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Numerical digit

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Original article: wikipedia:Numerical digit
The ten digits of the Arabic numerals, in order of value.

숫자의 자릿수(numerical digit)는 위치적(positional) 숫자-표시 시스템(numeral system)에서 숫자(number)를 나타내기 위해, ("2"에서 처럼) 단독으로 또는 ("25"에서 처럼) 조합으로 사용되는 단일 기호입니다. 이름 "자릿수(digit)"는 손의 십 자릿수 (라틴어 digiti은 손가락을 의미함)[1]가 공통 밑수 10(base 10) 숫자-표시 시스템(numeral system), 즉 십진 (고대 라틴어 형용사 decem은 십을 의미함)[2] 자릿수의 열 개의 기호에 해당한다는 사실에서 옵니다.

정수 밑(base)을 갖는 주어진 숫자-표시 시스템에 대해, 요구된 다른 자릿수의 개수는 밑의 절댓값(absolute value)에 의해 주어집니다. 예를 들어, 십진 시스템 (밑수 10)은 십의 자릿수 (0에서 9까지)를 요구하며, 반면에 이진 시스템(binary system) (밑수 2)은 둘의 자릿수 (0과 1)를 요구합니다.

Overview

기본 디지털 시스템에서, 숫자-표시(numeral)는 임의의 길이일 수 있는 자릿수의 수열입니다. 수열에서 각 위치는 자리 값(place value)을 가지고, 각 자릿수는 값을 가집니다. 숫자-표시의 값은 수열에서 각 자릿수를 그것의 자리 값을 곱하고, 결과를 합함으로써 계산됩니다.

Digital values

숫자 시스템에서 각 자릿수는 정수를 나타냅니다. 예를 들어, 십진수(decimal)에서, 자릿수 "1"은 정수 일(one)을 나타내고, 십육진(hexadecimal) 시스템에서, 문자 "A"는 숫자 십(ten)을 나타냅니다. 위치적 숫자 시스템(positional number system)은 영(zero)부터, 그것을 포함하지는 않는, 숫자 시스템의 기수(radix)까지 각 정수에 대해 하나의 고유한 자릿수를 가집니다.

따라서 위치적 십진 시스템에서, 숫자 0에서 9는 가장 오른쪽 "단위" 위치에 그것들 각각의 숫자-표시 "0"에서 "9"를 사용하여 표현될 수 있습니다. 숫자 12는 단위 위치에 숫자-표시 "2"와 "십" 위치에 숫자-표시 "1"을 "2"의 왼쪽에 표현할 수 있고, 반면에 숫자 312는 셋의 숫자-표시: "백" 위치에 "3", "십" 위치에 "1", "단위" 위치에 "2"에 의해 표현될 수 있습니다.

Computation of place values

십진(decimal) 숫자-표시 시스템은 십진 분리기호(decimal separator), 공통적으로 영어에서 마침표(period), 또는 다른 유럽(Europe) 언어에서 쉼표(comma)를,[3] 위치 값 일을 가지는 "일 자리" 또는 "단위 자리"를 나타내기 위해,[4][5][6] 사용합니다. 이것의 왼쪽에 각 연속적인 자리는 이전 자릿수의 자리 값에 밑수(base)를 곱한 값과 같은 자리 값을 가집니다. 유사하게, 분리기호 오른쪽에 각 연속적인 자리는 이전 숫자의 자리 값을 밑으로 나눈 값과 같은 자리 값을 가집니다. 예를 들어 (밑수 10(base 10)에서 쓰인) 숫자-표시 10.34에서,

0은 0은 분리기호의 바로 왼쪽에 있으므로, 그것은 일 또는 단위 자리에 있고, 단위 자릿수 또는 일 자릿수라고 불립니다;[7][8][9]
일 자리의 왼쪽에 1은 십 자리에 있고, 십 자릿수라고 불립니다;[10]
3은 일 자리의 오른쪽에 있으므로, 그것은 십분의 일 자리에 있고, 십분의 일 자릿수라고 불립니다;[11]
십분의 일 자리의 오른쪽에 4는 백분의 일 자리에 있고, 백분의 일 자릿수라고 불립니다.[11]

숫자의 전체 값은 1십, 0일, 3 십분의 일, 및 4 백분의 일입니다. 숫자의 값에 기여하지 않는 그 영은 1이 일 자리가 아니라 십 자리에 있음을 나타내기 위함임을 주목하십시오.

