Integrable system

Original article: w:Integrable system

수학에서 적분가능성(integrability)은 특정 동역학적 시스템(dynamical systems)의 속성입니다. 몇 가지 구별되는 형식적 정의가 있지만, 비공식적으로 말하면, 적분-가능한 시스템(integrable system)은 그것의 행동이 그것의 위상 공간(phase space)의 차원보다 훨씬 적은 자유도(degrees of freedom)를 가짐을 만족하는 충분하게 많은 보존된 수량(conserved quantities), 또는 첫 번째 적분(first integrals)을 갖는 동적 시스템으로, 그 동작이 위상 공간의 차원보다 훨씬 적은 자유도를 갖습니다; 즉, 그 진화는 그 위상 공간 내의 부분매니폴드로 제한됩니다.

세 가지 특색은 종종 적분-가능한 시스템의 특성화라고 참조됩니다:

• 보존된 양의 최대 집합의 존재 (완전한 적분-가능성(complete integrability)의 보통의 정의하는 속성)
• 대수적 기하학에서 기저를 가지는 대수적(algebraic) 불변의 존재 (때때로 대수적 적분-가능성(algebraic integrability)으로 알려진 속성)
• 명시적 함수형 형식에서 해의 명시적 결정 (내재적 속성이 아니라, 종종 해결가능성(solvability)이라고 참조되는 것)

적분-가능 시스템은 보다 전형적으로 혼돈 시스템(chaotic systems)인 보다 일반적인 동역학적 시스템과 질적 특성에서 매우 다른 것으로 볼 수 있습니다. 후자는 일반적으로 보존된 양을 가지지 않고, 점근적으로 다루기 어려운데, 왜냐하면 초기 조건에서 임의적으로 작은 섭동이 충분하게 긴 시간에 걸쳐 그것들의 궤적에서 임의적으로 큰 편차로 이어질 수 있기 때문입니다.

물리학에서 연구되는 많은 시스템은 특히 해밀턴(Hamiltonian) 의미로 완전하게 적분-가능이며, 주요 예제는 다차원 조화 진동자입니다. 또 다른 표준 예제는 하나의 고정된 중심 (예를 들어, 태양) 또는 두 개의 중심에 대한 행성 운동입니다. 다른 기본적인 예제는 질량의 중심 (Euler top)에 대한 강체의 운동과 대칭 축의 한 점 (Lagrange top)에 대한 축-방향으로 대칭적 강체의 운동을 포함합니다.

적분-가능 시스템의 현대 이론이 1965년 마틴 크러스컬(Martin Kruskal)과 노먼 자부스키(Norman Zabusky)에 의해 솔리톤(solitons)의 수치적 발견으로 되살아났으며, 이는 1967년 역 산란 변환(inverse scattering transform) 방법으로 이어졌습니다. 얕은 물 파도의 일부 모델 (Korteweg–de Vries equation), 비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlinear Schrödinger equation)에 의해 설명되는 광섬유에서 커 효과(Kerr effect), 및 토다 격자(Toda lattice)와 같은 특정 적분-가능한 많은-몸체 시스템과 같은 자유도의 무한 개수를 가지는 물리학에서 완전하게 적분-가능 시스템이 있음을 깨달았습니다.

해밀턴 시스템의 특수한 경우에서, 만약 흐름 매개변수가 불변 수준 집합 (라그랑주 엽리(Lagrangian foliation)의 잎(leaves))에서 좌표 시스템 역할을 할 수 있도록 충분한 독립적인 푸아송 교환하는 첫 번째 적분이 있고, 흐름이 완전하고 에너지 수준 집합이 컴팩트하면, 이것은 리우빌-아르놀트 정리(Liouville-Arnold theorem); 즉, 동작-각도 변수(action-angle variables)의 존재를 의미합니다. 일반적인 동역학적 시스템은 그러한 보존된 양을 가지지 않습니다; 자율적인 해밀턴 시스템(Hamiltonian system)의 경우에서, 에너지는 일반적으로 유일한 것이고, 에너지 수준 집합 위에, 흐름은 전형적으로 혼돈스럽습니다.

