Normal matrix

수학(mathematics)에서, 복소수(complex) 정사각 행렬(square matrix) $A$ 는 만약 그것이 그것의 켤레 전치(conjugate transpose) $A *$ 와 교환하면 정규(normal)입니다:

$A{\text{ normal}}\quad \iff \quad A^{*}A=AA^{*}$

정규 행렬의 개념은 무한 차원 노름된 공간(normed spaces) 위에 정규 연산자(normal operators)와 C*-대수(C*-algebras)의 정규 원소로 확장될 수 있습니다. 행렬 경우에서와 같이, 정규성은 비교환적 설정에서 가능한 한 교환성이 보존됨을 의미합니다. 이것은 정규 연산자와 C*-대수의 일반 원소를 분석하기 쉽게 만듭니다.

스펙트럼 정리(spectral theorem)는 행렬이 정규인 것과 그것이 대각 행렬(diagonal matrix)과 유니태리적으로 닮은(unitarily similar) 것은 필요충분 조건이고, 따라서 방정식 $A * A = AA *$ 를 만족시키는 임의의 행렬 $A$ 는 대각화-가능(diagonalizable)이라고 말합니다. 그 전환은 유지되지 않는데 왜냐하면 대각화-가능인 행렬은 비-직교 고유공간을 가질 수 있기 때문입니다.

정규 행렬의 특이값 분해(singular value decomposition) $\mathbf {A} =\mathbf {U} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {V} ^{*}$ 에서 왼쪽 특이 벡터와 오른쪽 특이 벡터는 위상이 특이 값을 형성하기 위해 고윳값에서 인수화되어야 하기 때문에 서로 및 해당 고유벡터와 복소수 위상에서만 다릅니다.

Special cases

복소수 행렬 중에서, 모든 유니태리(unitary), 에르미트(Hermitian), 및 반-에르미트(skew-Hermitian) 행렬은 정규이며, 모든 고윳값은 각각 단위 모듈러스, 실수, 및 허수입니다. 마찬가지로, 실수 행렬 중에서, 모든 직교(orthogonal), 대칭(symmetric), 및 반-대칭(skew-symmetric) 행렬은 정규이며, 모든 고윳값은 각각 단위 원 위의 복소 켤레 쌍, 실수, 및 허수입니다. 어쨌든, 일반적으로 고윳값이 임의의 복소수일 수 있기 때문에, 모든 정규 행렬이 유니태리 또는 (반-)에르미트인 경우는 아닙니다. 예를 들어, $A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}$ 위는 유니태리도 아니고, 에르미트도 아니고, 반-에르미트도 아닌데, 왜냐하면 그것의 고윳값은 $2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2$ 이기 때문입니다; 여전히 그것은 정규인데 왜냐하면 $AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$

Consequences

Proposition — 정규 삼각 행렬은 대각(diagonal)입니다.

Proof

$A$ 를 임의의 정규 위쪽 삼각 행렬이라고 놓습니다. $(A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii}$ 이기 때문에, 아래첨자 표기법을 사용하여, $i$ 번째 행과 $i$ 번째 열을 선택하기 위해 대신 $i$ 번째 단위 벡터 ( ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ )를 사용하여 동등한 표현을 쓸 수 있습니다: ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.$ 다음 표현은 $\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)$ 동등하고, 따라서 다음도 마찬가지입니다: $\left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},$

이는

i

번째 행이

i

번째 열과 같은 노름을 가져야 함을 보여줍니다.

$i = 1$ 를 생각해 보십시오. 행 1과 열 1의 첫 번째 엔트리는 같고, 열 1의 나머지 부분은 (삼각 모양으로 인해) 영입니다, 이것은 첫 번째 행은 엔트리 2에서 $n$ 까지 영이어야 함을 의미합니다. 행–열 쌍 2에서 $n$ 까지 이 논증을 계속하여 $A$ 가 대각임을 보입니다. Q.E.D.

