Logarithmic integral function

Original article: w:Logarithmic integral function

"Li(x)" redirects here. For the polylogarithm denoted by Li_s(z), see Polylogarithm.

수학(mathematics)에서, 로그 적분 함수(logarithmic integral function) 또는 적분 로그(integral logarithm) li(x)는 특수 함수(special function)입니다. 그것은 물리학(physics)의 문제와 관련이 있고 숫자 이론적(number theoretic) 중요성을 가집니다. 특히, 지겔-발피쉬 정리(Siegel-Walfisz theorem)에 따르면, 주어진 값 $x$보다 작거나 같은 소수(prime numbers)의 숫자로 정의되는 소수-세는 함수(prime-counting function)에 대한 매우 좋은 근사(approximation)입니다.

Logarithmic integral function plot

Integral representation

대수 적분은 모든 양의 실수(real number) x ≠ 1에 대해 한정 적분(definite integral)에 의해 정의된 적분 표시를 가집니다:

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

여기서, ln은 자연 로그(natural logarithm)를 나타냅니다. 함수 1/(ln t)는 t = 1에서 특이점(singularity)을 가지고, x > 1에 대해 적분은 코시 주요 값(Cauchy principal value)으로 이해됩니다:

$\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).$

Offset logarithmic integral

오프셋 로그 적분(offset logarithmic integral) 또는 오일러 로그 적분(Eulerian logarithmic integral)은 다음과 같이 정의됩니다:

$\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).$

이를테면, 적분 표시는 적분의 도메인에서 특이점을 피하는 것의 이점을 가집니다.

Special values

함수 li(x)는 단일 양의 영을 가집니다: 그것은 x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930...에서 발생합니다 OEIS: A070769; 이 숫자는 라마누잔–솔드너 상수(Ramanujan–Soldner constant)로 알려져 있습니다.

−Li(0) = li(2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS: A069284

이것은 $-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )$이며 여기서 $\Gamma \left(a,x\right)$는 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)입니다. 그것은 그 함수의 코시 주요 값(Cauchy principal value)으로 이해되어야 합니다.

Series representation

함수 li(x)는 다음 방정식을 통해 지수 적분(exponential integral) Ei(x)과 관련됩니다:

${\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!$

이것은 x > 0에 대해 유효합니다. 이 항등식은 다음으로 li(x)의 급수 표시를 제공합니다:

$\operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,$

여기서 γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS: A001620는 오일러-마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다. 라마누젠(Ramanujan)에 의한 보다 빠르게 수렴하는 급수는 다음입니다:

$\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

Asymptotic expansion

x → ∞에 대해 점근적 행동은 다음입니다:

$\operatorname {li} (x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;.$

여기서 $O$는 큰 O 표기법(big O notation)입니다. 완전한 점근적 전개(asymptotic expansion)는 다음입니다:

$\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$

또는

${\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .$

이것은 다음의 보다 정확한 점근적 행동을 제공합니다:

$\operatorname {li} (x)-{x \over \ln x}=O\left({x \over \ln ^{2}x}\right)\;.$

점근 전개로써, 이 급수는 수렴되지 않습니다. 오직 만약 급수가 항의 유한 숫자에서 잘리고, 오직 x의 큰 값이 사용되면, 합리적인 근사입니다. 이 전개는 지수 적분(exponential integral)에 대해 점근적 전개로부터 직접 따릅니다.

이것은 예를 들어, 우리가 li를 다음과 같이 모든 $\ln x\geq 11$에 대해 묶을 수 있음을 의미합니다:

$1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}$.

Number theoretic significance

로그 적분은 숫자 이론(number theory)에서 중요하며, 주어진 숫자보다 작은 소수(prime number)의 숫자의 평가에 나타납니다. 예를 들어, 소수 이론(prime number theorem)은 다음임을 말합니다:

$\pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)$

여기서 $\pi (x)$는 $x$보다 작거나 같은 소수의 숫자를 나타냅니다.

리만 가설(Riemann hypothesis)을 가정하여, 우리는 훨씬 더 강한 것을 얻습니다:

$\operatorname {Li} (x)-\pi (x)=O({\sqrt {x}}\log x)$

See also

• Jørgen Pedersen Gram
• Skewes' number

References

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 5". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248