Multiplicative function

숫자 이론(number theory)에서, 곱셈 함수(multiplicative function)는 f(1) = 1과 a와 b가 서로소(coprime)일 때마다 $f(ab)=f(a)f(b)$ 라는 속성을 갖는 양의 정수 n의 산술 함수(arithmetic function) f(n)입니다.

산술 함수 f(n)은 f(1) = 1이고 f(ab) = f(a)f(b)가 모든 양의 정수 a와 b에 대해, 심지어 서로소가 아닐지라도 유지되면 완전하게 곱셈적(completely multiplicative, 또는 전체적으로 곱셈적(totally multiplicative))이라고 말합니다.

Examples

일부 곱셈 함수는 수식을 더 쉽게 쓸 수 있도록 하기 위해 정의됩니다:

1(n): 상수 함수, 1(n) = 1에 의해 정의됨 (완전하게 곱셈적)
Id(n): 항등 함수(identity function), Id(n) = n에 의해 정의됨 (완전하게 곱셈적)
Id_k(n): 거듭제곱 함수, 임의의 복소수 k에 대해 Id_k(n) = n^k에 의해 정의됨 (완전하게 곱셈적). 특별한 경우로 다음을 가집니다:
- Id₀(n) = 1(n) 및
- Id₁(n) = Id(n).
ε(n): 만약 n = 1이면 ε(n) = 1이고 그렇지 않으면 0에 의해 정의된 함수, 때때로 디리클레 합성곱에 대해 곱셈 단위 또는 간단히 단위 함수(unit function)라고 불립니다 (완전하게 곱셈적). 때때로 u(n)로 쓰지만, μ(n)와 혼동해서는 안됩니다.
1_C(n), 특정 집합 C에 대해 집합 C ⊂ Z의 지시 함수(indicator function). 지시 함수 1_C(n)은 정확히 집합 C가 임의의 서로소 숫자 a와 b에 대해 다음 속성을 가질 때 곱셈적입니다: 곱 ab가 C 안에 있는 것과 숫자 a와 b가 둘 다 C에 있는 것은 필요충분 조건입니다: 이것은 만약 C가 제곱, 세제곱, 또는 k-번째 거듭제곱의 집합이거나, C가 제곱-없는(square-free) 숫자의 집합이면 그 경우입니다.

곱셈 함수의 다른 예제는 다음과 같이 숫자 이론에서 중요한 많은 함수를 포함합니다:

gcd(n,k): n의 함수로 n과 k의 최대 공통 약수(greatest common divisor), 여기서 k는 고정된 정수입니다.
$\varphi (n)$ : 오일러의 토션트 함수(Euler's totient function) $\varphi$ , n과 서로소(coprime)인 양의 정수를 셉니다 (그러나 n보다 크지 않습니다)
μ(n): 뫼비우스 함수(Möbius function), 제곱-없는(square-free) 숫자의 소수 인수의 개수의 패리티 (홀수에 대해 −1, 짝수에 대해 +1); n이 제곱-없는 숫자가 아니면 0
σ_k(n): 약수 함수(divisor function), 이는 n의 모든 양의 약수의 k-번째 거듭제곱의 합입니다 (여기서 k는 임의의 복소수일 수 있습니다). 특별한 경우 다음을 가집니다:
- σ₀(n) = d(n), n의 양의 약수(divisors)의 개수
- σ₁(n) = σ(n), n의 모든 양의 약수의 합.
유니태리 약수(Unitary divisors)의 k-번째 거듭제곱(powers)의 합은 σ*_k(n)에 의해 표시됩니다:

\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.

a(n): 차수 n의 비-동형적 아벨 그룹의 개수.
λ(n): 리우빌 함수(Liouville function), λ(n) = (−1)^Ω(n) 여기서 Ω(n)은 n을 나누는 (중복도와 함께 세는) 소수의 전체 개수입니다. (완전하게 곱셈적).
γ(n), γ(n) = (−1)^ω(n)에 의해 정의되며, 여기서 덧셈 함수(additive function) ω(n)는 n을 나누는 구별되는 소수의 개수입니다.
τ(n): 라마누젠 타우 함수(Ramanujan tau function).
모든 디리클레 문제(Dirichlet characters)는 완전한 곱셈 함수입니다. 예를 들어
- (n/p), 르장드르 기호(Legendre symbol), n의 함수로 고려되며 여기서 p는 고정된 소수(prime number)입니다.

비-곱셈적 함수의 예제는 산술 함수 r₂(n) - 두 정수, 양수, 음수, 또는 영의 제곱의 합으로 n을 표현하는 개수이며, 여기서 방법의 개수를 세는 것에서, 순서의 역전을 허용됩니다. 예를 들어:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

따라서 r₂(1) = 4 ≠ 1입니다. 이것은 그 함수가 곱셈적이 아님을 보여줍니다. 어쨌든, r₂(n)/4는 곱셈적입니다.

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences에서, 곱셈 함수의 값의 수열은 키워드 "mult"를 가집니다.

비-곱셈적 함수의 일부 다른 예제에 대해 산술 함수(arithmetic function)를 참조하십시오.