정규 행렬이 정확히 스펙트럼 정리(spectral theorem)가 적용되는 행렬이기 때문에 정규성의 개념이 중요합니다:

Proposition — 행렬 $A$ 가 정규인 것과 $A = U Λ U *$ 임을 만족하는 대각 행렬 $Λ$ 와 유니태리 행렬 $U$ 가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

$Λ$ 의 대각 엔트리는 $A$ 의 고윳값(eigenvalues)이고, $U$ 의 열은 $A$ 의 고유벡터(eigenvectors)입니다. $Λ$ 에서 일치하는 고윳값은 고유벡터가 $U$ 의 열로 순서화된 같은 순서로 들어갑니다.

스펙트럼 정리(spectral theorem)를 설명하는 또 다른 방법은 정규 행렬이 적절하게 선택된 $C n$ 의 직교정규 기저(orthonormal basis)에 관한 대각 행렬에 의해 표현될 수 있는 정확하게 그것들의 행렬이라고 말하는 것입니다. 다르게 표현하면: 행렬이 정규인 것과 그것의 고유공간(eigenspaces)이 $C n$ 을 스팬하고 $C n$ 의 표준 안의 곱에 관한 쌍별 직교(orthogonal)인 것은 필요충분 조건입니다.

정규 행렬에 대한 스펙트럼 정리는 모든 정사각 행렬에 유지되는 보다 일반적인 슈어 분해(Schur decomposition)의 특수한 경우입니다. $A$ 를 정사각 행렬이라고 놓습니다. 그런-다음 슈어 분해에 의해, 그것은 위쪽-삼각 행렬, 예를 들어, $B$ 와 닮은 유니태리입니다. 만약 $A$ 가 정규이면, $B$ 도 마찬가지입니다. 그러나, 그때에 위에서 언급한 바와 같이 정규 위쪽-삼각 행렬이 대각이기 때문에 $B$ 도 대각이어야 합니다.

스펙트럼 정리는 그것들의 스펙트럼의 관점에서 정규 행렬의 분류를 허용합니다. 예를 들면:

Proposition — 정규 행렬이 유니태리인 것과 그것의 고윳값 (그것의 스펙트럼)이 복소 평면의 단위 원 위에 놓이는 것은 필요충분 조건입니다.

Proposition — 정규 행렬이 자기-인접인 것과 그것의 스펙트럼이 $\mathbb {R}$ 에 포함되는 것은 필요충분 조건입니다. 다시 말해: 정규 행렬이 에르미트(Hermitian)인 것과 모든 그것의 고윳값이 실수(real)인 것은 필요충분 조건입니다.

일반적으로, 두 정규 행렬의 합 또는 곱은 정규 행렬일 필요가 없습니다. 어쨌든, 다음이 성립합니다:

Proposition — 만약 $A$ 와 $B$ 가 $AB = BA$ 와 함께 정규이면, $AB$ 와 $A + B$ 둘 다는 역시 정규입니다. 게다가, $UAU *$ 와 $UBU *$ 가 대각 행렬임을 만족하는 유니태리 행렬 $U$ 가 존재합니다. 다시 말해, $A$ 와 $B$ 는 동시에 대각화-가능입니다.

이 특수한 경우에서, $U *$ 의 열은 $A$ 와 $B$ 둘 다의 고유벡터이고 $C n$ 에서 직교정규 기저를 형성합니다. 이것은, 대수적으로 닫힌 필드에 걸쳐, 교환하는 행렬(commuting matrices)이 동시에 삼각화-가능(simultaneously triangularizable)이고 정규 행렬이 대각화-가능이라는 그 정리를 조합함으로써 따릅니다 – 추가된 결과는 이것들이 둘 다 동시에 수행될 수 있다는 것입니다.

Equivalent definitions

정규 행렬의 동등한 정의에 대한 상당히 긴 목록을 제공하는 것이 가능합니다. $A$ 를 $n \times n$ 복소수 행렬이라고 놓습니다. 다음은 동등합니다:

$A$ 는 정규입니다.
$A$ 는 유니태리 행렬에 의해 대각화-가능(diagonalizable)입니다.
$C n$ 에 대해 직교정규 기저를 형성하는 $A$ 의 고유벡터의 집합이 존재합니다.
모든 각 $x$ 에 대해 $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ .
$A$ 의 프로베니우스 노름(Frobenius norm)은 $A$ 의 고윳값에 의해 계산될 수 있습니다: ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ .
$A$ 의 에르미트(Hermitian) 부분 $1 / 2 (A + A *)$ 과 반-에르미트(skew-Hermitian) 부분 $1 / 2 (A - A *)$ 은 교환합니다.
$A *$ 는 $A$ 에서 (차수 $\leq n - 1$ 의) 다항식입니다.^[a]
일부 유니태리 행렬 $U$ 에 대해 $A * = AU$ .^[1]
$U$ 와 $P$ 는 교환하며, 여기서 유니태리 행렬 $U$ 와 일부 양수 반한정 행렬(positive semidefinite matrix) $P$ 를 갖는 극 분해(polar decomposition) $A = UP$ 를 가집니다.
$A$ 는 구별되는 고윳값을 갖는 일부 정규 행렬 $N$ 과 교환합니다.
모든 $1 \leq i \leq n$ 에 대해 $σ i = | λ i |$ , 여기서 $A$ 는 특이 값(singular values) $σ 1 \geq \dots \geq σ n$ 을 가지고 순서화 $| λ 1 | \geq \dots \geq | λ n |$ 로 인덱스된 고윳값을 가집니다.^[2]

위의 전부는 아니지만 일부는 무한-차원 힐베르트 공간 위에 정규 연산자로 일반화됩니다. 예를 들어, (9)를 만족시키는 경계 연산자는 단지 준정규(quasinormal)입니다.

Normal matrix analogy

고윳값이 구성되는 해당 유형의 복소수의 관계와 유사한 것으로 특수한 종류의 정규 행렬의 관계를 생각하는 것이 때때로 유용합니다 (그러나 때로는 오해의 소지가 있습니다). 이것은 비-결점있는 행렬의 임의의 함수가 각 고윳값 위에 직접 동작하고, 그것의 스펙트럼 분해 $VDV^{*}$ 의 켤레 전치가 $VD^{*}V^{*}$ 이기 때문이며, 여기서 $D$ 는 고윳값의 대각 행렬입니다. 마찬가지로, 만약 두 개의 정규 행렬이 교환하고 동시에 대각화-가능이면, 이들 행렬 사이의 임의의 연산은 해당 고윳값의 쌍 위에도 동작합니다.

켤레 전치(conjugate transpose)는 복소 켤레(complex conjugate)와 유사합니다.
유니태리 행렬(Unitary matrices)은 단위 원(unit circle) 위의 복소수(complex numbers)와 유사합니다.
Hermitian matrices are analogous to real numbers.
에르미트 양수 한정 행렬(positive definite matrices)은 양의 실수(positive real numbers)와 유사합니다.
반-에르미트 행렬(Skew Hermitian matrices)은 순수한 허수(imaginary numbers)와 유사합니다.
역가능 행렬(Invertible matrices)은 비-영 복소수(complex numbers)와 유사합니다.
행렬의 역은 반전된 각 고윳값을 가집니다.
균등 스케일 행렬(scaling matrix)은 상수와 유사합니다.
특히, 영 행렬(zero)은 0과 유사합니다, 그리고
항등(identity) 행렬은 1과 유사합니다.
거듭상등 행렬(idempotent matrix)은 각 고윳값 0 또는 1 중 하나를 갖는 직교 투영입니다.
정규 인볼루션(involution)은 고윳값 $\pm 1$ 을 가집니다.

특별한 경우로, 복소수는 다음과 같은 매핑에 의해 정규 2×2 실수 행렬에 삽입될 수 있습니다: $a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.$ 이는 덧셈과 곱셈을 보존합니다. 이 삽입이 위의 모든 유추를 존중하는지 쉽게 확인할 수 있습니다.

Notes

^ Proof: When $A$ is normal, use Lagrange's interpolation formula to construct a polynomial $P$ such that ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , where $\lambda _{j}$ are the eigenvalues of $A$ .

Sources

Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.

[1] Proof: When $A$ is normal, use Lagrange's interpolation formula to construct a polynomial $P$ such that ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , where $\lambda _{j}$ are the eigenvalues of $A$ .

[2] Horn & Johnson (1985), p. 109

[3] Horn & Johnson (1991), p. 157

[a]

[1]

[2]