Inverse-square law

과학(science)에서, 역-제곱 법칙(inverse-square law)은 지정된 물리적 량(physical quantity)이 해당 물리적 량의 근원으로부터 거리(distance)의 제곱(square)에 반비례(inversely proportional)한다는 과학적 법칙(scientific law)입니다. 이에 대한 근본적인 원인은 삼-차원 공간으로의 점-광원 방사선에 해당하는 기하학적 희석으로 이해될 수 있습니다.

레이더 에너지는 신호 전송과 반사된(reflected) 반환 동안 모두 확장되므로, 두 경로에 대해 역 제곱은 레이더가 범위의 역 네 번째 거듭제곱(fourth power)에 따라 에너지를 수신할 것임을 의미합니다.

신호를 전파하는 동안 에너지(energy)의 희석을 방지하기 위해, 도파관(waveguide)과 같은 특정 방법이 사용될 수 있으며, 이는 운하가 물에 대해 하는 것처럼 작동하거나, 총신이 총알로의 에너지 전달 손실을 방지하기 위해 뜨거운 가스 팽창을 일 차원(dimension)으로 제한하는 방법입니다.

Formula

수학적 표기법에서, 역 제곱 법칙은 어떤 중심으로부터 거리 (d)의 함수로 변화하는 강도 (I)로 표현될 수 있습니다. 강도는 거리 제곱의 곱셈 역수에 비례적이며 (∝ 참조), 따라서. ${\text{intensity}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distance}}^{2}}}\,$

그것은 수학적으로 다음과 같이 표현할 수도 있습니다: ${\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}$

또는 상수 양의 공식으로 표현할 수도 있습니다: ${\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}$

하나 이상의 근원에 관한 방사형 역-제곱 법칙 필드의 결과인 벡터 필드(vector field)의 발산(divergence)은 지역적 근원의 강도에 비례하고, 따라서 근원 외부는 영입니다. 뉴턴의 만유인력 법칙(Newton's law of universal gravitation)은 전기(electric), 빛(light), 소리(sound), 및 복사(radiation) 현상의 효과와 마찬가지로 역-제곱 법칙을 따릅니다.

Justification

역-제곱 법칙은 일반적으로 일부 힘, 에너지, 또는 기타 보존된 양(other conserved quantity)이 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 점 광원(point source)에서 외부로 고르게 방사될 때 적용됩니다. 구(sphere)의 표면 넓이 (즉, 4πr²)은 반지름의 제곱에 비례하므로, 방출된 방사선(emitted radiation)이 근원에서 멀어질수록 거리의 제곱에 비례하여 증가하는 영역에 걸쳐 퍼집니다. 따라서, 임의의 단위 면적 (점 광원을 직접 향함)을 통과하는 방사선의 강도는 점 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례합니다. 중력에 대한 가우스의 법칙(Gauss's law for gravity)도 마찬가지로 적용 가능하고, 역-제곱 관계에 따라 작용하는 임의의 물리적 량과 함께 사용될 수 있습니다.

Occurrences

Gravitation

중력(Gravitation)은 질량을 가지는 물체 사이의 인력입니다. 뉴턴의 법칙은 다음과 같이 말합니다:

두 점 질량 사이의 중력 인력은 그것들의 질량의 곱에 직접 비례하고 그것들의 분리 거리의 제곱에 반비례합니다. 그 힘은 항상 인력이고 그것들을 연결하는 직선을 따라 작용합니다.

만약 각 물체에서 물질의 분포가 구형적으로 대칭이면, 껍질 정리(shell theorem)에서와 같이 물체를 근사하지 않고 점 질량으로 취급할 수 있습니다. 그렇지 않으면, 만약 우리가 육중한 물체 사이의 인력을 계산하기를 원하면, 우리는 모든 점-대-점 인력을 벡터적으로 더해야 하고 순 인력은 정확하게 역-제곱이 아닐 수 있습니다. 어쨌든, 질량 몸체 사이의 분리가 그 크기에 비해 훨씬 더 크면, 좋은 근사치로, 중력을 계산할 때 질량을 물체의 질량의 중심(center of mass)에 위치한 점 질량으로 취급하는 것이 타당합니다.

