Numeral system

숫자-표시 시스템(numeral system) (또는 수 읽기의 시스템(system of numeration))은 숫자를 표현하기 위한 쓰기 시스템(writing system)입니다; 즉, 일관적인 방식으로 자릿수(digits) 또는 다른 기호를 사용하여, 주어진 집합의 숫자(number)를 나타내는 위한 수학적 표기법(mathematical notation)입니다.

기호의 같은 수열은 다른 숫자-표시 시스템에서 다른 숫자를 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, "11"은 (실생활에서 사용되는) 십진 숫자-표시 시스템(decimal numeral system)에서 숫자 십일(eleven), (컴퓨터(computer)에서 사용되는) 이진 숫자-표시 시스템(binary numeral system)에서 삼(three), 및 (예를 들어, 태일링(tallying) 점수에서 사용되는) 단항 숫자-표시 시스템(unary numeral system)에서 숫자 이(two)를 나타냅니다.

숫자-표시가 나타내는 숫자는 그것의 값이라고 불립니다.

이상적으로, 숫자-표시 시스템은 다음일 것입니다:

숫자의 유용한 집합을 나타냅니다 (예를 들어, 모든 정수(integer), 또는 유리수(rational number))
고유한 표현 (또는 적어도 표준 표현)을 설명된 모든 각 숫자를 제공합니다
숫자의 대수적(algebraic) 및 산술(arithmetic) 구조를 반영합니다.

예를 들어, 자연수의 보통 십진(decimal) 표현은 모든 각 비-영 자연수에게, 비-영 자릿수로 시작하여, 자릿수(digits)의 유한(finite) 수열(sequence)로 고유한 표현을 제공합니다. 어쨌든, 십진 표현이 유리수(rational) 또는 실수에 대해 사용될 때, 그러한 숫자는, 일반적으로, 표현의 무한 개수를 가지며, 예를 들어 2.31은 2.310, 2.3100000, 2.309999999..., 등으로 역시 쓸 수 있으며, 그것의 모두는, 더 큰 정확도가 보인 숫자의 더 큰 개수에 의해 암시되는 일부 과학과 다른 문맥을 제외되면, 같은 의미를 가집니다.

숫자-표시 시스템은 때때로 숫자 시스템(number system)라고 불리지만, 해당 이름은 모호한데, 왜냐하면 그것은 실수(real number)의 시스템, 복소수(complex number)의 시스템, p-진수 숫자(p-adic numbers)의 시스템, 등과 같은, 숫자의 다른 시스템을 참조할 수 있기 때문입니다. 그러한 시스템은, 어쨌든, 이 기사의 주제는 아닙니다.

Main numeral systems

가장 공통적으로 사용되는 숫자-표시의 시스템은 십진수(decimal)입니다. 인도의 수학자들(Indian mathematicians)은 정수 버전, 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)을 개발한 것으로 공인됩니다.^[1] 쿠수마포라(Kusumapura)의 아리아바타(Aryabhata)는 5세기에서 자리-값 표기법(place-value notation)을 개발했었고 1세기 후 브라마굽타(Brahmagupta)는 영(zero)에 대해 기호를 도입했습니다. 그 시스템은 인도와의 상업적 활동과 군사적 활동으로 인해 아라비아와 같은 다른 주변 지역으로 천천히 확산되었습니다. 중동(Middle-Eastern)의 수학자들은 시리아(Syrian)의 수학자 아불-하산 알-오쿠어디시(Abu'l-Hasan al-Uqlidisi)에 의해 952–953년에 논문에 기록된 것처럼 10의 음의 거듭제곱 (분수(fractions))을 포함하도록 시스템을 확장했고, 십진 점(decimal point) 표기법은 신드 이븐 알리(Sind ibn Ali)에 의해 도입되었으며,^[when?] 그는 역시 아라비아 숫자-표시에 대한 최초의 논문을 썼습니다. 힌두-아라비아 숫자-표시 시스템은 상인의 거래로 인해 유럽으로 퍼졌고, 유럽에서 사용되는 자릿수는 아라비아 숫자-표시(Arabic numerals)라고 불렸는데, 왜냐하면 그들은 아랍인에게서 그것들을 배웠기 때문입니다.