적분-가능 시스템을 특징짓는 핵심 요소는 프로베니우스 정리(Frobenius theorem)로, 만약, 지역적으로, 그것이 최대 적분 매니폴드에 의해 엽리(foliation)를 가지면, 시스템이 프로베니우스 적분-가능(Frobenius integrable, 즉, 적분-가능 분포에 의해 생성됨)이라고 말합니다. 그러나 동역학적 시스템의 의미에서 적분-가능성은 지역적 속성이 아니라 전역적 속성인데, 왜냐하면 그것은 엽리가 규칙적 것이어야 하고, 잎이 삽입된 부분-매니폴드를 가져야 하기 때문입니다.

적분-가능한 시스템은 반드시 닫힌-형식(closed form) 또는 특수 함수(special functions)로 표현될 수 있는 해를 가질 필요는 없습니다; 현재의 의미에서, 적분-가능성은 위상 공간에서 시스템 해의 기하학 또는 토폴로지의 속성입니다.

General dynamical systems

미분-가능 동역학적 시스템(dynamical systems)의 맥락에서, 적분-가능성(integrability)의 개념은 불변의, 규칙적인 엽리(foliations); 즉, 잎이 흐름(flow) 아래에서 불변인 가장 작은 가능한 차원의 삽입된 부분매니폴드인 엽리의 존재를 의미합니다. 따라서 불변 엽리의 잎의 차원에 따라 적분-가능성의 차수의 다양한 개념이 있습니다. 이 개념은 이 맥락에서 가장 자주 언급되는 것인 리우빌의 의미에서 완전한 적분-가능성(complete integrability in the sense of Liouville)으로 알려진 해밀턴 시스템(Hamiltonian systems)의 경우 개선되었습니다 (아래를 참조).

적분-가능성의 개념의 확장은 격자와 같은 이산 시스템에도 적용할 수 있습니다. 이 정의는 미분 방정식(differential equations) 또는 유한 차이 방정식(finite difference equations)의 시스템인 진화 방정식을 설명하기 위해 적용될 수 있습니다.

적분-가능한 동역학적 시스템과 비-적분가능 동역학적 시스템 사이의 구분은 규칙적인 운동 대. 혼돈 운동(chaotic motion)의 질적 의미를 가지고 따라서 시스템이 명시적으로 정확한 형식으로 적분될 수 있는지 여부의 문제가 아니라 본질적인 속성입니다.

Hamiltonian systems and Liouville integrability

해밀턴 시스템(Hamiltonian systems)의 특수한 설정에서, 우리는 리우빌(Liouville) 감각의 적분-가능성 개념을 가지고 있습니다. (리우빌–아르놀트 정리(Liouville–Arnold theorem)를 참조하십시오.) 리우빌 적분-가능성(Liouville integrability)은 엽리의 불변과 결합된 해밀턴 벡터 필드가 접선 분포를 스팬함을 만족하는 불변 매니폴드에 의한 위상 공간의 규칙적인 엽리가 존재함을 의미합니다. 이를 설명하는 또 다른 방법은 푸아송 교환하는 불변의 최대 집합 (즉, 푸아송 괄호(Poisson brackets)가 시스템의 해밀턴과 함께, 그리고 서로 소멸되는 위상 공간 위에 함수)이 존재한다는 것입니다.

유한 차원에서, 만약 위상 공간(phase space)이 심플렉틱(symplectic)이면 (즉, 푸아송 대수의 중심이 상수로만 구성되면), 그것은 짝수 차원 $2n$을 가져야 하고, 독립적인 푸아송 교환하는 불변 (해밀턴 자체 포함)의 최대 숫자는 $n$입니다. 엽리의 잎은 심플렉틱 형식에 관해 전체적으로 등방적(totally isotropic)이고 그러한 최대 등방적 엽리는 라그랑주(Lagrangian)라고 불립니다. 모든 자율적인 해밀턴 시스템 (즉, 해밀턴과 푸아송 괄호가 명시적으로 시간-종속적이지 않은 시스템)은 적어도 하나의 불변을 가집니다; 즉, 흐름을 따라 값이 에너지인 해밀턴 자체입니다. 만약 에너지 수준 집합이 컴팩트하면, 라그랑주 엽리의 잎은 토러스이고, 이것들의 자연 선형 좌표는 "각도" 변수라고 불립니다. 정식의 1-형식의 주기는 동작 변수라고 불리고, 결과 정식의 좌표는 동작-각도 변수(action-angle variables)라고 불립니다 (아래 참조).