중력의 법칙으로서, 이 법칙은 1645년 이스마엘 불리알두스(Ismael Bullialdus)에 의해 제안되었습니다. 그러s나 불리알두스는 케플러의 두 번째와 세 번째 법칙을 받아들이지 않았고, 원 운동 (중심 력에 의해 옆으로 당겨지는 직선 운동)에 대한 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)의 해결책도 인정하지 않았습니다. 실제로, 불리알두스는 태양의 힘이 원일점에서는 끌어당기고 근일점에서는 밀어낸다고 주장했습니다. 로버트 훅(Robert Hooke)와 조반니 알폰소 보렐리((Giovanni Alfonso Borelli)는 모두 1666년에 중력을 인력으로 설명했습니다.^[1] 훅의 "On Gravity" 강의는 3월 21일 런던의 왕립 학회에서 있었습니다.^[2] 보렐리의 "Theory of the Planets"는 1666년 후반에 출판되었습니다.^[3] 훅의 1670년 Gresham 강의에서는 중력이 "모든 천체"에 적용된다고 설명하고 중력이 거리에 따라 감소하고 그러한 힘이 없는 경우 직선으로 움직인다는 원리를 추가했습니다. 1679년까지, 훅은 중력이 역-제곱 종속성을 가지고 있다고 생각했고 이것을 아이작 뉴턴(Isaac Newton)에게 보낸 편지에서 전달했습니다:^[4] 내 가정은 인력이 항상 중심 역수로부터의 거리에 이중으로 비례한다는 것입니다.^[5]

훅은 뉴턴의 1686년 Principia에서 훅이, Wren과 Halley와 함께, 태양 시스템의 역-제곱 법칙을 개별적으로 인정하고,^[6] Bullialdus에 약간의 공로를 인정했음에도 불구하고,^[7] 뉴턴이 이 원리의 발명을 주장하는 것에 대해 씁쓸해했습니다.

Electrostatics

전하를 띤 두 입자 사이의 끄는 힘 또는 미는 힘은 전하의 곱에 직접적으로 비례할 뿐만 아니라 그들 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다; 이것은 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)으로 알려져 있습니다. 2에서 지수의 편차는 10¹⁵에서 1보다 작습니다.

$F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

Light and other electromagnetic radiation

점 광원 (광원에 수직인 단위 넓이 당 에너지)에서 방사되는 빛 또는 기타 선형 파동의 강도(intensity) (또는 조도(illuminance) 또는 복사-조도(irradiance))는 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례하므로, 2배 멀리 떨어져 있는 물체는 (같은 시간 동안) 에너지는 1/4만 받습니다.

보다 일반적으로, 복사-조도, 즉, 구형(spherical) 파동-전면(wavefront)의 강도 (또는 전파(propagation) 방향에서 단위 넓이 당 전력(power))는 소스로부터 거리의 제곱에 반비례합니다 (흡수(absorption) 또는 산란(scattering)으로 인한 손실이 없다고 가정합니다).

예를 들어, 태양으로부터의 복사의 강도는 수성 (0.387 AU)의 거리에서 제곱미터 당 9126 와트입니다; 그러나 지구의 거리 (1 AU)에서 제곱미터 당 1367 와트에 불과합니다—거리가 약 3배 증가하면 복사 강도가 약 9배 감소합니다.

포물선 안테나(parabolic antennas), 헤드라이트, 및 레이저와 같은 비-등방성 방사체(isotropic radiators)에 대해, 유효 원점은 빔 구경 훨씬 뒤에 있습니다. 만약 원점에 가까워지면, 반지름을 두 배로 늘리기 위해 멀리 갈 필요가 없으므로, 신호가 빠르게 떨어집니다. 원점에서 멀리 떨어져 있고 레이저와 같이 여전히 강한 신호를 가질 때, 반지름을 두 배로 늘리고 신호를 줄이기 위해 매우 멀리 이동해야 합니다. 이것은 신호가 더 강하거나 등방성 안테나(isotropic antenna)의 모든 방향에서 넓은 빔에 비해 좁은 빔 방향으로 안테나 이득(antenna gain)이 있음을 의미합니다.