가장 간단한 숫자-표시 시스템은 단항 숫자-표시 시스템(unary numeral system)이며, 이것에서 모든 각 자연수(natural number)는 기호의 대응하는 개수에 의해 표현됩니다. 만약 예를 들어 기호 /가 선택되면, 숫자 칠은 ///////으로 표현될 것입니다. 탈리 표식(tally marks)은 여전히 공통 사용에서 하나의 그러한 시스템을 나타냅니다. 단항 시스템은, 비록 그것이 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)에서 중요한 역할을 할지라도, 작은 숫자에 대해 유용합니다. 데이터 압축(data compression)에서 공통적으로 사용되는 앨리아스 감마 코딩(Elias gamma coding)은 이진 숫자-표시의 길이를 표시하기 위해 단항을 사용함으로써 임의적으로-크기 숫자를 표현합니다.

단항 표기법은 어떤 새로운 값에 대해 다른 기호를 도입함으로써 축약될 수 있습니다. 매우 공통적으로, 이들 값은 10의 거듭제곱입니다; 따라서 예를 들어, 만약 /가 일, –가 십, +가 100을 의미하면, 숫자 304는 +++ ////로 설명되고 숫자 123은 영에 대해 어떤 요구없이 + − − ///로 설명됩니다. 이것은 기호-값 표기법(sign-value notation)이라고 불립니다. 고대 이집트 숫자-표시 시스템(Egyptian numeral system)은 이 유형의 것이었고, 로마 숫자-표시 시스템(Roman numeral system)은 이 아이디어의 수정이었습니다.

여전히 더 유용한 것은 기호의 반복에 대해 특수 약어를 사용하는 시스템입니다; 예를 들어, 이러한 약어에 대해 알파벳의 처음 아홉 문자를 사용하고, A는 "일회 발생", B는 "이회 발생", 이런 깃이며, 우리는 그런-다음 숫자 304에 대해 C+ D/를 쓸 수 있습니다. 이 시스템은 중국의 숫자-표시(Chinese numerals)와 중국의 것을 기반으로 한 동아시아 숫자-표시를 쓸 때 사용됩니다. 영어(English language)의 숫자 시스템은, 그들이 무슨 쓰인 시스템을 채택했는지에 관계없이, 다른 말하는 언어(language)의 숫자 시스템과 마찬가지로, 이 유형 ("삼백 [및] 사")의 것입니다. 어쨌든, 많은 언어는 밑수와 다른 특색을 혼합하여 사용합니다. 예를 들어 프랑스어로 79는 soixante dix-neuf (60 + 10 + 9)이고, 웨일스어에서는 pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)) 또는 (다소 구식) pedwar ugain namyn un (4 × 20 − 1)입니다. 영어에서, 우리는 "87년 전"을 "4점 7년 전"으로 나타내는 유명한 게티즈버그 연설(Gettysburg Address)에서처럼, "일작은 4점"이라고 말할 수 있습니다.

보다 우아한 것은 위치적 시스템(positional system)이며, 역시 위치-값 표기법으로 알려져 있습니다. 다시 밑수 10에서 작업하면, 열 개의 다른 자릿수 0, ..., 9가 사용되고 자릿수의 위치는, 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 또는 보다 정확하게 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰에서 처럼, 자릿수가 곱해지게 되는 십의 거듭제곱을 의미하기 위해 사용됩니다. 다른 시스템에서는 필요하지 않은, 영은 거듭제곱을 "건너 띌" 수 있도록 여기에서 매우 중요합니다. 인도에서 기원되고 현재 전 세계에서 사용되는 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템은 위치적 밑수 10 시스템입니다.

