Partial isometry

함수형 해석(functional analysis)에서, 부분 등거리변환(partial isometry)은 그것이 커널(kernel)의 직교 여(orthogonal complement) 위에 등거리변환(isometry)임을 만족하는 힐베르트 공간 사이의 선형 맵입니다.

커널의 직교 여는 초기 부분공간(initial subspace)이라고 불리고 그것의 치역은 최종 부분공간(final subspace)이라고 불립니다.

부분 등거리변환은 극 분해(polar decomposition)에서 발생합니다.

General

부분 등거리변환의 개념은 다른 동등한 방법으로 정의될 수 있습니다. 만약 U가 Hilbert 공간 H의 닫힌 부분집합 H₁ 위에 정의된 등거리변환 맵이면 H₁의 직교 여 위에 W가 영이라는 조건에 의해 U의 모든 H로의 확장 W를 정의할 수 있습니다. 따라서 부분 등거리변환은 닫힌 부분적으로 정의된 등거리변환적 맵으로 정의되기도 합니다.

부분 등거리변환 (및 투영)은 인볼루션을 갖는 반그룹(semigroup with involution)의 보다 추상적인 설정에서 정의될 수 있습니다; 그 정의는 여기에 있는 것과 일치합니다.

유한-차원 벡터 공간에서, 행렬 $A$ 가 부분 등거리변환인 것과 $A^{*}A$ 가 그것의 지원 위로의 투영인 것은 필요충분 조건입니다. 동등하게, 임의의 유한-차원 부분 등거리변환은 $A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}$ 형식의 행렬로, 즉, 첫 번째 $\operatorname {rank} (A)$ 열이 등거리변환을 형성하고, 반면 모든 다른 열은 동일하게 0인 행렬로 어떤 기저의 선택에서 나타낼 수 있습니다.

유한-차원 부분 등거리변환을 특성화하기 위한 또 다른 일반적인 방법은 부분 등거리변환이 등거리변환의 에르미트 켤레와 일치한다는 것을 관찰하는 것이며, 주어진 $P$ 가 부분 등거리변환인 것과 $P^{*}$ 가 등거리변환인 것은 필요충분 조건임을 의미합니다. 보다 정확하게, $P$ 가 부분 등거리변환이면, $P^{*}$ 는 $P$ 의 치역 지원을 갖는 등거리변환이고, $V$ 가 어떤 등거리변환이면, $V^{*}$ 는 $V$ 의 치역 지원을 갖는 부분 등거리변환입니다.

Operator Algebras

연산자 대수(operator algebras)에 대해, 초기 부분공간과 최종 부분공간을 도입합니다:

{\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}

C*-Algebras

C*-대수(C*-algebras)에 대해, C*-속성으로 인해 동등성의 체인을 가집니다:

(W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}

따라서 위 중 하나에 의해 부분 등거리변환을 정의하고 초기 resp. 최종 투영을 W*W resp. WW*로 선업합니다.

한 쌍의 투영은 동치 관계(equivalence relation)에 의해 분할됩니다:

P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}

그것은 C*-대수에 대해 K-이론(K-theory)과 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)에서 머리-폰 노이만(Murray-von Neumann) 투영의 이론에서 중요한 역할을 합니다.

Special Classes

Projections

임의의 직교 투영은 공통 초기 부분공간과 최종 부분공간을 갖는 것입니다:

P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P

Embeddings

임의의 등거리변환적 삽입은 전체 초기 부분공간을 갖는 것입니다:

J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}

Unitaries

임의의 유니태리 연산자(unitary operator)는 전체 초기 부분공간과 최종 부분공간을 갖는 것입니다:

U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}

(이들 외에도 훨씬 더 부분적인 등거리변환이 있습니다.)

Examples

Nilpotents

이-차원 복소수 힐베르트 공간에서, 다음 행렬은

{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}

다음 초기공간을 갖는 부분 등거리변환입니다:

\{0\}\oplus \mathbb {C}

그리고 다음 최종 부분공간을 가집니다:

\mathbb {C} \oplus \{0\}.

Generic finite-dimensional examples

유한 차원에서 다른 가능한 예제는 다음과 같습니다: $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.$ 이것은 열이 직교정규가 아니기 때문에 분명히 등거리변환이 아닙니다. 어쨌든, 그것의 지원은 $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ 과 $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)$ 의 스팬이고, 이 공간 위에 $A$ 의 연산을 제한하여, 그것은 등거리변환 (및 특히 유니타리)가 됩니다. 유사하게, $A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}$ , 즉, $A^{*}A$ 가 그것의 지원 위로의 투영이라는 것을 확인할 수 있습니다.

부분 등거리변환은 제곱된 행렬에 해당할 필요가 없습니다. 예를 들어, 다음을 생각해 보십시오, $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$ 이 행렬은 $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0,0)$ 과 $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{4}\equiv (0,1,0,1)$ 의 스팬 지원을 가지고, 이 공간 위에 등거리변환 (및 특히, 항등) 역할을 합니다.

이번에 $A$ 가 그 지원 위에 비-자명한 등거리변환처럼 동작하는 또 다른 예제는 다음과 같습니다: $A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$ 그것의 지원 $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})$ 와 그것의 치역 ⁡ $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})$ 사이에서 $A$ 의 등거리변환적 행동을 보여주는 $A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$ 와 $A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}$ 임을 쉽게 확인할 수 있습니다.