Location parameter

Original article: w:Location parameter

통계(statistics)에서, 확률 분포(probability distribution)의 위치 매개변수는 분포의 "위치" 또는 이동을 결정하는 스칼라- 또는 벡터-값 매개변수(parameter) $x_{0}$입니다. 위치 매개변수 추정의 문헌에서, 그러한 매개변수를 갖는 확률 분포는 다음과 같은 동등한 방법 중 하나로 공식적으로 정의된 것으로 찾아집니다:

• 확률 밀도 함수(probability density function) 또는 확률 질량 함수(probability mass function)를 가집니다; 또는
• 누적 분포 함수(cumulative distribution function) $F(x-x_{0})$를 가집니다; 또는
• 확률 변수 변환 $x_{0}+X$의 결과로 정의된 것, 여기서 $X$는 특정, 아마도 알려지지 않은 분포를 갖는 확률 변수입니다 (역시 #Additive_noise를 참조하십시오).

위치 매개변수의 직접 예제는 정규 분포(normal distribution)의 매개변수 $\mu$입니다. 이를 확인하기 위해, 정규 분포 ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$의 확률 밀도 함수 $f(x|\mu ,\sigma )$는 인수화된 매개변수 $\mu$를 가지고 다음으로 쓸 수 있습니다:

$g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}$

따라서 위에 주어진 정의 중 첫 번째를 충족합니다.

위의 정의는, 일-차원의 경우에서, 만약 $x_{0}$가 증가되면, 확률 밀도 또는 질량 함수가 정확한 모양을 유지하면서 오른쪽으로 엄격하게 이동함을 나타냅니다.

위치 매개변수는 위치–스케일 가족(location–scale families)과 같이 하나보다 많은 매개변수를 가지는 가족에서도 찾아질 수 있습니다. 이 경우에서, 확률 밀도 함수 또는 확률 질량 함수는 보다 일반적인 형식의 특수한 경우일 것입니다:

$f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})$

여기서 $x_{0}$는 위치 매개변수이고, θ는 추가적인 매개변수를 나타내고, $f_{\theta }$는 추가적인 매개변수에 대해 매개변수화된 함수입니다.

Additive noise

위치 가족을 생각하는 대안적인 방법은 더해지는 소음(additive noise)의 개념을 통한 것입니다. 만약 $x_{0}$가 상수이고 W가 확률 밀도 $f_{W}(w)$를 갖는 무작위 소음(noise)이면, $X=x_{0}+W$는 확률 밀도 $f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})$를 가지고 그것의 분포는 따라서 위치 가족의 일부입니다.

Proofs

연속 일변수 경우에 대해, 확률 밀도 함수 $f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R}$를 생각해 보십시오, 여기서 $\theta$는 매개변수의 벡터입니다. 위치 매개변수 $x_{0}$는 다음을 정의함으로써 더해질 수 있습니다:

$g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]$

이것은 $g$가 두 조건 $g(x|\theta ,x_{0})\geq 0$와 $\int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1$을 존중함을 확인함으로써 p.d.f임을 입증할 수 있습니다. $g$는 1로 적분되는데, 다음이기 때문입니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx$

이제 변수를 $u=x-x_{0}$로 변경하고 적분 구간을 업데이트하면 그에 따라서 다음을 산출합니다:

$\int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1$

왜냐하면 $f(x|\theta )$는 가설에 의해 p.d.f이기 때문입니다. $g(x|\theta ,x_{0})\geq 0$는 $f$의 같은 이미지를 공유하는 $g$에서 따르며, 이것은 p.d.f이므로 그것의 이미지는 $[0,1]$에 포함됩니다.

See also

• Central tendency
• Location test
• Invariant estimator
• Scale parameter
• Two-moment decision models