Principal branch

수학(mathematics)에서, 주요 가지(principal branch)는 다중-값 함수(multi-valued function)의 하나의 가지(branch) ("조각(slice)")를 선택하는 함수입니다. 가장 자주, 이것은 복소 평면(complex plane) 위에 정의된 함수에 적용됩니다.

Examples

Trigonometric inverses

주요 가지는 다음임을 정의하기 위한 선택과 같은 많은 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions)의 정의에서 사용됩니다:

\arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

또는

\arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]

.

Exponentiation to fractional powers

실수로 제한되는 더 친숙한 주요 가지 함수는 양의 실수에 $1/2$ 의 거듭제곱을 올린 함수입니다.

예를 들어, 관계 $y = x 1/2$ 를 취하십시오, 여기서 $x$ 는 임의의 양의 실수입니다.

이 관계는 $x$ 의 제곱근(square root) (양수 또는 음수 중 하나)과 같은 $y$ 의 임의의 값으로 만족될 수 있습니다. 관례에 따라, √x는 $x$ 의 양의 제곱근을 나타내기 위해 사용됩니다.

이 경우에서, 양의 제곱근 함수는 다중-값 관계 $x 1/2$ 의 주요 가지로 취합니다.

Complex logarithms

주요 가지를 보는 한 가지 방법은 그것이 복소 해석학(complex analysis)에서 정의된 것처럼 지수 함수(exponential function)와 로그(logarithm)를 구체적으로 살펴보는 것입니다.

지수 함수는 여기서 $e z$ 가 다음처럼 정의되는 단일-값입니다:

e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b

여기서 $z=a+ib$ .

어쨌든, 관련된 삼각 함수의 주기적인 본성은 로그가 그렇게 고유하게 결정되지 않는다는 것을 분명히 합니다. 이것을 보는 한 가지 방법은 다음을 보는 것입니다:

\operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

및

\operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k

여기서 $k$ 는 임의의 정수이고 $atan2$ 는 그것들의 주요 값 범위 $(-\pi /2,\;\pi /2]$ 에서 $arctan(b/a)$ -함수의 값을 계속하며, 복소 평면에서 모든 넷의 사분면을 덮는 $arg(z)$ -함수 $(-\pi ,\;\pi ]$ 의 주요 값 범위로 $a>0$ 에 해당합니다.

그러한 기준에 의해 정의된 임의의 숫자 $log z$ 는 $e log z = z$ 라는 속성을 가집니다.

이 방식에서, 로그 함수는 다중-값 함수(multi-valued function)입니다 (종종 복소 해석학의 문맥에서 "다중함수"로 참조됩니다). 가지 자름은, 보통 음의 실수 축을 따라, 허수 부분을 제한할 수 있으므로 그것은 $-π$ 와 $π$ 사이에 놓입니다. 이것들은 선택된 주요 값(principal value)입니다.

이것은 log 함수의 주요 가지입니다. 종종 그것은 대문자, $Log z$ 를 사용하여 정의됩니다.

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Trigonometric inverses

Exponentiation to fractional powers

Complex logarithms

See also

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