Pedal triangle

기하학(geometry)에서, 페달 삼각형(pedal triangle)은 삼각형(triangle)의 변 위로의 한 점(point)을 투영함으로써 얻습니다.

보다 구체적으로, 삼각형 ABC와 꼭짓점 A, B, C 중 하나가 아닌 점 P를 생각해 보십시오. P에서 삼각형의 세 변으로의 수직선을 떨어뜨리십시오 (이것은 생성되어야 할 수 있습니다. 즉, 연장되어야 합니다). 이름표 L, M, N은 P에서 직선과 변 BC, AC, AB와의 교차점입니다. 페달 삼각형은 그런-다음 LMN입니다.

만약 ABC가 둔각 삼각형이 아니면, LMN의 각도는 180°−2A, 180°−2B, 및 180°−2C입니다. ^[1]

선택된 삼각형 ABC에 관한 선택된 점 P의 위치는 몇 가지 특별한 경우를 발생시킵니다:

만약 P = 직교중심이면, LMN = 직교 삼각형입니다.
만약 P = 내중심이면, LMN = 내접촉 삼각형입니다.
만약 P = 둘레중심이면, LMN = 중앙 삼각형입니다.

만약 P가 삼각형의 둘레원(circumcircle) 위에 있으면, LMN은 직선으로 축소됩니다. 이것은 그때에 페달 직선이라고 부르거나, 때때로 로버트 심슨(Robert Simson)의 이름을 따서 심슨 직선(Simson line)이라고 불립니다.

내부 점 P의 페달 삼각형의 꼭짓점은 위 그림에서 보인 것처럼 카르노의 정리(Carnot's theorem)를 만족시키는 그러한 방법에서 원래 삼각형의 변을 나눕니다:^[2]

AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}.

Trilinear coordinates

만약 P가 삼선형 좌표(trilinear coordinates) p : q : r이면, P의 페달 삼각형의 꼭짓점 L, M, N은 다음에 의해 주어집니다:

L = 0 : q + p cos C : r + p cos B
M = p + q cos C : 0 : r + q cos A
N = p + r cos B : q + r cos A : 0

Antipedal triangle

P의 반페달 삼각형(antipedal triangle)의 하나의 꼭짓점 L′ 은 B를 통과하는 BP에 수직이고 C를 통과하는 CP에 수직의 교차하는 점입니다. 그것의 다른 꼭짓점 M ' 및 N '도 유사하게 구성됩니다. 삼선형 좌표(Trilinear coordinates)는 다음에 의해 주어집니다:

L' = − (q + p cos C)(r + p cos B) : (r + p cos B)(p + q cos C) : (q + p cos C)(p + r cos B)
M' = (r + q cos A)(q + p cos C) : − (r + q cos A)(p + q cos C) : (p + q cos C)(q + r cos A)
N' = (q + r cos A)(r + p cos B) : (p + r cos B)(r + q cos A) : − (p + r cos B)(q + r cos A)

예를 들어, 외중심 삼각형(excentral triangle)은 내중심의 반페달 삼각형입니다.

P가 연장된 변 BC, CA, AB 중 어느 곳 위에 있지 않다고 가정하고, P⁻¹가 P의 등각형 켤레(isogonal conjugate)를 나타낸다고 놓습니다. P의 페달 삼각형은 P⁻¹의 반페달 삼각형과 중심-닮음(homothetic)입니다. 중심-닮음 중심 (그것이 하나의 삼각형의 중심인 것과 P가 하나의 삼각형 중심인 것은 필요충분 조건)은 다음에 의해 삼선형 좌표(trilinear coordinates)에서 주어진 점입니다:

ap(p + q cos C)(p + r cos B) : bq(q + r cos A)(q + p cos C) : cr(r + p cos B)(r + q cos A).

P의 페달 삼각형과 P⁻¹의 반페달 삼각형의 넓이의 곱은 삼각형 ABC의 넓이의 제곱과 같습니다.

Pedal circle

페달 원은 페달 삼각형의 둘레원(circumcircle)으로 정의됩니다. 페달 원은 삼각형의 둘레원 위에 놓이는 점에 대해 정의되지 않음을 주목하십시오.

Pedal circle of isogonal conjugates

삼각형의 둘레원 위에 놓이지 않은 임의의 점 $P$ 에 대해, $P$ 와 등각형 켤레 $P^{\star }$ 는 공통 페달 원을 가지고, 그것의 중심은 이들 두 점의 중간점이라고 알려져 있습니다.^[3]

References

^ "Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world". en.wikibooks.org. Retrieved 2020-10-31.
^ Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Challenging problems in geometry. New York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.
^ Honsberger, Ross (1995-01-01). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-951-3.

External links

[1] "Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world". en.wikibooks.org. Retrieved 2020-10-31.

[2] Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Challenging problems in geometry. New York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.

[3] Honsberger, Ross (1995-01-01). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-951-3.

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