산술은 이전 덧셈의 위치적 시스템보다 위치적 시스템에서 훨씬 더 쉽습니다; 게다가, 덧셈의 시스템은 10의 다른 거듭제곱에 대해 많은 다른 기호를 필요로 합니다; 위치적 시스템은 오직 열 개의 다른 기호를 필요로 합니다 (그것이 밑수 10을 사용한다고 가정합니다).^[2]

위치 십진 시스템은 인간의 문서에서 현재 보편적으로 사용됩니다. 밑수 1000은 역시 자릿수를 그룹화하고 세 개의 십진 자릿수의 수열을 단일 자릿수로 여김으로써 (비록 보편적은 아닐지라도) 사용됩니다. 이것은 매우 큰 숫자에 사용되는 공통적인 표기법 1,000,234,567의 의미입니다.

컴퓨터(computers)에서, 주요 숫자-표시 시스템은 둘의 이진 자릿수(binary digit), 0과 1을 갖는, 밑수 2 (이진 숫자-표시 시스템(binary numeral system))에서 위치적 시스템을 기반으로 합니다. 이진 자릿수를 셋 (팔진 숫자-표시 시스템(octal numeral system)) 또는 넷 (십육진 숫자-표시 시스템(hexadecimal numeral system))으로 그룹화함으로써 얻어진 위치적 시스템은 공통적으로 사용됩니다. 매우 큰 정수에 대해, 밑수 2³² 또는 2⁶⁴ (이진 자릿수를 32 또는 64로 그룹화, 기계 단어(machine word)의 길이)가, 예를 들어, GMP에서 처럼 사용됩니다.

특정 생물학적 시스템에서, 단항 코딩(unary coding) 시스템이 사용됩니다. 단항 숫자-표시는 새소리(birdsong) 생성을 담당하는 신경 회로(neural circuit)에 사용됩니다.^[3] 새 노래의 학습과 제작 둘 다에 역할을 하는 새소리의 뇌에 있는 핵은 HVC (high vocal center)입니다. 새소리에서 다른 음표에 대한 명령 신호는 HVC에서 다른 지점에서 나옵니다. 이 코딩은 고유의 단순성과 견고성으로 인해 생물학적 회로에 대해 효율적인 전략인 공간 코딩으로 작동합니다.

자릿수 또는 기호로 갖는 숫자를 쓸 때 사용되는 숫자-표시는, 각각, 산술(arithmetic) 숫자-표시 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)와 기하(geometric) 숫자-표시 (1, 10, 100, 1000, 10000 ...)라고 불리게 되는 두 가지 유형으로 나뉠 수 있습니다. 기호-값 시스템은 오직 기하 숫자-표시를 사용하고 위치적 시스템은 오직 산술 숫자-표시를 사용합니다. 기호-값 시스템은 산술 숫자-표시에 필요하지 않는데 왜냐하면 그것들은 반복에 의해 만들어지기 때문이고 (이오니아 시스템(Ionic system)을 제외), 위치적 시스템은 기하 숫자-표시에 필요하지 않는데 왜냐하면 그것들은 위치별로 만들어지기 때문입니다. 어쨌든, 구어는 산술과 기하 숫자-표시 둘 다를 사용합니다.

컴퓨터 과학의 특정 영역에서, 수정된 밑수 k 위치적 시스템이, 자릿수 1, 2, ..., k (k ≥ 1)를 갖는, 전단사 수 읽기(bijective numeration)라고 불리며, 사용되고, 영은 빈 문자열로 표시됩니다. 이것은 모든 그러한 자릿수-문자열의 집합과 비-음 정수의 집합 사이에 전단사(bijectio)를 설정하며, 선행하는 영들로 인한 비-고유성을 피합니다. 전단사 밑수-k 수 읽기는 역시 k-진수 표기법이라고 불리며, p-진수 숫자(p-adic numbers)와 혼동해서는 안됩니다. 전단사 밑수 1은 단항과 동일합니다.