숫자-표시에서 임의의 주어진 자릿수의 자리 값은 간단한 계산에 의해 주어질 수 있으며, 그 자체로 숫자-표시 시스템 뒤의 논리를 보완합니다. 계산은 주어진 자릿수를 지수 n − 1로 올린 밑수로 곱하는 것을 포함하며, 여기서 n은 분리기호에서 자릿수의 위치를 나타냅니다; n의 값은 양수 (+)이지만, 이것은 자릿수가 분리기호의 왼쪽에 있는 경우에만 그렇습니다. 그리고 오른쪽에서, 자릿수는 음의 (−) n을 올려진 밑수에 곱해집니다. 예를 들어, (밑수 10(base 10)에서 쓰인) 숫자 10.34에서,

1은 분리기호의 왼쪽 두 번째이므로, 계산에 기초하여, 그것의 값은 다음입니다:
4는 분리기호의 오른쪽 두 번째에 있으므로, 계산에 기초하여, 그것의 값은 다음입니다:

History

Main article: History of the Hindu–Arabic numeral system
Glyphs used to represent digits of the Hindu–Arabic numeral system.

최초의 진정한 기록된 위치적 숫자-표시 시스템(positional numeral system)은 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)으로 여겨집니다. 이 시스템은 7세기 인도에서 설립되었지만,[12] 자릿수 영(zero)의 사용이 여전히 널리 수용되지 않았기 때문에 그것의 현대 형식에서 여전히 있지 않습니다. 영 대신에 때때로 자릿수가 그것의 중요성을 나타내기 위해 점으로 표시되거나, 공백이 자리표시자로 사용되었습니다. 최초의 널리 알려진 영의 사용은 876년이었습니다.[13] 원래 숫자-표시는 심지어 자릿수를 나타내기 위해 사용되는 글리프(glyph)까지도 현대의 숫자-표시와 매우 유사했습니다.[12]

The digits of the Maya numeral system

13세기까지, 서양 아라비아 숫자-표시(Western Arabic numerals)는 유럽 수학계에서 받아들여졌습니다 (피보나치(Fibonacci)는 그것들을 그의 Liber Abaci에서 사용했습니다). 그것들은 15세기에 널리 사용되기 시작했습니다.[14] 20세기 말까지, 전 세계에서 사실상 모든 비-컴퓨터화된 계산은 아라비아 숫자-표시로 행해졌으며, 대부분의 문화에서 자국의 숫자-표시 시스템을 대체해 왔습니다.

Other historical numeral systems using digits

마야 숫자-표시(Maya numerals)의 정확한 연대는 불분명하지만, 힌두–아라비아 시스템보다 더 오래되었을 가능성이 있습니다. 그 시스템은 이십진수(vigesimal) (밑수 20)이므로, 그것은 이십 자릿수를 가집니다. 마야인은 영을 나타내기 위해 껍질 기호를 사용했습니다. 숫자-표시는 세로로 작성되었으며, 맨 아래에 일 자리를 가집니다. 마야인(Mayas)은 현대의 십진 분리기호(decimal separator)와 동등한 것을 가지지 않았으므로, 그들의 시스템은 분수를 나타낼 수 없었습니다.[15]

태국 숫자-표시 시스템(Thai numeral system)은 자릿수를 나타내기 위해 사용되는 기호를 제외하고 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)과 동일합니다. 이들 자릿수의 사용은 예전보다 태국(Thailand)에서 덜 공통적이지만, 그것들은 여전히 아라비아 숫자와 함께 사용됩니다.

