Normal function

Original article: w:Normal function

공리적 집합 이론(axiomatic set theory)에서, 함수 f : Ord → Ord는 정규 (또는 정규 함수)라고 불리는 것과 그것이 (순서 토폴로지에 관한) 연속(continuous)이고 엄격하게 단조적으로 증가하는(strictly monotonically increasing) 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 다음 두 가지 조건과 동등합니다:

1. 모든 각 극한 순서-숫자 γ에 대해 (즉, γ가 영도 아니고 따름이 아닙니다), f(γ) = sup {f(ν) : ν < γ}.
2. 모든 순서-숫자 α < β에 대해, f(α) < f(β).

Examples

간단한 정규 함수는 f(α) = 1 + α에 의해 주어집니다 (순서-숫자 산술(ordinal arithmetic)을 참조하십시오). 그러나 f(α) = α + 1는 정규는 아닙니다. 만약 β가 고정된 순서-숫자이면, 함수 f(α) = β + α, f(α) = β × α (β ≥ 1에 대해)이고, f(α) = β^α (β ≥ 2에 대해)가 모두 정규입니다.

정규 함수의 보다 중요한 예제는 순서-숫자와 세는-숫자(cardinal number)를 연결하는 알레프 숫자(aleph number) $f(\alpha )=\aleph _{\alpha }$에 의해, 및 베스 숫자(beth number) $f(\alpha )=\beth _{\alpha }$에 의해 주어집니다.

Properties

만약 f가 정규이면, 임의의 순서-숫자 α에 대해, 다음입니다:

f(α) ≥ α.

증명: 만약 그렇지 않으면, f(γ) < γ를 만족하는 최소 γ를 선택합니다. f는 엄격하게 단조적으로 증가하므로, f(f(γ)) < f(γ), γ의 최소성에 모순됩니다.

게다가, 순서-숫자의 임의의 비-빈 집합 S에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

f(sup S) = sup f(S).

증명: "≥"는 f의 단조성과 상한(supremum)의 정의를 따릅니다. "≤"에 대해, δ = sup S로 정하고 다음 세 가지 경우를 생각해 보십시오:

• 만약 δ = 0이면, S = {0}이고 sup f(S) = f(0)입니다;
• 만약 δ = ν + 1가 따름수(successor)이면, δ ≤ s를 만족하는, ν < s와 함께 S에서 s가 존재합니다. 그러므로, f(δ) ≤ f(s)이며, 이것은 f(δ) ≤ sup f(S)를 의미합니다;
• 만약 δ가 비-영 극한이면, ν < s를 만족하는 임의의 ν < δ, 및 S에서 s를 선택하십시오 (아마도 δ = sup S이기 때문입니다). 그러므로, f(ν) < sup f(S)가 되도록 f(ν) < f(s)이며, f(δ) = sup {f(ν) : ν < δ} ≤ sup f(S)를 산출하며, 원하는 결과입니다.

모든 각 정규 함수 f는 임의적으로 큰 고정된 점을 가집니다; 증명에 대해 정규 함수에 대한 고정된-점 보조정리(fixed-point lemma for normal functions)를 참조하십시오. 우리는 f' (α)가 f의 α-번째 고정된 점을 만족하는, f의 도함수라고 불리는, 정규 함수 f'  : Ord → Ord를 생성할 수 있습니다.

References

• Johnstone, Peter (1987), Notes on Logic and Set Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33692-5.