리우빌(Liouville)의 의미에서, 완전한 적분-가능성(complete integrability)과 부분 적분-가능성과 마찬가지로 초적분-가능성과 최대 초적분-가능성의 개념 사이에도 구별이 있습니다. 본질적으로, 이들 구분은 엽리의 잎 차원에 해당합니다. 독립적인 푸아송 교환하는 불변의 개수가 최댓값보다 작을 때 (그러나, 자율 시스템의 경우에서 하나보다 많음), 우리는 시스템이 부분적으로 적분-가능이라고 말합니다. 푸아송 교환하는 것이 될 수 있는 최대 숫자를 넘어 기능적으로 독립적인 불변이 더 존재하고, 따라서 불변 엽리의 잎의 차원이 n보다 작을 때, 우리는 시스템이 초적분-가능(superintegrable)이라고 말합니다. 만약 일-차원 잎 (곡선)을 갖는 규칙적인 엽리가 있으면, 이것은 최대 초적분-가능이라고 불립니다.

Action-angle variables

유한-차원 해밀턴 시스템이 리우빌 의미에서 완전하게 통합-가능하고, 에너지 수준 집합이 컴팩트할 때, 흐름이 완전하고, 불변 엽리의 잎이 토러스(tori)입니다. 그런-다음 위에서 언급한 것처럼, 불변 토러스가 동작(action) 변수의 결합 수준 집합임을 만족하는 동작-각도 변수(action-angle variables)로 알려진 위상 공간(phase space) 위에 정식의 좌표(canonical coordinates)의 특수 집합이 존재합니다. 따라서 이들은 해밀턴 흐름 (운동의 상수)의 불변의 완전한 집합을 제공하고, 각도 변수는 토러스 위에 자연스러운 주기 좌표입니다. 이들 정식의 좌표의 관점에서 표현되는 불변 토러스 위의 움직임은 각도 변수에서 선형입니다.

The Hamilton–Jacobi approach

정식의 변환(canonical transformation) 이론에서, 해밀턴-야코비 방법(Hamilton–Jacobi method)이 있으며, 이것에서 해밀턴의 방정식에 대한 해는 결합된 해밀턴-야코비 방정식(Hamilton–Jacobi equation)의 완전한 해를 먼저 찾음으로써 구합니다. 고전적인 용어에서, 이것은 완전하게 무시할 수 있는 변수로 구성된 정식의 좌표의 집합으로의 변환을 결정하는 것으로 설명됩니다; 즉, 정식의 "위치" 좌표의 완전한 집합 위에 해밀턴의 의존성이 없고, 따라서 대응하는 정식의 켤레 운동량은 모두 보존된 양입니다. 컴팩트 에너지 수준 집합의 경우에서, 이것은 동작-각도 변수(action-angle variables)를 결정하기 위한 첫 번째 단계입니다. 해밀턴-야코비 유형의 부분 미분 방정식의 일반 이론에서, 완전한 해 (즉, n개의 독립적인 적분의 상수에 의존하는 해, 여기서 n은 구성 공간의 차원)는 매우 일반적인 경우에 존재하지만, 지역적 의미로만 존재합니다. 그러므로, 해밀턴-야코비 방정식의 완전한 해의 존재는 결코 리우빌 의미에서 완전한 적분-가능성의 특성이 아닙니다. "명시적으로 적분될" 수 있는 대부분의 경우는 완전한 변수의 분리(separation of variables)를 포함하며, 이것에서 분리 상수는 필요한 적분 상수의 완전한 집합을 제공합니다. 전체 위상 공간 설정 내에서 이들 상수가 라그랑주 엽리의 잎으로 제한되는 푸아송 교환하는 함수의 완전한 집합의 값으로 재해석될 수 있는 때만, 시스템을 리우빌 의미에서 완전하게 적분-가능한 것으로 고려할 수 있습니다.