Properties

곱셈 함수는 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)의 결과인 소수의 거듭제곱에서 그것의 값에 의해 완전하게 결정됩니다. 따라서, 만약 n이 구별되는 소수의 거듭제곱의 곱이면, 말하자면 n = p^a q^b ...이면, f(n) = f(p^a) f(q^b) ...입니다.

곱셈 함수의 이러한 속성은 n = 144 = 2⁴ · 3²에 대한 다음 예제에서와 같이 계산의 필요성을 크게 줄입니다: $d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15$ $\sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403$ $\sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170$

유사하게, 다음을 가집니다: $\varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48$

일반적으로, 만약 f(n)이 곱셈 함수이고 a, b가 임의의 두 양의 정수이면, 다음과 같습니다;

f(a) · f(b) = f(gcd(a,b)) · f(lcm(a,b)).

모든 각 완전한 곱셈 함수는 모노이드(monoids)의 준동형(homomorphism)이고 소수에 대한 제한에 의해 완전하게 결정됩니다.

Convolution

만약 f와 g가 두 개의 곱셈 함수이면, 다음에 의해 f와 g의 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)인 새로운 곱셈 함수 $f*g$ 를 정의합니다: $(f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)$ 여기서 합은 n의 모든 양의 약수 d에 걸쳐 확장됩니다. 이 연산과 함께, 모든 곱셈 함수의 집합이 아벨 그룹(abelian group)으로 바뀝니다; 항등 원소(identity element)는 ε입니다. 합성곱은 덧셈에 걸쳐 교환적, 결합적, 및 분배적입니다.

위에서 논의된 곱셈 함수 사이의 관계는 다음을 포함합니다:

$\mu *1=\varepsilon$ (뫼비우스 역 공식(Möbius inversion formula))
$(\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon$ (일반화된 뫼비우스 역)
$\varphi *1=\operatorname {Id}$
$d=1*1$
$\sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d$
$\sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1$
$\operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu$
$\operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu$

디리클레 합성곱은 일반적인 산술 함수에 대해 정의될 수 있고, 링 구조, 디리클레 링(Dirichlet ring)을 산출합니다.

두 곱셈 함수의 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)은 다시 곱셈적입니다. 이 사실의 증명은 상대적으로 소수 $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대한 다음 전개로 제공됩니다: ${\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}$

Dirichlet series for some multiplicative functions

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

더 많은 예제는 디리클레 급수(Dirichlet series)에 대한 기사에서 볼 수 있습니다.

Multiplicative function over $F q [X]$

$A = F q [X]$ 를 q 원소를 갖는 유한 필드(finite field)에 걸쳐 다항식 링이라고 놓습니다. A는 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)이고 따라서 A는 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)입니다.

A 위에 복소-값 함수 $\lambda$ 는 만약 f와 g가 상대적으로 소수(relatively prime)일 때마다 $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$ 이면 곱셈적(multiplicative)이라고 불립니다.

Zeta function and Dirichlet series in $F q [X]$

h를 다항식 산술 함수 (즉, A에 걸쳐 일계수 다항식의 집합에 대한 함수)라고 놓습니다. 그것의 해당하는 디리클레 급수는 다음과 같이 정의됩니다:

D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},

여기서 $g\in A$ 에 대해, $g\neq 0,$ 이면 $|g|=q^{\deg(g)}$ 를 설정하고 그렇지 않으면 $|g|=0$ 을 설정합니다.

다항식 제타 함수는 그런-다음 다음과 같습니다:

\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.

$N$ 에서 상황과 유사하게, 곱셈 함수 h의 모든 각 디리클레 급수는 곱 표현 (오일러 곱)을 가집니다:

D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),

여기서 곱은 모든 일계수 기약 다항식 P에 걸쳐 실행됩니다. 예를 들어, 제타 함수의 곱 표현은 정수에 대한 것과 같습니다:

\zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.

고전적 제타 함수(zeta function)와 달리, $\zeta _{A}(s)$ 는 간단한 유리 함수입니다:

\zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.

유사한 방법에서, 만약 f와 g가 두 개의 다항식 산술 함수이면, 다음에 의해 f와 g의 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution), f * g를 정의합니다:

{\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}

여기서 합은 m의 모든 일계수 약수 d에 대한 것, 또는 동등하게 그것의 곱이 m인 일계수 다항식의 모든 쌍 (a, b)에 대한 것입니다. 항등식 $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ 는 여전히 유지됩니다.

Multivariate

다변수 함수(Multivariate functions)는 곱셈 모델 추정기를 사용하여 구성될 수 있습니다. 여기서 $A$ 의 행렬 함수는 다음과 같이 정의됩니다: $D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2$

합은 곱에 걸쳐 분배될 수 있습니다: $y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}$

$Σ(.)$ 의 효율적인 추정(estimation)에 대해, 다음 두 가지 비-매개변수 회귀(nonparametric regressions)는 고려될 수 있습니다: ${\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),$

그리고 $y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).$

따라서 그것은 알려진 $g_{t}$ 와 알려지지 않은 $\sigma ^{2}(t/T)$ 를 갖는 $y_{t}^{2}$ 에 대한 지역적 가능도 함수와 함께 다음의 추정 값을 제공합니다: $L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}$

References

See chapter 2 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
"Efficient estimation of a multivariate multiplicative volatility model". Journal of Econometrics. 159 (1): 55–73. 2010.

External links

Multiplicative function at PlanetMath.org.