사진(photography)과 무대 조명(stage lighting)에서, 역-제곱 법칙은 피사체가 광원에 가까워지거나 멀어질 때 피사체의 조명 차이 또는 "떨어짐(fall off)"을 결정하기 위해 사용됩니다. 빠른 근사치를 위해, 거리를 두 배로 늘리면 조명이 1/4로 줄어든다는 점을 기억하는 것으로 충분합니다;^[8] 또는 유사하게, 조명을 절반으로 줄이려면 거리를 1.4의 인수 (2의 제곱근)만큼 늘리고, 조명을 두 배로 늘리려면 거리를 0.7 (1/2의 제곱근)로 줄입니다. 광원이 점 광원이 아닐 때, 역-제곱 법칙이 종종 여전히 유용한 근사입니다; 광원의 크기가 피사체까지의 거리의 1/5 미만일 때, 계산 오차는 1% 미만입니다.^[9]

점 광원으로부터 거리가 멀어짐에 따라 간접적으로 이온화하는 복사에 대한 전자기 플루언스(fluence, Φ)의 일부 감소는 역-제곱 법칙을 사용하여 계산될 수 있습니다. 점 광원에서 방출은 방사형 방향을 가지므로, 그것들은 수직 입사에서 차단합니다. 그러한 껍질의 넓이는 4πr ²이며 여기서 r은 중심으로부터의 방사형 거리입니다. 그 법칙은 진단 방사선-촬영(radiography)과 방사선-요법(radiotherapy) 치료 계획에서 특히 중요하지만, 이 비례성은 광원 크기가 거리보다 훨씬 작지 않은 한 실제 상황에서 유지되지 않습니다. 열의 푸리에 이론(Fourier theory)에서 언급한 바와 같이, "점 광원은 거리에 따라 확대되므로, 그것의 복사는 광원의 점에서 둘레 호가 증가하는 각도의 사인(sin)에 비례하여 희석됩니다."

Example

P 를 점 광원 (예를 들어, 전방향적 등방성 복사체(radiator))에서 방사되는 전체 전력이라고 놓습니다. (광원의 크기와 비교하여) 광원으로부터 먼 거리에서, 이 전력은 광원으로부터의 거리가 증가함에 따라 점점 더 큰 구형 표면에 분산됩니다. 반지름 r의 구의 표면 넓이는 A = 4πr²이므로, 거리 r에서의 복사의 강도 I (단위 넓이 당 전력)는 다음과 같습니다: $I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,$

거리 r이 두 배가 될 때 에너지 또는 강도가 감소합니다 (4로 나눕니다); 만약 dB에서 측정된 거리가 두 배가 될 때마다 6.02 dB 감소합니다. 전력 량의 측정을 참고할 때, 참조 값에 대한 측정된 량의 비율을 밑수-10 로그를 10배로 평가함으로써 비율을 데시벨에서 수준으로 표시할 수 있습니다.

Sound in a gas

음향학(acoustics)에서, 점 광원에서 방사되는 구형(spherical) 파동-전면(wavefront)의 소리 압력(sound pressure)은 거리 r이 두 배가 될수록 50%로 감소합니다; dB로 측정된, 그 감소는 여전히 6.02 dB인데, 왜냐하면 dB는 강도 비율을 나타내기 때문입니다. 압력 비율 (전력 비율과 반대로)은 역-제곱이 아니지만, 반비례적입니다 (역 거리 법칙):

$p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,$

같은 것은 순간 소리 압력 $p\,$ 와 동상(in-phase)인 입자 속도(particle velocity) $v\,$ 의 구성 요소에 대해 참입니다:

$v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,$

근처 필드(near field)는 소리 압력과 90° 위상이 다른 입자 속도의 구적법 구성 요소(quadrature component)가 있고 시간-평균된 에너지 또는 소리의 강도에 기여하지 않습니다. 소리 강도(sound intensity)는 RMS 소리 압력과 RMS 입자 속도의 동-위상(in-phase) 구성 요소의 곱이며, 그것의 둘 다는 반비례적입니다. 그에 따라서, 강도는 역-제곱 동작을 따릅니다:

$I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,$

Field theory interpretation

삼-차원 공간에서 비회전 벡터 필드(irrotational vector field)에 대해, 역-제곱 법칙은 발산(divergence)이 광원 외부에서 영이라는 속성에 해당합니다. 이것은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있습니다. 일반적으로, n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 비회전 벡터 필드에 대해, 벡터 필드의 강도 "I"는 역 (n − 1)^th 거듭제곱 법칙에 따라 거리 "r"로 떨어집니다:

$I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},$

광원 외부 공간이 발산이 없다는 것으로 주어집니다.

