Orthogonal polynomials

수학(mathematics)에서, 직교 다항식 순서열(orthogonal polynomial sequence)은 순서열에서 임의의 두 개의 서로 다른 다항식이 일부 안의 곱(inner product) 아래에서 서로 직교적(orthogonal)인 다항식(polynomials)의 가족입니다.

가장 널리 사용되는 직교 다항식은 에르미트 다항식(Hermite polynomials), 라게르 다항식(Laguerre polynomials), 및 야코비 다항식(Jacobi polynomials)으로 구성된 고전적인 직교 다항식(classical orthogonal polynomials)입니다. 기겐바우어 다항식(Gegenbauer polynomials)은 야코비 다항식의 가장 중요한 클래스를 형성합니다; 그것들은 특수한 경우로 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomials)과 르장드르 다항식(Legendre polynomials)을 포함합니다.

직교 다항식의 분야는 P. L. Chebyshev의 연속된 분수(continued fractions)의 연구에서 19세기 후반에 발전했었고 A. A. Markov와 T. J. Stieltjes에 의해 추구되었습니다. 그것들은 수치 해석 (구적법 규칙), 확률 이론, (리 그룹, 양자 그룹, 및 관련 대상의) 표시 이론, 열거 조합론, 대수적 조합론, 수학적 물리학 (무작위 행렬의 이론, 적분-가능 시스템, 등), 및 숫자 이론과 같은 다양한 분야에 나타납니다. 직교 다항식에 대해 연구해 왔던 수학자의 일부는 Gábor Szegő, Sergei Bernstein, Naum Akhiezer, Arthur Erdélyi, Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam, Richard Askey, 및 Rehuel Lobatto를 포함합니다.

Definition for 1-variable case for a real measure

실수 위에 비-감소하는 함수 $α$ 가 주어지면, 함수 f의 르베그–스틸티어스 적분(Lebesgue–Stieltjes integral)을 정의할 수 있습니다: $\int f(x)\,d\alpha (x)$ 만약 이 적분이 모든 다항식 f에 대해 유한하면, 다음에 의해 다항식 f와 g의 쌍에 대해 안의 곱을 정의할 수 있습니다: $\langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).$

이 연산은 모든 다항식의 벡터 공간(vector space) 위에 양의 반-한정 안의 곱(inner product)이고, 함수 α가 성장의 무한한 점의 숫자를 가지면 양의 한정입니다. 그것은 보통의 방법에서 직교성(orthogonality)의 개념을 유도하며, 즉, 두 개의 다항식이 만약 그것들의 안의 곱이 영이면 직교적이라는 것입니다.

그런-다음 직교 다항식의 순서열 $(P n) \infty n =0$ 은 다음 관계에 의해 정의됩니다: $\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.$

다시 말해서, 순서열은 이 내적에 관해 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)에 의해 단항식 1, x, x², …의 순서열로부터 얻습니다.

보통 그 순서열은 직교-정규(orthonormal), 즉, 다음임을 요구합니다: $\langle P_{n},P_{n}\rangle =1,$ 어쨌든, 다른 정규화가 때때로 사용됩니다.

Absolutely continuous case

때때로 다음을 가집니다: $d\alpha (x)=W(x)\,dx$ 여기서 다음은

$W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R}$

실수 직선에서 일부 구간 $[x 1, x 2]$ 위에 지원을 갖는 비-음의 함수입니다 (여기서 $x 1 = -\infty$ 및 $x 2 = \infty$ 가 허용됩니다). 그러한 $W$ 는 가중 함수(weight function)라고 불립니다.^[1] 그런-다음 안의 곱은 다음에 의해 주어집니다: $\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.$ 어쨌든, 측정 $dα (x)$ 가 비-영 측정을 갖는 점을 가지는 직교 다항식의 많은 예제가 있으며 여기서 함수 $α$ 가 불연속이므로, 위와 같이 가중 함수 $W$ 에 의해 주어질 수 없습니다.

Examples of orthogonal polynomials

가장 공통적으로 사용되는 직교 다항식은 실수 구간에서 지원을 갖는 측정에 대해 직교적입니다. 여기에는 다음이 포함됩니다:

고전적인 직교 다항식 (야코비 다항식, 라게르 다항식, 에르미트 다항식, 및 그것들의 특수한 경우 기겐바우어 다항식, 체비쇼프 다항식 및 르장드르 다항식).
윌슨 다항식(Wilson polynomials), 이는 야코비 다항식을 일반화합니다. 그것들은 마익스너-뽈라첵 다항식(Meixner–Pollaczek polynomials), 연속 한 다항식(continuous Hahn polynomials), 연속 이중 한 다항식(continuous dual Hahn polynomials), 및 어스키 스킴(Askey scheme)으로 설명되는 고전적 다항식과 같은 많은 직교 다항식을 특수한 경우로 포함합니다.
어스키–윌슨 다항식(Askey–Wilson polynomials)은 윌슨 다항식에 여분의 매개변수 q를 도입합니다.