막대 숫자-표시는, 한때 세는 막대(counting rods)의 쓰인 형식은 중국과 일본의 수학자들에 의해 사용되었으며, 영뿐만 아니라 음수를 나타낼 수 있는 십진 위치적 시스템입니다. 세는 막대 자체는 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템보다 이전에 존재했습니다. 쑤저우 숫자-표시(Suzhou numerals)는 막대 숫자-표시의 변형입니다.

Rod numerals (vertical)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Modern digital systems

In computer science

이진(binary) (밑수 2), 팔진(octal) (밑수 8), 및 십육진(hexadecimal) (밑수 16) 시스템은, 컴퓨터 과학(computer science)에서 광범위하게 사용되며, 모두 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)의 관례를 따릅니다.[16] 이진 시스템은 오직 자릿수 "0"과 "1"을 사용하지만, 팔진 시스템은 "0"에서 "7"까지의 자릿수를 사용합니다. 십육진 시스템은 십진 시스템에서 모든 자릿수, 더하기, 각각, 숫자 10에서 15까지를 나타내는 문자 "A"에서 "F"를 사용합니다.[17]

Unusual systems

삼진(ternary) 및 균형된 삼진(balanced ternary) 시스템이 때때로 사용되어 왔습니다. 그것들은 둘 다 밑수 3 시스템입니다.[18]

균형된 삼진은 자릿수 값 1, 0 및 –1을 가지는 것에서 별난 것입니다. 균형된 삼진은 여러 유용한 특성을 가지는 것으로 밝혀졌고 그 시스템은 실험적인 러시아 세툰(Setun) 컴퓨터에 사용되어 왔습니다.[19]

여러 저자는 지난 300년 동안 결과적으로 수정된 십진 표현(decimal representation)에 이르는 위치적 표기법의 능력을 주목해 왔습니다. 몇 가지 이점은 음수 값을 나타내는 숫자 자릿수를 사용하기 위해 인용됩니다. 1840년에, 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)는 숫자의 부호화된-자릿수 표현(signed-digit representation)의 사용을 옹호했고 1928년에 플로리언 카호리(Florian Cajori)는 음의 숫자-표시(negative numerals)에 대해 그의 참조의 모음을 제시했습니다. 부호화된-자릿수 표현의 개념은 역시 컴퓨터 설계(computer design)에서 채택되어 왔습니다.

Digits in mathematics

숫자를 설명하는 것에서 자릿수의 필수적인 역할에도 불구하고, 그것들은 현대 수학(mathematics)에서 상대적으로 중요하지 않습니다.[20] 그럼에도 불구하고, 숫자의 표현을 자릿수의 수열로 사용하는 몇 가지 중요한 수학적 개념이 있습니다.

Digital roots

Main article: Digital root

자릿수의 근은 주어진 숫자의 자릿수를 합하고, 그런-다음 결과의 자릿수를 합하고, 단일-자릿수 숫자가 얻어질 때까지 계속함으로써 얻어진 단일-자릿수 숫자입니다.[21]

Casting out nines

Main article: Casting out nines

구를 캐스팅하는 것(Casting out nines)은 손으로 행해진 산술을 확인하는 절차입니다. 그것을 설명하기 위해, 가 위에서 설명된 것처럼 의 자릿수의 근(digital root)을 나타내는 것으로 놓습니다. 구를 캐스팅하는 것은 만약 이면, 라는 사실의 사용을 만듭니다. 구를 캐스팅하는 것의 과정에서, 후자 방정식(equation)의 양쪽 변이 계산되고, 만약 그것들이 같지 않으면, 원래 방정식은 결점이 있는 것이어야 합니다.[22]

Repunits and repdigits

Main article: Repunit

단위반복은 오직 자릿수 1과 함께 표현되는 정수입니다. 예를 들어, 1111 (일천, 일백 및 십일)은 단위반복입니다. 자릿수반복(Repdigit)은 단위반복의 일반화입니다; 그것들은 같은 자릿수의 반복된 예제에 의해 표현된 정수입니다. 예를 들어, 333은 자릿수반복입니다. 단위반복의 소수성은 수학자들에게 흥미로운 것입니다.[23]

