Material conditional

Material conditional
IMPLY
Definition
Truth table
Logic gate
Normal forms
Disjunctive
Conjunctive
Zhegalkin polynomial
Post's lattices
0-preserving	no
1-preserving	yes
Monotone	no
Affine	no
	v; t; e;

물질 조건부(material conditional)는, 역시 물질적 함축으로 알려져 있으며, 논리(logic)에서 공통적으로 사용되는 연산(operation)입니다. 조건부 기호 $\rightarrow$ 가 물질적 함축으로 해석될 때, 공식 $P\rightarrow Q$ 는 $P$ 는 참이고 $Q$ 는 거짓인 한 참입니다. 물질적 함축은 역시 modus ponens, modus tollens, 조건부 증명(conditional proof), 및 고전적 귀류법(classical reductio ad absurdum)에 의해 추론적으로 특성화될 수 있습니다.

물질적 함축은 고전 논리(classical logic)의 모든 기본 시스템과 마찬가지로 일부 비고전 논리(nonclassical logic)에서 사용됩니다. 그것은 수학 내에서 올바른 조건부 추론의 모델로 가정되고 많은 프로그래밍 언어에서 명령에 대해 기초로 역할을 합니다. 어쨌든, 많은 논리가 물질적 함축을 엄격한 조건부(strict conditional)와 변하는 엄격한 조건부(variably strict conditional)와 같은 다른 연산자로 대체합니다. 물질적 함축의 역설(paradoxes of material implication)과 관련된 문제로 인해, 물질적 함축은 일반적으로 자연 언어(natural language)의 조건부 문장(conditional sentence)의 실현 가능한 분석으로 고려되지 않습니다.

Notation

논리와 관련된 분야에서, 물질 조건부는 관례적으로 중위 연산자 →로 표기됩니다. 물질 조건부는 역시 중위 ⊃ 및 ⇒를 사용하여 표기됩니다. 접두사-붙는 폴란드 표기법(Polish notation)에서, 조건부는 Cpq로 표기됩니다. 조건부 공식 p → q에서, 부분공식 p는 전제(antecedent)로 참조되고 q는 조건부의 결론(consequent)이라고 이름-짓습니다. 조건부 명제는, 공식 (p → q) → (r → s)에서 처럼, 전제 또는 결론이 자체로 조건부 명제임을 만족하도록 중첩될 수 있습니다.

Definitions

Semantics

의미론적 관점(semantic perspective)에서, 물질적 함축은 그것의 첫 번째 인수가 참이고 그것의 두 번째 인수가 거짓이 아닌 한, "참"을 반환하는 이항(binary) 진리 함수(truth function)적 연산자입니다. 이 의미론은 아래와 같은 진리 테이블(truth table)에 그래픽적으로 표시될 수 있습니다.

Truth Table

p → q의 진리 테이블(truth table):

$p$	$q$	$p$ → $q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

이 진리 테이블에서 전제 $p$ 가 거짓이고 $p \to q$ 가 참인 3번째와 4번째 논리적 경우는 공허한 진리(vacuous truth)라고 불립니다.

Deductive Definition

물질적 함축은 역시 다음과 같은 추론의 규칙(rules of inference)의 관점에서 연역적(deductively)으로 특성화될 수 있습니다.

의미론적 정의와 달리, 논리적 연산에 대한 이러한 접근 방식은 다양한 논리적 시스템(logical system)에서 구조적으로 동일한 명제 형식의 조사를 허용하며, 여기서 다소 다른 속성이 시연될 수 있습니다. 예를 들어, 대우 증명법을 유효한 추론의 규칙으로 거부하는 직관론적 논리(intuitionistic logic)에서, $(p \to q) \Rightarrow \neg p \lor q$ 는 명제 정리가 아니고, 물질 조건부는 부정을 정의하기 위해 사용됩니다.

Formal properties

논리합(disjunction), 논리곱(conjunction), 및 부정(negation)이 고전적일 때, 물질적 함축은 다음 동등성을 검증합니다:

대우(Contraposition): $P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P$
가져오기-내보내기(Import-Export): $P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R$
부정된 조건부(Negated conditionals): $\neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q$
또는-그리고-만약(Or-and-if): $P\to Q\equiv \neg P\lor Q$
전제의 교환성(Commutativity of antecedents): ${\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}$
분배성(Distributivity): ${\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}$

유사하게, 다른 연결자의 고전적 해석에서, 물질적 함축은 다음 수반(entailment)을 검증합니다:

전제 강화(Antecedent strengthening): $P\to Q\models (P\land R)\to Q$
공허한 조건부(Vacuous conditional): $\neg P\models P\to Q$
전이성(Transitivity): $(P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R$
논리합 전제의 단순화: $(P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)$

물질적 함축을 포함하는 동의어-반복(Tautologies)은 다음을 포함합니다:

반사성(Reflexivity): $\models P\to P$
전체성(Totality): $\models (P\to Q)\lor (Q\to P)$
조건부 제외된 중간(Conditional excluded middle): $\models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)$