History

14세기 옥스퍼드 계산기의 존 덤블턴(John Dumbleton)은 함수형 관계를 그래픽 형식으로 표현한 최초의 사람 중 한 명입니다. 그는 "균등한 차동 운동의 위도는 중간점의 정도에 해당한다"는 평균 속력 정리(mean speed theorem)의 증명을 제공했고 이 방법을 그의 Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349)에서 조명 강도에서 양적 감소를 연구하기 위해 사용했으며, 그것은 거리에 선형적으로 비례하지 않지만, 역-제곱 법칙을 드러내지 못했다고 말합니다.^[10]

천문학자 요하네스 케플러(Johannes Kepler)는 그의 저서 Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604)에서 1권 명제 9에서, 점 광원에서 나오는 빛의 확산은 역 제곱 법칙을 따른다고 주장했습니다:^[11]^[12]

Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, amplior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.

빛의 근원이 구형 표면[의 비율]이 넓은 것에서 좁은 것으로 가는 것과 마찬가지로, 반직선의 밀도 또는 강인함은 더 넓은 구형 표면을 향하여 더 좁은 것 [공간], 즉 역으로 나타납니다. [명제] 6 & 7에 따르면, 더 좁은 구형 표면에 더 넓은 구형 표면만큼 많은 빛이 있으므로 여기보다 훨씬 더 압축되고 밀도가 높습니다.

1645년, 그의 저서 Astronomia Philolaica ...,에서, 프랑스 천문학자 이스마엘 불리알두스(Ismaël Bullialdus, 1605–1694)는 "중력"이^[13] 거리의 역만큼 약해진다는 요하네스 케플러의 제안을 반박했습니다; 대신, 불리알두스는 "중력"이 거리의 역 제곱만큼 약해진다고 주장했습니다:^[14]^[15]

Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi amplitudinem emissa quasi species solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur in maiori spatio & intervallo, ratio autem huius imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervallorum, sed eversa.

태양이 행성을 붙들고 유지하는 힘에 대해, 그리고 물질적인 것에 대한 힘에 대해, 손의 방식으로 기능하므로, 그것은 전 세계에 걸쳐 직선으로 방출되고, 태양의 종처럼, 태양의 몸체와 함께 회전합니다; 이제, 그것이 물질적이라는 것을 알면, 더 큰 거리나 간격에서 더 약해지고 감쇠되고, 강도에서 그 감소의 비율은 빛의 경우와 같은 것, 즉, 중복 비율이지만 거리의 역수입니다 [즉, 1/d²].

영국에서, 성공회 주교 Seth Ward (1617–1689)는 그의 비평 In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653)에서 불리알두스의 아이디어를 공표했고 그의 저서 Astronomia geometrica (1656)에서 케플러의 행성 천문학을 공표했습니다.

1663–1664년에서, 영국 과학자 로버트 훅(Robert Hooke)은 그의 저서 Micrographia (1666)를 집필하고 있었으며, 이 책에서 그는 무엇보다도 대기의 높이와 지구 표면의 기압 사이의 관계에 대해 논의했습니다. 대기는 그 자체가 구형인 지구를 둘러싸고 있기 때문에, 지구 표면의 단위 넓이를 지탱하는 대기의 부피는 잘린 원뿔입니다 (이는 지구 중심에서 공간의 진공까지 확장됩니다; 명백하게 지구 표면에서 우주까지의 원뿔의 단면만이 지구 표면을 지탱합니다). 원뿔의 부피는 높이의 세제곱에 비례하지만, 훅은 중력이 고도에 따라 감소하기 때문에 지구 표면의 기압은 대신 대기의 높이에 비례한다고 주장했습니다. 훅은 명시적으로 언급하지는 않았지만, 그가 제안한 관계는 중력이 지구 중심으로부터의 거리의 역-제곱으로 감소하는 경우에만 참일 것입니다.^[16]^[17]

References

This article incorporates public domain material from the General Services Administration document "Federal Standard 1037C".