Solitons and inverse spectral methods

1960년대 후반에 코르테버흐–더 프리스 방정식(Korteweg–de Vries equation, 1-차원 비-소산성 유체 역학을 얕은 분지에서 설명함)과 같은 부분 미분 방정식의 강력하게 안정적, 지역적 해인 솔리톤(solitons)이 이들 방정식을 무한-차원 적분가능 해밀턴 시스템으로 봄으로써 이해될 수 있다는 발견과 함께 고전적인 적분가능 시스템에 대한 관심이 부활했습니다. 그것들의 연구는 결합된 적분 방정식의 해을 통해 푸리에 분석과 같은 지역적 선형 방법을 비-지역적 선형화로 일반화하는 그러한 시스템, 역 산란 변환 및 보다 일반적인 역 스펙트럼 방법 (종종 리만-힐베르트 문제로 줄일 수 있음)을 "적분"하기 위한 매우 유익한 접근 방식으로 이어집니다.

이 방법의 기본 아이디어는 위상 공간에서 위치에 의해 결정되고 (적절하게 일반화된 의미에서) 그것의 "스펙트럼"이 진화 아래에서 불변이라는 그러한 방법에서 문제에 있는 시스템의 역학 아래에서 진화하는 선형 연산자를 도입하는 것입니다, 참조, Lax pair. 이것은, 특정 경우에서, 시스템을 완전하게 적분-가능하도록 충분한 불변량, 또는 "운동의 적분"을 제공합니다. KdV 방정식과 같이 자유도의 무한한 숫자를 가지는 시스템의 경우에서, 이것은 리우빌 적분-가능성의 속성을 정확하게 만들기에는 충분하지 않습니다. 어쨌든, 적절하게 정의된 경계 조건에 대해, 스펙트럼 변환은, 실제로, 완전하게 무시-가능한 좌표(completely ignorable coordinates)로의 변환으로 해석될 수 있으며, 이것에서 보존된 양은 정식의 좌표의 두 배 무한 집합의 절반을 형성하고, 흐름은 이들에서 선형화됩니다. 일부 경우에서, 이것은 동작-각도 변수로의 변환으로 보일 수도 있지만, 전형적으로 "위치" 변수의 유한한 숫자만 실제로 각도 좌표이고, 나머지는 비-컴팩트입니다.

Hirota bilinear equations and τ-functions

적분-가능한 시스템의 현대 이론에서 발생한 또 다른 관점은 Ryogo Hirota에 의해 개척된 계산적 접근 방식에서 비롯되었으며, 원래의 비선형 동역학적 시스템을 보조 수량에 대한 상수 계수 방정식의 쌍선형 시스템으로 대체하는 것과 관련된 것으로, 나중에 τ-함수(τ-function)로 알려지게 되었습니다. 이것들은 이제 Hirota equations이라고 참조됩니다. 원래는 역 산란(inverse scattering) 방식, 또는 해밀턴 구조와 어떤 명확한 관계 없이 계산 장치로만 보였지만, 이것은 그럼에도 불구하고 솔리톤(solitons)과 같은 해의 중요한 클래스가 도출될 수 있는 매우 직접적인 방법을 제공했습니다.

그 후, 이것은 미키오 사토(Mikio Sato)와 그의 학생들에 의해, 처음에는 Kadomtsev–Petviashvili 계층과 같은 PDE의 적분-가능한 계층의 경우에 대해 해석되었지만, 그런-다음 적분-가능한 계층의 훨씬 더 일반적인 클래스에 대해 일종의 보편적 위상 공간 접근 방식으로 해석되었으며, 이것에서, 전형적으로 교환하는 동역학은 (유한 또는 무한) 그라스만 매니폴드(Grassmann manifold) 위에 고정된 (유한 또는 무한) 아벨 그룹 동작(group action)에 의해 결정되는 것으로 간단히 보였습니다. τ-함수는 그룹 궤도(group orbit)의 원소에서 그라스만 내의 일부 원점까지의 투영 연산자(projection operator)의 행렬식(determinant)으로 보였고, Hirota equations을 페르미온 포크 공간(fermionic Fock space)으로 본, 적절하게 정의된 (무한) 외부 공간의 투영화에서 그라스만의 플뤼커 삽입을 특징짓는 플뤼커 관계(Plücker relations)를 표현하는 것으로 보였습니다.

Quantum integrable systems

양자 적분-가능 시스템이라는 개념도 있습니다.

