 실수 부분(real part)와 허수 부분(imaginary part)으로 불립니다.^[4]^{[note 2]}

History

비록 그리스 수학자이자 엔지니어인 알렉산드리아의 히이로(Hero of Alexandria)은 이들 숫자를 처음으로 상상한 것으로 기록되어 있을지라도,^[5]^[6] 라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli)는 1572년에 처음으로 복소수의 곱셈에 대해 규칙을 세웠습니다. 그 개념은 이전에, 예를 들어 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)의 연구의, 출판물에서 나타났습니다. 그 당시에 음수뿐만 아니라 허수는 잘못 이해되고 일부의 사람에 의해 거짓된 것 또는 쓸모없는 것으로 여겨졌습니다. 르네 데카르트(Laren Descartes)를 포함한 다른 많은 수학자들은 허수의 사용을 채태하는 것을 느리게 했는데, 데카르트는 그의 La Géométrie에서 그들에 대해 썼으며, 여기서 용어 허수(imaginary)는 사용되었는데 경멸적인 것임을 의미했습니다.^[7]^[8] 허수의 사용은 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) (1707–1783)와 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss) (1777–1855)의 연구 전까지 널리 받아들여지지 않았습니다. 평면에서 점으로 복소수의 기하학적 중요성은 캐스퍼 비슬(Caspar Wessel) (1745–1818)에 의해 처음 설명되었습니다.^[9]

1843년 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)은 평면에서 허수 축의 아이디어를 쿼터니언 허수(quaternion imaginaries)의 사-차원 공간으로 확장했는데, 그것에서 차원의 세 개는 복소수 필드에서 허수에 대해 유사합니다.

다항식 링(polynomial ring)의 몫 링(quotient ring)의 개발과 함께, 허수 뒤에 있는 개념은 보다 실질적이 되었지만, 누군가는 $+1$ 의 제곱근을 가지는 테사린(tessarine)의 j와 같은 다른 허수를 역시 찾습니다. 이 아이디어는 1848년 시작하는 제임스 코클(James Cockle)의 기사에 처음 부상되었습니다.^[10]

Geometric interpretation

기하학적으로, 허수는, 허수 축을 실수 축에 수직(perpendicular)으로 표시되는 것을 허용하는, 복소 평면(complex number plane)의 수직 축 위에서 발견될 수 있습니다. 허수를 보는 한 가지 방법은, 오른쪽으로 크기에서 양으로 증가하는, 및 왼쪽으로 크기에서 음으로 증가하는, 표준 숫자 직선(number line)을 고려하는 것입니다. 이 $x$ -축의 0에서, $y$ -축은 올라가는 것으로 "양의" 방향으로 그려질 수 있습니다: "양의" 허수는 그런 다음 위쪽으로 크기에서 증가하고, "음의" 허수는 아래쪽으로 크기에서 증가합니다. 이 세로 축은 종종 "허수 축"이라고 불리고 $i ℝ$ , $\scriptstyle \mathbb {I}$ , 또는 $ℑ$ 로 나타냅니다.

이 표현에서, $-1$ 을 곱하는 것은 원점에 대해 180도 회전(rotation)에 해당합니다. $i$ 를 곱하는 것은 "양의" 방향 (즉, 반-시계 방향)으로 90도 회전이고, 방정식 $i 2 = -1$ 은 만약 우리가 원점에 대한 두 번의 90도 회전을 적용하면, 순 결과는 하나의 180도 회전하는 것을 말하는 것으로 해석할 수 있습니다. "음의" 방향 (즉, 시계 방향)으로 90도 회전은 역시 이 해석을 만족함을 주목하십시오. 이것은 $- i$ 역시 방정식 $x 2 = -1$ 의 해라는 사실을 반영합니다. 일반적으로, 복소수의 거듭제곱은 그 복소수의 편각(argument)을 원점 주위로 회전시킨 다음, 그의 크기를 스케일링하는 것과 같습니다.

Square roots of negative numbers

음수(negative number)의 제곱근(square root)의 주요 값(principal value)으로 표현된 허수와 함께 연산할 때, 주의를 기울여야 합니다. 예를 들어:^[11]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.

때때로 이것은 다음으로 쓰입니다:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

변수가 적절하게 제한되지 않을 때 상등 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ 은 유지되지 않기 때문에, 오류(fallacy)가 발생합니다. 이 경우에서 상등은 두 숫자가 모두 음수일 때, 유지되지 않습니다. 이것은 다음과 같이 시연될 수 있습니다.

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

여기서 두 숫자 x와 y는 비-음의 실수입니다.

Notes

^ j is usually used in engineering contexts where i has other meanings (such as electrical current)
^ Both the real part and the imaginary part are defined as real numbers.

References

^ Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.
^ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 8171339123.
^ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 1-4390-4379-5.
^ Hargittai, István (1992). Fivefold symmetry (2nd ed.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.
^ Roy, Stephen Campbell (2007). Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. p. 1. ISBN 1-904275-25-7.
^ Descartes, René, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
^ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Chapter 10". A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. Springer. p. 382. ISBN 0-387-96458-4.
^ Cockle, James (1848) "On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435–9 and Cockle (1849) "On a New Imaginary in Algebra", Philosophical Magazine 34:37–47
^ Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

Bibliography

Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explains many applications of imaginary expressions.

External links

How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
In our time: Imaginary numbers Discussion of imaginary numbers on BBC Radio 4.
5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
Why Use Imaginary Numbers? Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers

[2] s usually used in engineering contexts where i has other meanings (such as electrical current)

[6] Both the real part and the imaginary part are defined as real numbers.

[1] Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.

[3] Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 8171339123.

[4] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121

[5] Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 1-4390-4379-5.

[7] Hargittai, István (1992). Fivefold symmetry (2nd ed.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.

[8] Roy, Stephen Campbell (2007). Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. p. 1. ISBN 1-904275-25-7.

[9] Descartes, René, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)

[Martinez-10] Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.

[11] Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Chapter 10". A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. Springer. p. 382. ISBN 0-387-96458-4.

[12] Cockle, James (1848) "On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435–9 and Cockle (1849) "On a New Imaginary in Algebra", Philosophical Magazine 34:37–47

[13] Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

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[note 1]

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