Mutual exclusivity
논리학(logic)과 확률 이론(probability theory)에서, 두 사건 (또는 제안)이, 만약 그들이 둘 다 발생할 수 없으면, 서로 배타적(mutually exclusive) 또는 서로소(disjoint)입니다. 분명한 예제는 단일 동전 던지기의 결과의 집합이며, 이것은 앞면 또는 뒷면 중 하나이지만 둘 다는 발생할 수 없습니다.
동전-던지기 예제에서, 두 결과 모두는, 이론에서, 집합적으로 포괄적(collectively exhaustive)이며, 이것은 결과 중 적어도 하나가 반드시 발생함을 의미하므로, 이런 두 가능성은 모든 가능성을 함께 소진합니다.[1] 어쨌든, 모든 서로 배타적인 사건이 집합적으로 포괄적인 것은 아닙니다. 예를 들어, 육-면 주사위(six-sided die)의 단일 굴림의 결과 1과 4는 서로 배타적이지만 (둘 다는 동시에 발생할 수는 없지만) 집합적으로 포괄적인 것은 아닙니다 (다른 가능한 결과; 2,3,5,6가 있습니다).
Logic
논리학(logic)에서, 두 개의 서로 배타적 제안은 논리적으로 동시에 같은 의미에서 절대 참이 될 수 없는 제안입니다. 문맥에 따라, 두 개보다 많은 제안이 서로 배타적이라고 말하는 것은 하나는 만약 다른 하나가 참이면 절대 참일 수 없거나, 그들 중 적어도 하나는 절대 참일 수 없음을 의미합니다. 용어 쌍별 서로 배타적(pairwise mutually exclusive)은 그들 중 둘이 절대 동시에 참일 수 없음을 항상 의미합니다.
Probability
확률 이론(probability theory)에서, 사건 E1, E2, ..., En은 만약 그들 중 임의의 하나의 발생이 나머지 n − 1 사건의 비-발생을 의미하면, 서로 배타적(또는 서로 배반)이라고 말합니다. 따라서, 서로 배타적인 두 사건은 절대 둘 다 발생할 수는 없습니다. 공식적으로 말하면, 그들 각각의 교집합은 빈 것 (공 사건)입니다: A ∩ B = ∅. 결과에서, 서로 배타적인 사건은 속성: P(A ∩ B) = 0을 가집니다.[2]
예를 들어, 두 색깔을 가진 표준 52-카드 덱(standard 52-card deck)에서, 빨간색과 클럽 둘 다인 카드를 뽑는 것은 불가능한데, 왜냐하면 클럽은 항상 검정이기 때문입니다. 만약 단지 하나의 카드가 덱에서 뽑힐 때, 빨간색 카드 (하트 또는 다이아몬드) 또는 검정 카드 (클럽 또는 스페이드)가 뽑아질 것입니다. A와 B가 서로 배타적일 때, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)입니다.[3] 빨간색 카드 또는 클럽을 뽑는 것의 확률을 구하기 위해, 예를 들어, 빨간색 카드를 뽑을 확률과 클럽을 뽑을 확률을 함께 더합니다. 표준 52-카드 덱에서, 26개 빨간색 카드와 13개 클럽이 있습니다: 26/52 + 13/52 = 39/52 또는 3/4입니다.
누군가 빨간색 카드와 클럽 둘 다를 뽑기 위해서 적어도 두 장의 카드를 뽑아야 합니다. 두 번의 뽑기에서 그렇게 될 확률은 첫 번째 카드가 뽑히고 두 번째 카드를 뽑기 전에 첫 번째 카드를 복원하는지 여부에 따라 달라지는데, 왜냐하면 복원없이 첫 번째 카드가 뽑힌 후에 하나 적은 카드가 남기 때문입니다. 개별 사건 (적색, 및 클럽)의 확률은 더해지는 것이 아니라 곱해집니다. 복원없이 두 번 뽑기에서 빨간색과 클럽을 뽑을 확률은 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652, 또는 13/51입니다. 복원과 함께, 확률은 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704, 또는 13/52가 될 것입니다.
확률 이론에서, 단어 또는(or)은 발생하는 두 가지 사건의 가능성을 허용합니다. 하나 또는 두 개의 사건이 발생할 확률은 P(A ∪ B)로 표시되고 일반적으로 P(A) + P(B) – P(A ∩ B)와 같습니다.[3] 따라서, 빨간색 카드 또는 왕을 뽑아야 하는 경우에서, 빨간색 왕, 빨간색 비-왕, 또는 검은색 왕의 임의의 것이 뽑히는 것은 성공으로 고려됩니다. 표준 52-카드 덱에서, 26개의 빨간색 카드 및 4개의 왕이 있고, 그 중 2개는 적색이므로, 빨간색 또는 왕이 뽑힐 확률은 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52입니다.