양자 설정에서, 위상 공간 위에 함수는 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 자기-인접 연산자(self-adjoint operators)에 의해 대체되어야 하고, 푸아송 교환하는 함수의 개념은 교환하는 연산자에 의해 대체되어야 합니다. 보존 방법의 개념은 지역적(local) 보존 방법에 특화되어야 합니다. 모든 각 해밀턴(Hamiltonian)은 투영기에 의해 그것의 에너지 고유-상태(eigenstates)에 주어진 보존된 양의 무한한 집합을 가지고 있습니다. 어쨌든, 이것은 임의의 특별한 동역학적 구조를 의미하지 않습니다.

양자 적분-가능성을 설명하기 위해, 자유 입자 설정을 고려하는 것이 도움이 됩니다. 여기서 모든 동역학은 한-몸체 축소-가능입니다. 양자 시스템은 역학이 2-몸체 축소-가능이면 적분-가능이라고 말합니다. 양-백스터 방정식(Yang–Baxter equation)은 이러한 축소-가능성의 결과이고 보존된 양의 무한 집합을 제공하는 항등원을 추적하는 것으로 이어집니다. 이들 모든 아이디어는 대수적 베테 가설 풀이(Bethe ansatz)가 명시적 해를 얻기 위해 사용될 수 있는 양자 역 산란 방법(quantum inverse scattering method)에 통합됩니다. 양자 적분-가능 모델의 예제는 Lieb-Liniger 모델, Hubbard 모델, 및 Heisenberg 모델의 여러 변형이 있습니다. 구동되는 Tavis-Cummings 모델과 같은 명시적으로 시간-종속적 양자 문제에서 다른 유형의 양자 적분-가능성이 알려져 있습니다.

Exactly solvable models

물리학에서, 완전하게 적분-가능한 시스템은, 특히 무한-차원 설정에서, 정확하게 해결-가능 모델이라고 참조됩니다. 이것은 해밀턴 의미에서 적분-가능성과 보다 일반적인 동역학적 시스템 의미 사이의 구별을 모호하게 합니다.

역시 통계적 역학에서 정확하게 해결-가능 모델이 있으며, 이는 고전적 시스템보다 양자 적분-가능 시스템과 더 밀접하게 관련되어 있습니다. 밀접하게 관련된 두 가지 방법: 양-백스터 방정식(Yang–Baxter equation)과 양자 역 산란 방법(quantum inverse scattering method)을 기반으로 하는 현대적인 의미에서 베테 가설 풀이(Bethe ansatz) 접근 방식은 역 스펙트럼 방법의 양자 아날로그를 제공합니다. 이것들은 통계적 역학에서 해결-가능 모델의 연구에서 똑같이 중요합니다.

"정확한 해결-가능성"의 의미가 부정확한 개념: "해는 이전에 알려진 일부 함수의 관점에서 명시적으로 표현될 수 있다"는 때때로 유용한 "알려진" 함수를 우연히 갖게 되어, 이러한 관점에서 해는 표현될 수 있는 순전히 계산적인 특색이 아니라 시스템 자체의 본질적인 속성인 것처럼 사용됩니다. 이 개념은 본질적인 의미를 가지지 않는데, 왜냐하면 매우 자주 "알려진" 함수에 의해 의미하는 바는 특정 주어진 방정식을 만족시킨다는 사실에 의해 정확하게 정의되고, 그러한 "알려진 함수"의 목록은 지속적으로 증가하기 때문입니다. "적분-가능성"의 그러한 특성화가 본질적인 타당성을 가지지 않지만, 그것은 종종 적분-가능한 시스템에서 예상되는 일종의 규칙성을 암시합니다.

List of some well-known integrable systems

Classical mechanical systems

• Calogero–Moser–Sutherland model
• Central force motion (exact solutions of classical central-force problems)
• Geodesic motion on ellipsoids
• Harmonic oscillator
• Integrable Clebsch and Steklov systems in fluids
• Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops
• Neumann oscillator
• Two center Newtonian gravitational motion

Integrable lattice models

• Ablowitz–Ladik lattice
• Toda lattice
• Volterra lattice

Integrable systems in 1 + 1 dimensions

• AKNS system
• Benjamin–Ono equation
• Boussinesq equation (water waves)
• Camassa–Holm equation
• Classical Heisenberg ferromagnet model (spin chain)
• Degasperis–Procesi equation
• Dym equation
• Garnier integrable system
• Kaup–Kupershmidt equation
• Krichever–Novikov equation
• Korteweg–de Vries equation
• Landau–Lifshitz equation (continuous spin field)
• Nonlinear Schrödinger equation
• Nonlinear sigma models
• Sine–Gordon equation
• Thirring model
• Three-wave equation

Integrable PDEs in 2 + 1 dimensions

• Davey–Stewartson equation
• Ishimori equation
• Kadomtsev–Petviashvili equation
• Novikov–Veselov equation

Integrable PDEs in 3 + 1 dimensions

• The Belinski–Zakharov transform generates a Lax pair for the Einstein field equations; general solutions are termed gravitational solitons, of which the Schwarzschild metric, the Kerr metric and some gravitational wave solutions are examples.