Palindromic numbers and Lychrel numbers

Main article: Palindromic number

회문 숫자는 그것들의 자릿수가 반전될 때 똑같이 읽는 숫자입니다.[24] 라이크렐 숫자(Lychrel number)는 반전된 자릿수를 갖는 자체와 더해지는 반복되는 과정을 거쳤을 때 회문 숫자를 산출하지 않는 양의 정수입니다.[25] 밑수 10에서 임의의 라이크렐 숫자가 있는지 여부의 질문은 유희 수학(recreational mathematics)에서 열린 문제입니다; 가장 작은 후보는 1966입니다.[26]

History of ancient numbers

Main article: History of writing ancient numbers

세는 보조-도구, 특히 신체 부위 (손가락을 세는 것)의 사용은 오늘날처럼 아주 옛날에 확실히 사용되었습니다. 많은 변형이 있습니다. 십의 손가락을 세는 것 외에도, 일부 문화권은 손가락과 마찬가지로 손가락 관절, 손가락 사이의 마디, 발가락을 세어 왔습니다. 뉴기니의 오크사프민(Oksapmin) 문화는 숫자를 표현하기 위해 27개의 상체 위치의 시스템을 사용합니다.[27]

숫자-표시 정보를 보존하기 위해, 나무, 뼈, 및 돌로 조각된 탈리(tallies)가 선사 시대 이래로 사용되어 왔습니다.[28] 고대 미국 원주민(indigenous American) 그룹을 포함한 석기 시대 문화는 도박, 개인 서비스, 및 무역-상품에 탈리를 사용했습니다.

점토에 숫자 정보를 보존하는 방법은 기원전 8000년과 3500년 사이에 수메르(Sumer) 사람들에 의해 발명되었습니다.[29] 이것은 끈에 구슬처럼 매달린 다양한 모양의 작은 점토 토큰으로 행해졌습니다. 기원전 3500년경에 시작하여, 점토 토큰은 점토 태블릿 (원래 토큰에 대한 용기)에서 다른 각도의 둥근 스타일러스를 갖는 인상적인 숫자 기호로 점진적으로 대체되었으며 그 후 구워졌습니다. 기원전 3100년경에, 쓰인 숫자는 계산되는 것과 분리되어 추상적 숫자-표시가 되었습니다.

기원전 2700년과 2000년 사이에, 수메르에서, 둥근 스타일러스는 점토에서 쐐기-모양된 설형-문자 기호를 누르기 위해 사용되었던 화살 스타일러스로 점차 대체되었습니다. 이들 설형문자 숫자 기호는 둥근 숫자 기호와 유사하며, 그것들은 둥근 숫자 기호를 대체하고 추가적인 기호-값 표기법(sign-value notation)을 유지했습니다. 이들 시스템은 점진적으로 공통 육십진(sexagesimal) 숫자 시스템으로 수렴되었습니다; 이것은 오직 둘의 누려진 표식, 수직 쐐기와 갈매기 모양으로 구성하는 자리-값 시스템이었으며, 그것은 역시 분수를 나타낼 수 있습니다.[30] 이 육십진 숫자 시스템은 구 바빌로니아 시대 (기원전 1950년경)의 초기에 완전히 개발되었고 바빌로니아에서 표준이 되었습니다.[31]

육십진(sexagesimal) 숫자-표시는 설형문자 수직 쐐기와 갈매기 모양의 수열에서 교대하는 밑수 10과 밑수 6을 유지하는 혼합된 기수(mixed radix) 시스템이었습니다. 기원전 1950년까지, 이것은 위치적 표기법(positional notation) 시스템이었습니다. 육십진 숫자-표시는 상업 분야에서 널리 사용되었지만, 역시 천문학과 다른 계산에 사용되었습니다. 이 시스템은 바빌로니아에서 수출되고 메소포타미아 전역과 그리스인, 로마인 및 이집트인을 포함하여 표준 바빌로니아 측정과 셈의 단위를 사용하는 모든 각 지중해 국가에서 사용되었습니다. 바빌로니아-스타일의 육십진 수-읽기는 시간(time) (시간당 분)과 각도(angle) (도)를 측정하기 위해 현대 사회에서 여전히 사용됩니다.[32]

