This article is about a method in calculus. For other uses, see
Reciprocal .
미적분학(calculus) 에서, 역수 규칙 (reciprocal rule )은 f 의 도함수의 관점에서 함수 f 의 역수(reciproca) 의 도함수를 제공합니다. 역수 규칙은 만약 그것이 양의 지수에 대해 이미 확립되어 있으면, 거듭제곱 규칙(power rule) 이 음의 지수에 대해 유지된다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다. 역시, 우리는 역수 규칙과 곱 규칙(product rule) 으로부터 몫 규칙(quotient rule) 을 쉽게 추론할 수 있습니다.
역수 규칙은 만약 f 가 점 x 에서 미분-가능(differentiable) 이고 f (x ) ≠ 0이면 g(x ) = 1/f (x )가 역시 x 에서 미분이고 다음과 같음을 말합니다:
g
′
(
x
)
=
d
d
x
(
1
f
(
x
)
)
=
−
f
′
(
x
)
f
(
x
)
2
.
{\displaystyle g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.}
Proof 이 증명은
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
연속(continuous) 이라는 정리에 의존합니다.
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
x
{\displaystyle x}
g
{\displaystyle g}
g
′
(
x
)
=
d
d
x
(
1
f
(
x
)
)
=
lim
h
→
0
(
1
f
(
x
+
h
)
−
1
f
(
x
)
h
)
=
lim
h
→
0
(
f
(
x
)
−
f
(
x
+
h
)
h
⋅
f
(
x
)
f
(
x
+
h
)
)
=
lim
h
→
0
(
−
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
⋅
1
f
(
x
)
f
(
x
+
h
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x)-f(x+h)}{h\cdot f(x)f(x+h)}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot {\frac {1}{f(x)f(x+h)}}\right).\end{aligned}}}
이 곱의 극한은 존재하고 그것의 인수의 존재하는 극한의 곱과 같습니다:
(
lim
h
→
0
−
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
)
⋅
(
lim
h
→
0
1
f
(
x
)
⋅
f
(
x
+
h
)
)
.
{\displaystyle \left(\lim _{h\to 0}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}}\right).}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
−
f
′
(
x
)
{\displaystyle -f'(x)}
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
1
/
f
(
x
)
2
{\displaystyle 1/f(x)^{2}}
g
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
⋅
1
f
(
x
)
2
=
−
f
′
(
x
)
f
(
x
)
2
.
{\displaystyle g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.}
A weak reciprocal rule that follows algebraically from the product rule 다음이기 때문에
f
(
x
)
⋅
1
f
(
x
)
=
1
,
{\displaystyle f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}}=1,}
곱 규칙의 응용은 다음이라고 말할 수 있습니다:
f
′
(
x
)
(
1
f
)
(
x
)
+
f
(
x
)
(
1
f
)
′
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle f'(x)\left({\frac {1}{f}}\right)(x)+f(x)\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)=0,}
그리고 이것은 다음알 말하기 위해 대수적으로 다시-정렬될 수 있습니다:
(
1
f
)
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
f
(
x
)
2
.
{\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}}.}
어쨌든, 이것은 1/f 이 x 에서 미분-가능임을 입증하는 것에 실패합니다; 그것은 오직 x 에서 1/f 의 미분가능성이 이미 확립되었을 때 유효합니다. 그런 식으로, 위에서 입증된 역수 규칙보다 더 약한 결과입니다. 어쨌든, 미분-가능이 아니고 도함수가 극한에 의해 정의되지 않는 것이 아무것도 없는 미분 대수(differential algebra) 의 맥락에서, 이 방법에서 역수 규칙과 보다 일반적인 몫 규칙이 확립될 수 있다는 것입니다.
Application to generalization of the power rule 종종 거듭제곱 규칙은,
d
d
x
(
x
n
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}}
n 이 비-음의 정수일 때 유효하다는 방법에 의해 입증됩니다. 이것은
n
=
−
m
{\displaystyle n=-m}
n 으로 확장될 수 있으며, 여기서 m 은 양의 정수입니다.
d
d
x
x
n
=
d
d
x
(
1
x
m
)
=
−
d
d
x
x
m
(
x
m
)
2
,
by the reciprocal rule
=
−
m
x
m
−
1
x
2
m
,
by the power rule applied to the positive integer
m
,
=
−
m
x
−
m
−
1
=
n
x
n
−
1
,
by substituting back
n
=
−
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\frac {{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{\text{ by the reciprocal rule}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}},{\text{ by the power rule applied to the positive integer }}m,\\&=-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{\text{ by substituting back }}n=-m.\end{aligned}}}
Application to a proof of the quotient rule 역수 규칙은 몫 규칙의 특별한 경우이며, 이것은 만약 f 와 g 가 x 에서 미분-가능이고 g (x ) ≠ 0이면 다음임을 말합니다:
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
f
′
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
[
g
(
x
)
]
2
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}
몫 규칙은 다음을 쓰고,
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}
그런-다음 몫 규칙을 적용하고, 그런-다음 두 번째 인수에 역수 규칙을 적용함으로써 입증될 수 있습니다:
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
d
d
x
[
f
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
]
=
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
d
d
x
[
1
g
(
x
)
]
=
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
]
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
[
g
(
x
)
]
2
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
[
g
(
x
)
]
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}
Application to differentiation of trigonometric functions 역수 규칙을 사용함으로써 우리는 시컨트와 코시컨트 함수의 도함수를 구할 수 있습니다.
시컨트 함수에 대해:
d
d
x
sec
x
=
d
d
x
(
1
cos
x
)
=
−
d
d
x
cos
x
cos
2
x
=
sin
x
cos
2
x
=
1
cos
x
⋅
sin
x
cos
x
=
sec
x
tan
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}}
코시컨트는 비슷하게 취급됩니다:
d
d
x
csc
x
=
d
d
x
(
1
sin
x
)
=
−
d
d
x
sin
x
sin
2
x
=
−
cos
x
sin
2
x
=
−
1
sin
x
⋅
cos
x
sin
x
=
−
csc
x
cot
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}}
See also
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8796d779957e4cbcd36d6db3cbabb756de532d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beed5ab1507340a9c2a4b3be1568d392d5602b3f)