^ Hooke's gravitation was also not yet universal, though it approached universality more closely than previous hypotheses: See page 239 in Curtis Wilson (1989), "The Newtonian achievement in astronomy", ch.13 (pages 233–274) in "Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton", CUP 1989.
^ Thomas Birch, The History of the Royal Society of London, … (London, England: 1756), vol. 2, pages 68–73; see especially pages 70–72.
^ Giovanni Alfonso Borelli, Theoricae Mediceorum Planetarum ex Causis Physicis Deductae [Theory [of the motion] of the Medicean planets [i.e., moons of Jupiter] deduced from physical causes] (Florence, (Italy): 1666)
^ Koyré, Alexandre (1952). "An Unpublished Letter of Robert Hooke to Isaac Newton". Isis. 43 (4): 312–337. doi:10.1086/348155. JSTOR 227384. PMID 13010921. S2CID 41626961.
^ Hooke's letter to Newton of 6 January 1680 (Koyré 1952:332).
^ Newton acknowledged Wren, Hooke and Halley in this connection in the Scholium to Proposition 4 in Book 1 (in all editions): See for example the 1729 English translation of the Principia, at page 66.
^ In a letter to Edmund Halley dated 20 June 1686, Newton wrote: "Bullialdus wrote that all force respecting ye Sun as its center & depending on matter must be reciprocally in a duplicate ratio of ye distance from ye center." See: I. Bernard Cohen and George E. Smith, ed.s, The Cambridge Companion to Newton (Cambridge, England: Cambridge University Press, 2002), page 204.
^ Millerson,G. (1991) Lighting for Film and Television – 3rd Edition p.27
^ Ryer,A. (1997) “The Light Measurement Handbook”, ISBN 0-9658356-9-3 p.26
^ John Freely, Before Galileo: The Birth of Modern Science in Medieval Europe (2012)
^ Johannes Kepler, Ad Vitellionem Paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (Frankfurt, (Germany): Claude de Marne & heir Jean Aubry, 1604), page 10.
^ Translation of the Latin quote from Kepler's Ad Vitellionem paralipomena is from: Gal, O. & Chen-Morris, R.(2005) "The Archaeology of the Inverse Square Law: (1) Metaphysical Images and Mathematical Practices," History of Science, 43 : 391–414 ; see especially p. 397.
^ Note: Both Kepler and William Gilbert had nearly anticipated the modern conception of gravity, lacking only the inverse-square law in their description of "gravitas". On page 4 of chapter 1, Introductio, of Astronomia Nova, Kepler sets out his description as follows: "The true theory of gravity is founded on the following axioms: Every corporeal substance, so far forth as it is corporeal, has a natural fitness for resting in every place where it may be situated by itself beyond the sphere of influence of a body cognate with it. Gravity is a mutual affection between cognate bodies towards union or conjunction (similar in kind to the magnetic virtue), so that the earth attracts a stone much rather than the stone seeks the earth. ... If two stones were placed in any part of the world near each other, and beyond the sphere of influence of a third cognate body, these stones, like two magnetic needles, would come together in the intermediate point, each approaching the other by a space proportional to the comparative mass of the other. If the moon and earth were not retained in their orbits by their animate force or some other equivalent, the earth would mount to the moon by a fifty-fourth part of their distance, and the moon fall towards the earth through the other fifty-three parts, and they would there meet, assuming, however, that the substance of both is of the same density." Notice that in saying "the earth attracts a stone much rather than the stone seeks the earth" Kepler is breaking away from the Aristotelian tradition that objects seek to be in their natural place, that a stone seeks to be with the earth.
^ Ismail Bullialdus, Astronomia Philolaica … (Paris, France: Piget, 1645), page 23.
^ Translation of the Latin quote from Bullialdus' 'Astronomia Philolaica' … is from: O'Connor, John J. and Roberson, Edmund F. (2006) "Ismael Boulliau" Archived 30 November 2016 at the Wayback Machine, The MacTutor History of Mathematics Archive, School of Mathematics and Statistics, University of Saint Andrews, Scotland.
^ (Gal & Chen-Morris, 2005), pp. 391–392.
^ Robert Hooke, Micrographia … (London, England: John Martyn, 1667), page 227: "[I say a Cylinder, not a piece of a Cone, because, as I may elsewhere shew in the Explication of Gravity, that triplicate proportion of the shels of a Sphere, to their respective diameters, I suppose to be removed in this case by the decrease of the power of Gravity.]"

External links

[1] Hooke's gravitation was also not yet universal, though it approached universality more closely than previous hypotheses: See page 239 in Curtis Wilson (1989), "The Newtonian achievement in astronomy", ch.13 (pages 233–274) in "Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton", CUP 1989.