사건은 만약 결과에 대해 모든 가능성이 그들의 가능한 사건에 의해 소진되므로, 그들의 결과의 적어도 하나는 반드시 발생하면, 집합적으로 포괄적(collectively exhaustive)입니다. 사건의 적어도 하나가 발생할 확률은 일(1)과 같습니다.[4] 예를 들어, 이론적으로 동전을 뒤집기에 대해 오직 두 가능성이 있습니다. 앞면 뒤집기와 뒷면 뒤집기는 집합적으로 포괄적 사건이고, 앞면 또는 뒷면를 뒤집는 것의 일의 확률이 있습니다. 사건은 둘 다 서로 배타적이고 집합적으로 포괄적일 수 있습니다.[4] 동전을 뒤집는 경우에서, 앞면 뒤집기와 뒷면 뒤집기는 역시 서로 배타적입니다. 두 결과는 단일 시행 (즉, 동전이 오직 한 번만 던져질 때)에 대해 둘 다 절대 발생할 수 없습니다. 앞면 뒤집기의 확률과 뒷면 뒤집기의 확률은 1의 확률을 산출하기 위해서 더해질 수 있습니다: 1/2 1/2 = 1.[5]
Statistics
통계학(statistics) 및 회귀 분석(regression analysis)에서, 오직 가능한 두 가지 값을 취할 수 있는 독립 변수(independent variable)는 더미 변수(dummy variable)라고 불립니다. 예를 들어, 그것은 만약 관찰이 남성 대상이면 값 0, 만약 여성 대상이면 값 1을 취할 수 있습니다. 두 가지 가능한 값과 연관된 두 가지 가능한 카테고리는 서로 배타적이므로, 어떤 관찰도 둘 이상의 카테고리에 속하지 않고, 카테고리는 포괄적이므로, 모든 각 관찰이 어떤 카테고리에 속합니다. 때때로 쌍별 서로 배타적이고 집합적으로 포괄적인 세 가지 이상의 가능한 카테고리 — 예를 들어, 18세 미만, 18세 이상 64세 미만, 65세 이상 — 가 있습니다. 이 경우에서, 더미 변수 집합이 구성되고, 각 더미 변수는 두 개의 서로 배타적이고 결합적인 포괄적 카테고리를 가집니다 — 이 예제에서, (D1이라고 불리는) 하나의 더미 변수는 만약 나이가 18보다 작으면 1이고, 그렇지 않으면 0과 같습니다; (D2이라고 불리는) 두 번째 더미 변수는 만약 나이가 영역 18-64 안에 있으면 1이고, 그렇지 않으면 0과 같습니다. 이런 설정에서, 더미 변수 쌍 (D1, D2)은 값이 (1,0) (18 미만), (0,1) (18과 64 사이) 또는 (0,0) (65세 이상) (그러나 (1,1)은 아니며, 이것은 관측 대상자가 18세 미만이고 18세와 64세 사이 둘 다임을 말이-되지-않게 의미할 것입니다.) 그런-다음 더미 변수는 회귀에서 독립적인 (설명적인) 변수로 포함될 수 있습니다. 더미 변수의 숫자는 항상 카테고리의 숫자보다 하나 작은 것에 주목하십시오; 남성과 여성의 두 가지 카테고리에는 그들을 구별하기 위해 하나의 더미 변수가 있고, 반면에 세 가지 나이 카테고리에는 그들을 구별하기 위해 두 개의 더미 변수가 필요합니다.
그러한 질적인 데이터(qualitative data)는 종속 변수(dependent variable)에 대해 역시 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 연구원은 누군가가 대학에 다니는지 여부를, 설명 변수로 가족 소득, 성별 더미 변수, 등을 사용하여 예측하기를 원할 수 있습니다. 여기서 설명되기 위한 변수는 만약 관찰된 대상이 대학에 가지 않으면 0, 만약 대상이 대학에 가면 1과 같은 더미 변수입니다. 그러한 상황에서, 보통의 최소 제곱(ordinary least squares) (기본 회귀 기법)은 부적절한 것으로 널리 이해됩니다; 대신에 프로빗 회귀(probit regression) 또는 로지스틱 회귀(logistic regression)가 사용됩니다. 게다가, 때때로 종속 변수에 대해 3개 이상의 카테고리 — 예를 들어, 대학 안감, 지역사회 대학, 및 4-년제 대학이 있습니다. 이런 경우에서, 다항 프로비트(multinomial probit) 또는 다항 로짓(multinomial logit) 기법이 사용됩니다.
See also
Notes
- ^ Miller, Scott; Childers, Donald (2012). Probability and Random Processes (Second ed.). Academic Press. p. 8. ISBN 978-0-12-386981-4.
The sample space is the collection or set of 'all possible' distinct (collectively exhaustive and mutually exclusive) outcomes of an experiment.
- ^ intmath.com; Mutually Exclusive Events. Interactive Mathematics. December 28, 2008.
- ^ a b Stats: Probability Rules.
- ^ a b Scott Bierman. A Probability Primer. Carleton College. Pages 3-4.
- ^ Non-Mutually Exclusive Outcomes. CliffsNotes.
References
- Whitlock, Michael C.; Schluter, Dolph (2008). The Analysis of Biological Data. Roberts and Co. ISBN 978-0-9815194-0-1.
- Lind, Douglas A.; Marchal, William G.; Wathen, Samuel A. (2003). Basic Statistics for Business & Economics (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-247104-2.