Positional systems in detail

위치적 밑수 b 숫자-표시 시스템에서 (b는 기수(radix)로 알려진 1보다 큰 자연수(natural number)), 영을 포함하는 첫 번째 b 자연수에 해당하는 b 밑수 기호 (또는 자릿수)가 사용됩니다. 숫자-표시의 나머지 부분을 생성하기 위해, 숫자에서 기호의 위치가 사용됩니다. 마지막 위치에서 기호는 그 자체의 값이고, 그것이 왼쪽으로 움직일 때 그것의 값은 b에 곱해집니다.

예를 들어, 십진(decimal) 시스템 (밑수 10)에서, 숫자-표시 4327은 $(4 \times10 3) + (3 \times10 2) + (2 \times10 1) + (7 \times10 0)$ 을 의미하며, $100 = 1$ 임을 주목하십시오.

일반적으로, 만약 b가 밑수이면, 우리는 숫자를 형식 $a n b n + a n - 1 b n - 1 + a n - 2 b n - 2 + ... + a 0 b 0$ 로 표현하고 내림차순에서 열거된 자릿수 $a n a n - 1 a n - 2 ... a 0$ 를 씀으로써 밑수 b의 숫자-표시 시스템에서 씁니다. 자릿수는 0과 $b - 1$ 사이의 모든 것을 포함한 자연수입니다.

만약 텍스트가 (이것처럼) 여러 밑수를 논의하면, 그리고 만약 모호성이 존재하면, 밑수 (밑수 10에서 표현된 자체)는 숫자의 오른쪽에 아래첨자로, 예를 들어: 숫자_밑수처럼 더합니다. 문맥에 의해 지정되지 않은 한, 아래첨자없는 숫자는 십진수로 여겨집니다.

자릿수를 두 그룹으로 나뉘기 위해 점을 사용함으로써, 우리는 역시 위치적 시스템에서 분수를 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 밑수 2 숫자-표시 10.11은 $1\times2 1 + 0\times2 0 + 1\times2 -1 + 1\times2 -2 = 2.75$ 를 나타냅니다.

일반적으로, 밑수 b 시스템에서 숫자는 다음 형식의 것입니다:

(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.

숫자 b^k와 b^−k는 해당하는 자릿수의 가중(weights)입니다. 위치 k는 가중 w에 해당하는 로그(logarithm), 즉 $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ 입니다. 가장-높은 사용된 위치는 숫자의 크기의 정도(order of magnitude)에 가깝습니다.

가중을 설명하기 위해 단항 숫자-표시 시스템(unary numeral system)에서 요구된 탈리 표식(tally marks)의 개수는 w입니다. 위치적 시스템에서, 이것을 설명하기 위해 요구된 자릿수의 개수는 오직 $k+1=\log _{b}w+1$ 이며, 여기서 k ≥ 0입니다. 예를 들어, 가중 1000을 설명하기 위해, 넷의 자릿수가 필요한데 왜냐하면 $\log _{10}1000+1=3+1$ 이기 때문입니다. 위치를 설명하기 위해 요구된 자릿수의 개수는 $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ 입니다. (위치 1, 10, 100,...에서 오직 십진 예제에서 단순성에 대해).

{\begin{array}{l|rrrrrrr}{\text{Position}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{Weight}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{Digit}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}

숫자가 종료되거나 반복되는 확장을 가지는 것과 그것이 유리수(rational)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다; 이것은 밑수에 의존하지 않습니다. 하나의 밑수에서 종료하는 숫자가 또 다른 것에서 반복될 수 있습니다 (따라서 $0.3 10 = 0.0100110011001... 2$ ). 무리수는 모든 정수 밑수에서 (비-반복되는 자릿수의 무한 숫자와 함께) 비-주기적으로 머무릅니다. 따라서, 예를 들어 밑수 2에서, $π = 3.1415926... 10$ 는 비-주기적 11.001001000011111...₂으로 쓸 수 있습니다.

