List of logarithmic identities

Original article: wikipedia:List of logarithmic identities

수학에서, 많은 로그(logarithm) 항등식(identities)이 있습니다.

Trivial identities

$\log _{b}(1)=0$	왜냐하면	$b^{0}=1$, b가 0과 같지 않은 것으로 주어지면
$\log _{b}(b)=1$	왜냐하면	$b^{1}=b$

Cancelling exponentials

같은 밑을 가진 로그와 지수는 서로 상쇄됩니다. 이것은 로그와 지수가 (마치 곱셈과 나눗셈 또는 덧셈과 뺄셈과 같이) 역 연산이기 때문에 참입니다.

$b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x$

$\log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x$

위의 두 가지 모두는 로그를 정의하는 다음 두 방정식에서 파생됩니다:

$b^{c}=x{\text{, }}\log _{b}(x)=c$

왼쪽 방정식에서 c를 대체하면 b^log_b(x) = x를 제공하고, 오른쪽에서 x를 대체하면 log_b(b^c) = c를 제공합니다. 마지막으로, c를 x로 바꿉니다.

Using simpler operations

로그는 계산을 더 쉽게 만들기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 두 수자는 로그 테이블을 사용하고 단지 더함으로써 곱해질 수 있습니다. 아래의 처음 세 연산은 log_b(x) = c 및 log_b(y) = d가 되도록 x = b^c, 및/또는 y = b^d를 가정합니다. 유도는 역시 로그 정의 x = b^log_b(x) 및 x = log_b(b^x)를 사용합니다.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	왜냐하면	$b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}$
$\log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	왜냐하면	${\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}$
$\log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)$	왜냐하면	$(b^{c})^{d}=b^{cd}$
$\log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}$	왜냐하면	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$
$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}$	왜냐하면	$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b}(y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}$
$c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})$	왜냐하면	$\log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})$

여기서 $b$, $x$, 및 $y$는 양의 실수이고 $b\neq 1$입니다. $c$와 $d$ 둘 다는 실수입니다.

그 법칙은 지수와 적절한 인덱스의 법칙을 취소함으로써 발생합니다. 첫 번째 법칙으로 시작합니다:

$xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

거듭-제곱에 대해 법칙은 인덱스의 또 다른 법칙을 이용합니다:

$x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)$

몫에 관한 법칙은 그런-다음 다음입니다:

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(y^{-1})=-\log _{b}(y)$

비슷하게, 제곱근 법칙은 역수 거듭제곱으로 근을 다시-씀으로써 유도됩니다:

$\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)$

Changing the base

$\log _{b}a={\frac {\log _{10}(a)}{\log _{10}(b)}}$

이 항등식은 계산기에서 로그를 평가하는 것에 유용합니다. 예를 들어, 대부분의 계산기에는 ln 및 log₁₀에 대한 버튼이 있지만, 모든 계산기가 임의의 밑의 로그에 대한 버튼가 있는 것은 아닙니다.

방정식 $b^{c}=a$을 생각해 보십시오

양쪽 변에 밑수 $d$를 취하십시오: $\log _{d}b^{c}=\log _{d}a$

간단히하고 $c$에 대해 푸십시오: $c\log _{d}b=\log _{d}a$

$c={\frac {\log a}{\log b}}$

$c=\log _{b}a$이므로, $\log _{b}a={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}$

이 공식은 여러 결과를 가집니다:

$\log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}$

$\log _{b^{n}}a={{\log _{b}a} \over n}$

$b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}$

$-\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1 \over b}a$

$\log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},$

여기서 $\scriptstyle \pi$는 아래첨자 1, ..., n의 임의의 순열(permutation)입니다. 예를 들어

$\log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.$

Summation/subtraction

다음 합/차 규칙은 확률 이론(probability theory)에서 우리가 로그-확률의 합을 다룰 때 특히 유용합니다:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$

$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

실제에서 $a$와 $c$는 만약 $c>a$이면 방정식의 오른쪽 변에서 전환되어야 함에 주목하십시오. 역시 차이 항등식은 영의 로그가 정의되지 않기 때문에 만약 $a=c$이면 정의되지 않음에 주목하십시오. 많은 프로그래밍 언어는 $x$가 작을 때 언더플로우없이 $\log _{e}(1+x)$를 계산하는 특정 log1p(x) 함수를 가집니다.

보다 일반적으로:

$\log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)$

여기서 $a_{0}>a_{1}>\ldots >a_{N}$는 내림 차순에서 정렬됩니다.