History of modern numbers

중국(China)에서, 군대와 보급품은 소수(prime number)의 모듈러 탈리를 사용하여 세어졌습니다. 군대의 고유한 숫자와 쌀의 측정은 이들 탈리의 고유한 조합으로 나타납니다. 모듈러 산술(modular arithmetic)의 큰 편의는 곱하는 것이 쉽다는 것입니다.[33] 이것은 특히 매력적인 보급품에 대해 모듈러 산술의 사용을 만듭니다. 기존의 탈리는 곱하고 나누는 것이 꽤 어렵습니다. 현대에서, 모듈러 산술은 때때로 디지털 신호 처리(digital signal processing)에서 사용됩니다.[34]

가장 오래된 그리스 시스템은 아틱 숫자-표시(Attic numerals)의 시스템이었지만,[35] 기원전 4세기에 그들은 준-십진 알파벳 시스템을 사용하기 시작했습니다 (그리스 숫자-표시(Greek numerals)를 참조하십시오).[36] 유대인들은 유사한 시스템 (히브리 숫자-표시(Hebrew numerals))를 사용하기 시작했으며, 가장 오래된 예제는 기원전 100년경의 동전으로 알려져 있습니다.[37]

로마 제국은 밀랍, 파피루스와 돌에 쓰인 탈리를 사용했고, 다양한 숫자에 문자를 할당하는 그리스 관습을 대략적으로 따랐습니다. 로마 숫자-표시 시스템(Roman numerals system)은 위치적 표기법(positional notation)이 16세기에 공통적으로 사용되기 전까지 유럽에서 공통 사용으로 남았습니다.[38]

중앙 아메리카의 마야(Maya)는 위치 표기법과 영(zero)과 같은 진보된 특색을 포함하는, 아마도 올멕(Olmec)에서 상속된, 혼합된 밑수 18과 밑수 20 시스템을 사용했습니다.[39] 그들은 이 시스템을 태양 년의 길이와 금성(Venus)의 궤도의 매우 정확한 계산을 포함하여 진보된 천문학적 계산을 만들기 위해 사용했습니다.[40]

잉카 제국은 유색 섬유를 매듭 지음으로써 만든 퀴푸(quipu), 탈리를 사용하여 대규모 지배력 경제를 운영했습니다.[41] 매듭과 색상의 인코딩의 지식은 16세기에 스페인(Spanish) 정복자(conquistador)들에 의해 억제되었고, 비록 단순한 키푸와 같은 기록하는 장치가 안데스(Andean) 지역에서 여전히 사용될지라도 현존하지는 않습니다.

일부 권위자는 위치적 산술이 중국에서 세는 막대(counting rods)의 광범위한 사용으로 시작되었다고 믿습니다.[42] 최초의 쓰인 위치적 기록은 400년경에 중국에서 막대 계산(rod calculus) 결과인 것으로 보입니다. 영은 브라마굽타(Brahmagupta)에 의해 CE 7세기에 인도에서 처음 사용되었습니다.[43]

현대의 위치적 아라비아 숫자-표시 시스템은 인도에서 수학자에 의해 개발되었고, 773년경 인도 대사에 의해 바그다드(Baghdad)로 가져온 천문학적 테이블과 함께 무슬림 수학자(Muslim mathematicians)에게 전달되었습니다.[44]

인도(India)로부터, 이슬람 술탄과 아프리카 사이의 번성하는 무역은 개념을 카이로(Cairo)로 전달했습니다. 아랍 수학자들은 십진 분수(decimal fractions)를 포함하기 위해 시스템을 확장했고, 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)는 9세기에 그것에 대한 중요한 연구를 썼습니다.[45] 현대 아라비아 숫자-표시(Arabic numerals)는 12세기 스페인에서 이 연구와 1201년의 피사의 레오나르도(Leonardo of Pisa)의 Liber Abaci의 번역과 함께 유럽으로 소개되었습니다.[46] 유럽에서, 영을 갖는 완전한 인도 시스템은 12세기에 아랍인으로부터 파생되었습니다.[47]