공통 자릿수 위에, 윗줄(overscores) 또는 점을 놓으면, n, 또는 ṅ는 반복된 유리 확장을 표현하기 위해 사용된 관례입니다. 따라서:

14/11 = 1.272727272727... = 1.27 or 321.3217878787878... = 321.32178.

만약 b = p가 소수(prime number)이면, 우리는 왼쪽으로의 확장이 결코 멈추지 않는 밑수-p 숫자-표시를 정의할 수 있습니다; 이것들은 p-진수 숫자(p-adic numbers)라고 불립니다.

Generalized variable-length integers

보다 일반적인 것은 $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ 에 대해 $a_{0}a_{1}a_{2}$ 와 같은 혼합된 기수(mixed radix)를 사용하는 것입니다 (여기서 리틀-엔디언(little-endian)으로 쓰입니다).

이것은 퓨니코드(punycode)에서 사용되며, 그것의 한 가지 측면은 구분문자없이 수열의 형식에서 임의적인 크기의 비-음의 정수의 수열, 36의 모음: a–z 및 0–9, 각각, 0–25 및 26–35을 나타내는 것으로부터 "자릿수"의 표현입니다. 임계값보다 낮은 자릿수는 가장 중요한 자릿수이므로, 숫자의 끝임을 나타냅니다. 임계값은 숫자에서 위치에 따라 다릅니다. 예를 들어, 만약 첫 번째 자릿수에 대해 임계값이 b (예를 들어, 1)이면, a (예를 들어, 0)는 숫자의 끝을 표시하므로 (그것은 단지 일 자리를 가집니다), 둘 이상의 자릿수의 숫자에서, 범위는 b–9 (1–35)이고, 따라서 가중치 b₁는 36 대신 35입니다. 두 번째와 세 번째 자릿수에 대해 임계값이 c (2)라고 가정하면, 세 번째 자릿수는 가중치 34 × 35 = 1190를 가지고 우리는 다음 수열을 가집니다:

a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), bca (71), .., 99a (1260), bcb (1261), 등.

정규 밑수된 숫자-표시 시스템과 달리, 9b와 같은 숫자가 있으며 여기서 9와 b 각각은 35를 나타냅니다; 그럼에도 불구하고 ac와 aca가 허용되지 않기 때문에 표현은 고유합니다 – a는 숫자를 종료합니다.

임계값을 선택하는 것에서 유연성은 다양한 크기의 숫자의 발생의 빈도에 따라 최적화를 허용합니다.

1과 같은 모든 임계값을 갖는 경우는 전단사 수-읽기(bijective numeration)에 해당하며, 여기서 영들은 비-영인 자릿수를 갖는 숫자의 구분 기호에 해당합니다.

References

^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company.
^ Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS. GIAP Journals. ISBN 978-93-83006-18-2.
^ Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neural network models of birdsong production, learning, and coding". In Squire, L.; Albright, T.; Bloom, F.; Gage, F.; Spitzer, N. New Encyclopedia of Neuroscience.

Sources

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3.
D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, "Positional Number Systems".
A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund (1993). Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. ISBN 978-0-226-58659-5.
Schmandt-Besserat, Denise (1996). How Writing Came About. University of Texas Press. ISBN 978-0-292-77704-0.
Zaslavsky, Claudia (1999). Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. ISBN 978-1-55652-350-2.

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[1] David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company.

[2] Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS. GIAP Journals. ISBN 978-93-83006-18-2.

[3] Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neural network models of birdsong production, learning, and coding". In Squire, L.; Albright, T.; Bloom, F.; Gage, F.; Spitzer, N. New Encyclopedia of Neuroscience.

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