[2] Thomas Birch, The History of the Royal Society of London, … (London, England: 1756), vol. 2, pages 68–73; see especially pages 70–72.

[3] Giovanni Alfonso Borelli, Theoricae Mediceorum Planetarum ex Causis Physicis Deductae [Theory [of the motion] of the Medicean planets [i.e., moons of Jupiter] deduced from physical causes] (Florence, (Italy): 1666)

[Hooke1680-4] Koyré, Alexandre (1952). "An Unpublished Letter of Robert Hooke to Isaac Newton". Isis. 43 (4): 312–337. doi:10.1086/348155. JSTOR 227384. PMID 13010921. S2CID 41626961.

[5] Hooke's letter to Newton of 6 January 1680 (Koyré 1952:332).

[6] Newton acknowledged Wren, Hooke and Halley in this connection in the Scholium to Proposition 4 in Book 1 (in all editions): See for example the 1729 English translation of the Principia, at page 66.

[7] In a letter to Edmund Halley dated 20 June 1686, Newton wrote: "Bullialdus wrote that all force respecting ye Sun as its center & depending on matter must be reciprocally in a duplicate ratio of ye distance from ye center." See: I. Bernard Cohen and George E. Smith, ed.s, The Cambridge Companion to Newton (Cambridge, England: Cambridge University Press, 2002), page 204.

[8] Millerson,G. (1991) Lighting for Film and Television – 3rd Edition p.27

[9] Ryer,A. (1997) “The Light Measurement Handbook”, ISBN 0-9658356-9-3 p.26

[10] John Freely, Before Galileo: The Birth of Modern Science in Medieval Europe (2012)

[11] Johannes Kepler, Ad Vitellionem Paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (Frankfurt, (Germany): Claude de Marne & heir Jean Aubry, 1604), page 10.

[12] Translation of the Latin quote from Kepler's Ad Vitellionem paralipomena is from: Gal, O. & Chen-Morris, R.(2005) "The Archaeology of the Inverse Square Law: (1) Metaphysical Images and Mathematical Practices," History of Science, 43 : 391–414 ; see especially p. 397.

[13] Note: Both Kepler and William Gilbert had nearly anticipated the modern conception of gravity, lacking only the inverse-square law in their description of "gravitas". On page 4 of chapter 1, Introductio, of Astronomia Nova, Kepler sets out his description as follows: "The true theory of gravity is founded on the following axioms: Every corporeal substance, so far forth as it is corporeal, has a natural fitness for resting in every place where it may be situated by itself beyond the sphere of influence of a body cognate with it. Gravity is a mutual affection between cognate bodies towards union or conjunction (similar in kind to the magnetic virtue), so that the earth attracts a stone much rather than the stone seeks the earth. ... If two stones were placed in any part of the world near each other, and beyond the sphere of influence of a third cognate body, these stones, like two magnetic needles, would come together in the intermediate point, each approaching the other by a space proportional to the comparative mass of the other. If the moon and earth were not retained in their orbits by their animate force or some other equivalent, the earth would mount to the moon by a fifty-fourth part of their distance, and the moon fall towards the earth through the other fifty-three parts, and they would there meet, assuming, however, that the substance of both is of the same density." Notice that in saying "the earth attracts a stone much rather than the stone seeks the earth" Kepler is breaking away from the Aristotelian tradition that objects seek to be in their natural place, that a stone seeks to be with the earth.

[14] Ismail Bullialdus, Astronomia Philolaica … (Paris, France: Piget, 1645), page 23.

[15] Translation of the Latin quote from Bullialdus' 'Astronomia Philolaica' … is from: O'Connor, John J. and Roberson, Edmund F. (2006) "Ismael Boulliau" Archived 30 November 2016 at the Wayback Machine, The MacTutor History of Mathematics Archive, School of Mathematics and Statistics, University of Saint Andrews, Scotland.

[16] (Gal & Chen-Morris, 2005), pp. 391–392.

[17] Robert Hooke, Micrographia … (London, England: John Martyn, 1667), page 227: "[I say a Cylinder, not a piece of a Cone, because, as I may elsewhere shew in the Explication of Gravity, that triplicate proportion of the shels of a Sphere, to their respective diameters, I suppose to be removed in this case by the decrease of the power of Gravity.]"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]