Exactly solvable statistical lattice models

• 8-vertex model
• Gaudin model
• Ising model in 1- and 2-dimensions
• Ice-type model of Lieb
• Quantum Heisenberg model

See also

• Hitchin system

Related areas

• Mathematical physics
• Soliton
• Painleve transcendents
• Statistical mechanics
• Integrable algorithm

Some key contributors (since 1965)

• Mark Ablowitz
• Rodney Baxter
• Percy Deift
• Leonid Dickey
• Vladimir Drinfeld
• Boris Dubrovin
• Ludvig Faddeev
• Hermann Flaschka
• Israel Gel'fand
• Alexander Its
• Michio Jimbo
• Igor M. Krichever
• Martin Kruskal
• Peter Lax
• Vladimir Matveev
• Robert Miura
• Tetsuji Miwa
• Alan Newell
• Nicolai Reshetikhin
• Aleksei Shabat
• Evgeny Sklyanin
• Mikio Sato
• Elliott H. Lieb
• Graeme Segal
• George Wilson
• Vladimir E. Zakharov

References

• Arnold, V.I. (1997). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Audin, M. (1996). Spinning Tops: A Course on Integrable Systems. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 51. Cambridge University Press. ISBN 978-0521779197.
• Babelon, O.; Bernard, D.; Talon, M. (2003). Introduction to classical integrable systems. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511535024. ISBN 0-521-82267-X.
• Baxter, R.J. (1982). Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press. ISBN 978-0-12-083180-7.
• Dunajski, M. (2009). Solitons, Instantons and Twistors. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9.
• Faddeev, L.D.; Takhtajan, L.A. (1987). Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
• Fomenko, A.T. (1995). Symplectic Geometry. Methods and Applications (2nd ed.). Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-901-3.
• Fomenko, A.T.; Bolsinov, A.V. (2003). Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification. Taylor and Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Harnad, J.; Winternitz, P.; Sabidussi, G., eds. (2000). Integrable Systems: From Classical to Quantum. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2093-1.
• Harnad, J.; Balogh, F. (2021). Tau functions and Their Applications. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108610902. ISBN 9781108492683. S2CID 222379146.
• Hietarinta, J.; Joshi, N.; Nijhoff, F. (2016). Discrete systems and integrability. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107337411. ISBN 978-1-107-04272-8.
• Korepin, V. E.; Bogoliubov, N.M.; Izergin, A.G. (1997). Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58646-7.
• Afrajmovich, V.S.; Arnold, V.I.; Il'yashenko, Yu. S.; Shil'nikov, L.P. Dynamical Systems V. Springer. ISBN 3-540-18173-3.
• Mussardo, Giuseppe (2010). Statistical Field Theory. An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954758-6.
• Sardanashvily, G. (2015). Handbook of Integrable Hamiltonian Systems. URSS. ISBN 978-5-396-00687-4.

Further reading

• Beilinson, A.; Drinfeld, V. "Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves" (PDF).
• Donagi, R.; Markman, E. (1996). "Spectral covers, algebraically completely integrable, Hamiltonian systems, and moduli of bundles". Integrable systems and quantum groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1620. Springer. pp. 1–119. doi:10.1007/BFb0094792. ISBN 978-3-540-60542-3.
• Sonnad, Kiran G.; Cary, John R. (2004). "Finding a nonlinear lattice with improved integrability using Lie transform perturbation theory". Physical Review E. 69 (5): 056501. Bibcode:2004PhRvE..69e6501S. doi:10.1103/PhysRevE.69.056501. PMID 15244955.

External links

• "Integrable system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "SIDE - Symmetries and Integrability of Difference Equations", a conference devoted to the study of integrable difference equations and related topics.