이산 직교 다항식(discrete orthogonal polynomials)은 일부 이산 측정에 관해 직교적입니다. 때때로 측정은 유한 지원을 가지며, 이 경우에서 직교 다항식의 가족은 무한 순서열이 아니라 유한입니다. 라카 다항식(Racah polynomials)은 이산 직교 다항식의 예제이고, 특수한 경우로 한 다항식(Hahn polynomials) 및 이중 한 다항식(dual Hahn polynomials)을 포함하고, 이는 차례로 특수한 경우로 마익스너 다항식(Meixner polynomials), 크라브추크 다항식(Krawtchouk polynomials) 및 찰리엘 다항식(Charlier polynomials)을 포함합니다.

마익스너는 모든 직교 셰퍼 순서열(Sheffer sequences)을 분류했습니다: 에르미트, 라게르, 찰리엘, 마익스너 및 마익스너–뽈라첵만 있습니다. 어떤 의미에서 크라브추크도 이 목록에 있어야 되지만, 그것들은 유한한 순서열입니다. 이들 6개 가족은 NEF-QVF에 해당하고 특정 리비 과정(Lévy processes)에 대해 마팅게일(martingale) 다항식입니다.

체로-친 극단-구체 다항식(sieved ultraspherical polynomials), 체로-친 야코비 다항식(sieved Jacobi polynomials), 및 체로-친 뽈라첵 다항식(sieved Pollaczek polynomials)과 같은 체로-친 직교 다항식(Sieved orthogonal polynomials)은 재귀 관계를 수정했습니다.

복소 평면에서 일부 곡선에 대해 직교 다항식을 고려할 수도 있습니다. (실수 구간이 아닌) 가장 중요한 경우는 곡선이 단위 원일 때 로저스-쎄거 다항식(Rogers–Szegő polynomials)과 같은 단위 원 위에 직교 다항식을 제공합니다.

삼각형이나 디스크와 같은 평면 영역에서 직교하는 직교 다항식의 일부 가족이 있습니다. 그것들은 때때로 야코비 다항식의 관점에서 쓸 수 있습니다. 예를 들어 제르니커 다항식(Zernike polynomials)은 단위 디스크 위에서 직교합니다.

에르미트 다항식(Hermite polynomials)의 서로 다른 차수 사이의 직교성의 이점은 일반화된 주파수 분할 다중화(Generalized frequency division multiplexing, GFDM) 구조에 적용됩니다. 시간-주파수 격자의 각 그리드에는 둘 이상의 기호가 포함될 수 있습니다.^[2]

Properties

실수 직선 위에 비-음의 측정에 의해 정의된 한 변수의 직교 다항식은 다음과 같은 속성을 가집니다:

Relation to moments

직교 다항식 P_n은 다음 모멘트(moments)의 관점에서 표현될 수 있습니다:

m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)

이때:

P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,

여기서 상수 c_n은 (P_n의 정규화에 의존하여) 임의적입니다.

이것은 그람–슈미트 과정을 단항식에 적용하여, 각 다항식이 이전 다항식에 관해 직교하도록 부과하는 것에서 직접 발생합니다. 예를 들어, $P_{0}$ 과의 직교성은 $P_{1}$ 이 다음 형식을 가져야 함을 규정합니다: $P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),$ 이는 이전에 행렬식과 함께 주어진 표현과 일치하는 것으로 볼 수 있습니다.

Recurrence relation

다항식 P_n은 다음 형식의 재귀 관계를 만족시킵니다:

P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)

여기서 A_n은 0이 아닙니다. 그 전환은 역시 참입니다; 파바드의 정리(Favard's theorem)를 참조하십시오.

Christoffel–Darboux formula

Zeros

만약 측정 dα가 구간 [a, b] 위에 지원되면, P_n의 모든 영들은 [a, b] 안에 놓입니다. 게다가, 영들은 다음 인터레이스 속성을 가집니다: 만약 m < n이면, P_m의 임의의 두 개의 영들 사이에 P_n의 영이 있습니다. 영들의 정전기적(Electrostatic) 해석이 주어질 수 있습니다.

Combinatorial interpretation

1980년대부터, X. G. Viennot, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata, 등의 연구와 함께, 조합론적 해석이 모든 고전적 직교 다항식에 대해 찾아집니다.^[3]

Other types of orthogonal polynomials

Multivariate orthogonal polynomials

맥도날드 다항식(Macdonald polynomials)은 아핀 근 시스템의 선택에 따라 여러 변수에서 직교 다항식입니다. 그것들은 잭 다항식(Jack polynomials), 홀-리틀우드 다항식(Hall–Littlewood polynomials), 헤크먼-옵담 다항식(Heckman–Opdam polynomials), 및 코온완더 다항식(Koornwinder polynomials)을 포함하여 특별한 경우로 다변수 직교 다항식의 많은 다른 가족을 포함합니다. 어스키–윌슨 다항식(Askey–Wilson polynomials)은 랭크 1의 특정 비-축소된 근 시스템에 대한 맥도날드 다항식의 특별한 경우입니다.

Multiple orthogonal polynomials

다중 직교 다항식은 측정의 유한 가족에 관해 직교하는 하나의 변수에서 다항식입니다.

Sobolev orthogonal polynomials

이것들은 소볼레프(Sobolev) 안의 곱, 즉 도함수를 갖는 안의 곱에 관한 직교 다항식입니다. 도함수를 포함하는 것은 다항식에 큰 영향을 미치며, 일반적으로 그들은 더 이상 고전적인 직교 다항식의 좋은 특징 중 일부를 공유하지 않습니다.