Exponents

지수를 포함하는 유용한 항등식:

$x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)$

또는 보다 보편적으로:

$x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a$

Other/Resulting Identities

${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)$

${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)$

Inequalities

, 및 에 기초함:

${\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}-1<x$

${\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\&{\mbox{ for }}0\leq x{\mbox{, reverse for }}-1<x\leq 0\end{aligned}}$

모두는 $x=0$ 주면에서 정확하지만, 큰 숫자에 대해 그렇지 않습니다.

Calculus identities

Limits

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0$

마지막 극한은 종종 "로그가 x의 임의의 거듭제곱 또는 제곱근보다 느리게 커짐"으로 요약됩니다.

Derivatives of logarithmic functions

${d \over dx}\ln x={1 \over x},$

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},$

여기서 $x>0$, $b>0$, 및 $b\neq 1$입니다.

Integral definition

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Integrals of logarithmic functions

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

고차 적분을 기억하기 위해, 다음을 정의하는 것이 편리합니다:

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

여기서 $H_{n}$ n-번째 조화 숫자(harmonic number)입니다.

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

그런-다음,

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

Approximating large numbers

로그의 항등식은 큰 숫자를 근사화하기 위해 사용될 수 있습니다. log_b(a) + log_b(c) = log_b(ac)임을 주목하시며, 여기서 a, b, 및 c는 임의의 상수입니다. 우리가 44-번째 메르센 소수(Mersenne prime) 2^32,582,657 −1를 근사하고 싶다고 가정합니다. 밑수 10 로그를 얻기 위해, 우리는 32,582,657에 log₁₀(2)를 곱하여 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543을 얻습니다. 우리는 그런-다음 10^9,808,357 × 10^0.09543 ≈ 1.25 × 10^9,808,357을 얻을 수 있습니다.

비슷하게, 팩토리얼은 항의 로그의 합으로써 근사화될 수 있습니다.

Complex logarithm identities

복소 로그(complex logarithm)는 로그 함수의 복소수(complex number) 비슷한 것입니다. 복소 평면 위의 단일 값 함수는 로그에 대해 정규 규칙을 만족시킬 수 없습니다. 어쨌든 다중-값 함수(multivalued function)는 항등식의 대부분을 만족시키는 것으로 정의될 수 있습니다. 이것을 리만 곡면(Riemann surface)에 정의된 함수로 여기는 것이 보통입니다. 로그의 주요 값(principal value)으로 불리는 단일-값 버전은 음의 x 축에서 불연속적이고 단일 가지 자름(branch cut)의 다중-값 버전과 같은 것으로 정의될 수 있습니다.

Definitions

규칙은 대문자 첫 글자가 함수의 주요 값으로 사용되고 소문자 버전은 다중-값 함수를 참조하는 것으로 여기서 사용될 것입니다. 정의 및 항등식의 단일 값 버전은 항상 여러 값 버전에 대해 별도의 섹션 뒤에 먼저 제공됩니다.

ln(r)은 실수 r의 표준 자연 로그입니다.

Log(z)는 복소 로그 함수의 주요 값이고 범위 (-π, π]에서 허수 부분을 가집니다.

Arg(z)는 편각(arg) 함수의 주요 값이며, 그것의 값은 (-π, π]으로 제한됩니다. Arg(x+iy)= atan2(y, x)을 사용하여 계산될 수 있습니다.

$\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$

$e^{\operatorname {Log} (z)}=z$

log(z)의 다중-값 버전은 집합이지만 괄호없이 쓰고 그것을 쓰는 것이 더 쉽고 공식에서 그것을 사용하는 것은 명확한 규칙을 따릅니다.

log(z)는 e^v = z를 만족시키는 복소수 v의 집합이며,

arg(z)는 z에 적용된 편각(arg) 함수의 가능한 값의 집합입니다.

k가 임의의 정수일 때:

$\log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)$

$\log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik$

$e^{\log(z)}=z$

Constants

주요 값은 다음을 형성합니다:

$\operatorname {Ln} (1)=0$

$\operatorname {Ln} (e)=1$

임의의 k 정수에 대해, 여러 값은 다음을 형성합니다:

$\log(1)=0+2\pi ik$

$\log(e)=1+2\pi ik$

Summation

주요 값은 다음을 형성합니다:

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

여러 값은 다음을 형성합니다:

$\log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})$

$\log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})$

Powers

복소수의 복소 거듭제곱은 많은 가능한 값을 가질 수 있습니다.

주요 값은 다음을 형성합니다:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}$

$\operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}$

여러 값은 다음을 형성합니다:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}$

여기서 k₁, k₂는 임의의 정수입니다:

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}$

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}$

See also

• List of trigonometric identities
• Exponential function

External links

• Weisstein, Eric W. "Logarithm". MathWorld.
• Logarithm in Mathwords