이진 시스템(binary system) (밑수 2)은 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 17세기에 전파되었습니다.[48] 라이프니츠는 그의 경력 초기에 개념을 개발했었고, 그가 중국에서 역경(I Ching)의 사본을 검토할 때 그것을 다시 검토했습니다.[49] 이진수는 컴퓨터 응용때문에 20세기에 공통 사용이 되었습니다.[48]

Numerals in most popular systems

West Arabic 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Asomiya (Assamese); Bengali ০ ১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯
Devanagari ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
East Arabic ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Persian ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
Gurmukhi ੦ ੧ ੨ ੩ ੪ ੫ ੬ ੭ ੮ ੯
Urdu ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Chinese
(everyday) 		〇 一 二 三 四 五 六 七 八 九
Chinese
(formal) 		零 壹 贰/貳 叁/叄 肆 伍 陆/陸 柒 捌 玖
Chinese
(Suzhou) 		〇 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩
Ge'ez
(Ethiopic) 		፩ ፪ ፫ ፬ ፭ ፮ ፯ ፰ ፱
Gujarati ૦ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯
Hieroglyphic Egyptian 𓏺 𓏻 𓏼 𓏽 𓏾 𓏿 𓐀 𓐁 𓐂
Japanese 零 / 〇 一 二 三 四 五 六 七 八 九
Kannada ೦ ೧ ೨ ೩ ೪ ೫ ೬ ೭ ೮ ೯
Khmer (Cambodia) ០ ១ ២ ៣ ៤ ៥ ៦ ៧ ៨ ៩
Lao ໐ ໑ ໒ ໓ ໔ ໕ ໖ ໗ ໘ ໙
Limbu ᥆ ᥇ ᥈ ᥉ ᥊ ᥋ ᥌ ᥍ ᥎ ᥏
Malayalam ൦ ൧ ൨ ൩ ൪ ൫ ൬ ൭ ൮ ൯
Mongolian ᠐ ᠑ ᠒ ᠓ ᠔ ᠕ ᠖ ᠗ ᠘ ᠙
Burmese ၀ ၁ ၂ ၃ ၄ ၅ ၆ ၇ ၈ ၉
Oriya ୦ ୧ ୨ ୩ ୪ ୫ ୬ ୭ ୮ ୯
Roman I II III IV V VI VII VIII IX
Shan ႐ ႑ ႒ ႓ ႔ ႕ ႖ ႗ ႘ ႙
Sinhala 𑇡 𑇢 𑇣 𑇤 𑇥 𑇦 𑇧 𑇨 𑇩
Tamil ௦ ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
Telugu ౦ ౧ ౨ ౩ ౪ ౫ ౬ ౭ ౮ ౯
Thai ๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙
Tibetan ༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩
New Tai Lue ᧐ ᧑ ᧒ ᧓ ᧔ ᧕ ᧖ ᧗ ᧘ ᧙
Javanese ꧐ ꧑ ꧒ ꧓ ꧔ ꧕ ꧖ ꧗ ꧘ ꧙

Additional numerals

1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 10000 108
Chinese
(simple) 		一 五 十 二十 三十 四十 五十 六十 七十 八十 九十 百 五百 千 万 亿
Chinese
(complex) 		壹 伍 拾 贰拾 叁拾 肆拾 伍拾 陆拾 柒拾 捌拾 玖拾 佰 伍佰 仟 萬 億
Ge'ez
(Ethiopic) 		፩ ፭ ፲ ፳ ፴ ፵ ፶ ፷ ፸ ፹ ፺ ፻ ፭፻ ፲፻ ፼ ፼፼
Roman I V X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C D M X

See also

Numeral notation in various scripts

References

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