Nine-point center

Original article: w:Nine-point center

A triangle showing its circumcircle and circumcenter (black), altitudes and orthocenter (red), and nine-point circle and nine-point center (blue)

기하학(geometry)에서, 아홉-점 중심(nine-point center)은 삼각형 중심(triangle center), 삼각형의 배치나 스케일에 의존하지 않는 방법으로 주어진 삼각형(triangle)으로부터 정의된 점입니다. 그것은 삼각형의 아홉 개의 중요한 점: 세 가장자리의 중점, 세 고도(altitudes)의 발, 및 직교-중심(orthocenter)과 각각의 세 꼭짓점 사이의 중간 점을 통과하는 원, 아홉-점 원(nine-point circle)의 중심이기 때문에 그렇게 부릅니다. 아홉-점 중심은 Clark Kimberling의 삼각형 중심 백과사전에서 점 X(5)로 나열됩니다.

Properties

아홉-점 중심 N은 해당 삼각형의 직교-중심(orthocenter) H와 둘레-중심(circumcenter) O 사이의 중간점(midpoint)에서 삼각형의 오일러 직선(Euler line) 위에 놓입니다. 도형중심 G도 같은 직선 위에 직교-중심에서 둘레-중심으로의 방향의 2/3에 놓이며, 따라서

$NO=NH=3NG.$

따라서, 만약 이들 네 개의 삼각형 중심 중 임의의 둘이 알려져 있으면, 나머지 둘의 위치가 그것들로부터 결정될 수 있습니다.

Andrew Guinand는 1984년에 현재 오일러의 삼각형 결정 문제(Euler's triangle determination problem)로 알려진 문제의 일부로 이들 중심의 위치가 미지수 삼각형에 대해 주어지면 삼각형의 내중심은 직교-도형중심 원(orthocentroidal circle, 도형중심에서 직교-중심까지의 선분을 지름으로 가지는 원) 내에 놓음을 입증했습니다. 이 원 내부에서 내중심이 될 수 없는 유일한 점은 아홉-점 중심이고, 원의 모든 각 다른 내부 점은 고유한 삼각형의 내-중심입니다.

아홉-점 중심에서 내-중심(incenter)까지의 거리 I는 다음을 만족시킵니다:

$IN<{\tfrac {1}{2}}IO,$

$IN={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}},$

$2R\cdot IN=OI^{2},$

여기서 R과 r은 각각 둘레-반지름(circumradius)과 내-반지름(inradius)입니다.

아홉-점 중심은 주어진 삼각형의 중앙 삼각형(medial triangle)의 둘레-중심, 주어진 삼각형의 직교 삼각형(orthic triangle)의 둘레-중심, 및 오일러 삼각형의 둘레-중심입니다. 더 일반적으로, 그것은 아홉-점 원을 정의하는 아홉 점 중 세 개에서 정의된 임의의 삼각형의 둘레-중심입니다.

아홉-점 중심은 네 점: 삼각형의 세 꼭짓점과 직교-중심(orthocenter)의 도형-중심(centroid)에 놓입니다.

직교-중심 시스템(orthocentric system, 각각이 다른 세 점에 꼭짓점을 갖는 삼각형의 직교-중심(orthocenter)임을 만족하는 네 점의 집합)에 의해 형성된 네 개의 삼각형의 오일러 직선(Euler lines)은 모든 삼각형에 공통인 아홉-점 중심에서 공점(concurrent)입니다.

아홉-점 원을 정의하는 아홉 개 점 중, 꼭짓점과 직교 중심-사이의 선분의 세 개의 중간점은 아홉-점 중심에 대한 삼각형의 중간점의 반사입니다. 따라서, 아홉-점 중심은 중앙 삼각형을 오일러 삼각형에 매핑하는 점 반사(point reflection)의 중심을 형성하고, 그 반대도 마찬가지입니다.

레스터의 정리(Lester's theorem)에 따르면, 아홉-점 중심은 세 개의 다른 점: 두 개의 페르마 점(Fermat points)과 둘레-중심을 갖는 공통 원 위에 놓입니다.

코스니타의 정리(Kosnita's theorem)와 결합된 삼각형 중심, 삼각형의 코스니타 점(Kosnita point)은 아홉-점 중심의 등각형 켤레(isogonal conjugate)입니다.

아홉-점 중심의 삼선형 좌표(Trilinear coordinates)는 다음입니다:

${\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)\\={}&\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B\\={}&\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B\\={}&bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}].\end{aligned}}$

아홉-점 중심의 베리센터 좌표(barycentric coordinates)는 다음입니다:

${\begin{aligned}&a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)\\={}&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.\end{aligned}}$

따라서, 꼭짓점 각도 중 두 개가 서로 90°보다 많게 다른 것과 베리센터 좌표 중 하나가 음수이고 따라서 아홉-점 중심이 그 삼각형의 외부에 있는 것은 필요충분 조건입니다.

External links

• Weisstein, Eric W. "Nine-Point Center". MathWorld.