Discrepancies with natural language

물질적 함축은 자연 언어(natural language)에서 조건부 문장(conditional sentence)의 사용과 밀접하게 일치하지 않습니다. 예를 들어, 심지어 거짓 전제를 갖는 물질 조건부가 공허하게 참(vacuously true)일지라도, 자연 언어 명제 "만약 8이 홀수이면, 3은 소수이다"는 전형적으로 거짓으로 판단됩니다. 유사하게, 참 결과를 갖는 임의의 물질 조건부는 자체로 참이지만, 화자는 전형적으로 "만약 내가 주머니에 일 페니를 가지면, 파리는 프랑스에 있다"와 같은 문장을 거부합니다. 이들 고전적 문제는 물질적 함축의 역설(paradoxes of material implication)이라고 불려 왔습니다.^[1] 역설 외에도, 다양한 다른 주장이 물질적 함축 분석에 대항하여 제시되어 왔습니다. 예를 들어, 반대사실 조건부(counterfactual conditional)는 그러한 설명에 대한 모두 공허하게 참일 것입니다.^[2]

20세기 중반에서, 허버트 폴 그라이스(H. P. Grice)와 프랭크 잭슨(Frank Jackson)을 비롯한 많은 연구자들은 화용론적(pragmatic) 원리가 자연 언어 조건부와 물질적 조건부 사이의 불일치를 설명할 수 있다고 제안했습니다. 그들의 설명에 따르면, 조건부는 물질적 함축을 나타내지만 그것들이 그라이스의 격언(Grice's maxims)과 같은 대화 규범과 상호 작용할 때 추가적인 정보를 전달하게 됩니다.^[1]^[3] 형식적 의미론(formal semantics)과 언어의 철학(philosophy of language)에서 최근 연구는 일반적으로 자연-언어 조건부에 대해 분석으로서 물질적 함축을 피했습니다.^[3] 특히, 그러한 연구는 "만약 P이면, Q이다"의 진리 값이 단지 P와 Q의 진리 값에 의해 결정된다는 의미에서 자연-언어 조건부가 진리 함수(truth function)적이라는 가정을 종종 거부했습니다.^[1] 따라서, 조건부의 의미론적 분석은 전형적으로 양상 논리(modal logic), 관련성 논리(relevance logic), 확률 이론(probability theory), 및 인과관계 모델(causal models)과 같은 토대를 기반으로 하는 대안적인 해석을 제안합니다.^[3]^[1]^[4]

유사한 불일치는 조건부 추론을 연구하는 심리학자들에 의해 관찰되어 왔습니다. 예를 들어, 악명 높은 와슨 선택 임무(Wason selection task) 연구는 참가자의 10% 미만이 물질적 조건부에 따라 추론했습니다. 일부 연구자는 이 결과를 추론의 규범적 법칙을 확인하기 위해 참가자의 실패로 해석해 왔고, 반면에 다른 연구자는 참가자를 비고전적 법칙에 따라 규범적인 추론으로 해석합니다.^[5]^[6]^[7]

References

^ ^a ^b ^c ^d Edgington, Dorothy (2008). Edward N. Zalta (ed.). "Conditionals". The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2008 ed.).
^ Starr, Will (2019). "Counterfactuals". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
^ ^a ^b ^c Gillies, Thony (2017). "Conditionals" (PDF). In Hale, B.; Wright, C.; Miller, A. (eds.). A Companion to the Philosophy of Language. Wiley Blackwell. doi:10.1002/9781118972090.ch17.
^ von Fintel, Kai (2011). "Conditionals" (PDF). In von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (eds.). Semantics: An international handbook of meaning. de Gruyter Mouton. doi:10.1515/9783110255072.1515. hdl:1721.1/95781.
^ Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "A rational analysis of the selection task as optimal data selection". Psychological Review. 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085. doi:10.1037/0033-295X.101.4.608.
^ Stenning, K.; van Lambalgen, M. (2004). "A little logic goes a long way: basing experiment on semantic theory in the cognitive science of conditional reasoning". Cognitive Science. 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854. doi:10.1016/j.cogsci.2004.02.002.
^ von Sydow, M. (2006). Towards a Flexible Bayesian and Deontic Logic of Testing Descriptive and Prescriptive Rules. Göttingen: Göttingen University Press.

External links

Media related to Material conditional at Wikimedia Commons
Edgington, Dorothy. "Conditionals". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[sep-conditionals-1] Edgington, Dorothy (2008). Edward N. Zalta (ed.). "Conditionals". The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2008 ed.).

[2] Starr, Will (2019). "Counterfactuals". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[gillies-3] Gillies, Thony (2017). "Conditionals" (PDF). In Hale, B.; Wright, C.; Miller, A. (eds.). A Companion to the Philosophy of Language. Wiley Blackwell. doi:10.1002/9781118972090.ch17.

[4] von Fintel, Kai (2011). "Conditionals" (PDF). In von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (eds.). Semantics: An international handbook of meaning. de Gruyter Mouton. doi:10.1515/9783110255072.1515. hdl:1721.1/95781.

[5] Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "A rational analysis of the selection task as optimal data selection". Psychological Review. 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085. doi:10.1037/0033-295X.101.4.608.

[6] Stenning, K.; van Lambalgen, M. (2004). "A little logic goes a long way: basing experiment on semantic theory in the cognitive science of conditional reasoning". Cognitive Science. 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854. doi:10.1016/j.cogsci.2004.02.002.

[vonSydow2006-7] von Sydow, M. (2006). Towards a Flexible Bayesian and Deontic Logic of Testing Descriptive and Prescriptive Rules. Göttingen: Göttingen University Press.

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