Ramp function

Original article: w:Ramp function

Graph of the ramp function

램프 함수(ramp function)는 단항(unary) 실수 함수(real function)이며, 그것의 그래프(graph)는 램프(ramp)와 같은 모양입니다. 그것은 수많은 정의(definitions), 예를 들어, "음의 입력에 대해 0, 비-음의 입력에 대해 입력과 같은 출력"에 의해 표현될 수 있습니다. 용어 "램프"는 스케일링 및 시프팅(scaling and shifting)에 의해 얻어진 다른 함수에 대해 역시 사용될 수 있고, 이 기사에서 그 함수는 (0에서 시작하는, 기울기 1) 단위 램프 함수입니다.

이 함수는 수학과 공학에서 많은 응용(applications)을 가지고, 문맥에 따라, 다양한 이름으로 통합니다.

Definitions

램프 함수 (R(x) : ℝ → ℝ₀⁺)는 여러 방법에서 해석적으로 정의될 수 있습니다. 가능한 정의는 다음입니다:

• 조각별 함수(piecewise function):

  $R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$

• 최대 함수(max function):

  $R(x):=\max(x,0)$

• 독립 변수(independent variable)와 그것의 절댓값(absolute value)의 평균(mean) (단위 그래디언트와 그것의 모듈러스를 갖는 직선):

  $R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

이것은 max(a,b)의 다음 정의를 주목함으로써 유도될 수 있습니다,

$\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$

이것에 대해 a = x 및 b = 0

• 단위 그래디언트를 갖는 직선에 의해 곱해진 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function):

  $R\left(x\right):=xH(x)$

• 헤비사이드 계단 함수와 자체의 합성곱(convolution):

  $R\left(x\right):=H(x)*H(x)$

• 헤비사이드 계단 함수의 적분(integral)

  $R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi$

• 맥컬리 꺾음-괄호(Macaulay brackets):

  $R(x):=\langle x\rangle$

Applications

램프 함수는 디지털 신호 처리(digital signal processing)의 이론에서 처럼 공학에서 수많은 응용을 가집니다.

Payoff and profits from buying a call option.

금융(finance)에서, 콜 옵션(call option)의 수익은 (strike price에 의해 이동된) 램프입니다. 램프를 수평으로 뒤집으면 풋 옵션(put option)이 나오지만, (음수를 취하는) 수직으로 뒤집으면 옵션을 selling 또는 "매도"하는 것에 해당합니다. 금융에서, 그 모양이 아이스 하키 스틱(ice hockey stick)과 비슷하기 때문에 "하키 스틱(hockey stick)"이라고 널리 불립니다.

A mirrored pair of hinge functions with a knot at x=3.1

통계(statistics)에서, 다변수 적응 회귀 스플라인(multivariate adaptive regression splines) (MARS)의 힌지 함수(hinge functions)는 램프이고, 회귀 모델(regression model)을 구축하기 위해 사용됩니다.

기계 학습(machine learning)에서, 그것은 공통적으로 정류된 선형 단위 (ReLUs)에 사용되는 정류기(rectifier)로 알려져 있습니다.

Analytic properties

Non-negativity

정수 도메인(domain)에서, 그 함수는 비-음수이므로, 그것의 절댓값(absolute value)은 그 자체입니다, 즉,

$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geq 0$

및

$\left|R(x)\right|=R(x)$

• 증명: 정의 2의 평균에 의해, 그것은 첫 번째 사분면에서 비-음수이고, 두 번째에서 영입니다; 따라서 모든 곳에서 그것은 비-음수입니다.

Derivative

그것의 도함수는 헤비사이드 함수(Heaviside function)입니다:

$R'(x)=H(x)\quad {\mbox{for }}x\neq 0.$

Second derivative

램프 함수는 다음 미분 방정식을 만족시킵니다:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),$

여기서 δ(x)는 디랙 델타(Dirac delta)입니다. 이것은 R(x)가 두 번째 도함수 연산자에 대해 그린의 함수(Green's function)임을 의미합니다. 따라서, 적분-가능 두 번째 도함수, f″(x)를 갖는 임의의 함수, f(x)는 다음 방정식을 만족시킬 것입니다:

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\,ds\quad {\mbox{for }}a<x<b.$

Fourier transform

${\mathcal {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$

여기서 δ(x)는 디랙 델타(Dirac delta)입니다 (이 공식에서, 그것의 도함수(derivative)가 나타납니다).

Laplace transform

R(x)의 한-쪽 라플라스 변환(Laplace transform)은 다음처럼 주어집니다,

${\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$

Algebraic properties

Iteration invariance

램프 맵핑의 모든 각 반복된 함수(iterated function)는 다음처럼, 그 자체입니다:

$R{\big (}R(x){\big )}=R(x).$

• 증명:

$R{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x).$

이것은 비-음의 속성(non-negative property)을 적용합니다.

See also

• Activation function
• Rectifier (neural networks)
• Tobit model