Rectangular function

Original article: w:Rectangular function

For the periodic version, see Rectangular wave.

"Box function" redirects here. For the Conway box function, see Minkowski's question-mark function § Conway box function.

Rectangular function

직사각형 함수(rectangular function, 역시 rectangle function, rect function, Pi function, gate function, unit pulse, 또는 normalized boxcar function로 알려짐)는 다음과 같이 정의됩니다:

$\operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{array}}\right.$

그 함수의 대안적인 정의는 $\operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)$를 0, 1, 또는 비-정의로 정의합니다.

Relation to the boxcar function

직사각형 함수는 보다 일반적인 상자-차 함수(boxcar function)의 특수한 경우입니다:

$\operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=u(t-(X-Y/2))-u(t-(X+Y/2))=u(t-X+Y/2)-u(t-X-Y/2)$

여기서 $u$는 헤비사이드(Heaviside function)입니다; 그 함수는 $X$에 중심이 놓이고 지속시간 $Y$, $X-Y/2$에서 $X+Y/2$까지를 가집니다.

Fourier transform of the rectangular function

직사각형 함수의 유니태리 푸리에 변환(unitary Fourier transforms)은 보통 주파수 f를 사용하여 다음입니다

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} {(\pi f)},\,$

그리고 각 주파수 ω를 사용하여 다음입니다:

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {sinc} \left(\omega /2\right),\,$

Plot of sinc(x) function with its frequency spectral components.

여기서 $\mathrm {sinc}$는 싱크 함수의 비-정규화된 형식입니다.

펄스 함수의 정의가 시간-도메인 경험에서의 동작에 의해 오직 동기가 부여되는 한, 진동 해석 (즉, 푸리에 변환 함수)이 직관적이거나, 사람에 의해 직접 이해되어야 한다고 믿을 이유가 없음을 주목하십시오. 어쨌든, 이론적 결과의 일부 측면은 직관적으로 이해될 수 있는데, 왜냐하면 시간 도메인에서 유한성은 무한 주파수 응답에 해당하기 때문입니다. (반대로, 유한 푸리에 변환은 무한 시간 도메인 응답에 해당할 것입니다.)

Relation to the triangular function

우리는 삼각형 함수(triangular function)를 직사각형 함수의 합성곱(convolution)으로 정의할 수 있습니다:

$\mathrm {tri} =\mathrm {rect} *\mathrm {rect} .\,$

Use in probability

Main article: Uniform distribution (continuous)

직사각형 함수를 확률 밀도 함수(probability density function)로 보면, 그것은 $a=-1/2,b=1/2$를 갖는 연속 균등 분포(continuous uniform distribution)의 특별한 경우입니다. 특성 함수(characteristic function)는 다음입니다:

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},$

그리고 그것의 모멘트-생성 함수(moment-generating function)는 다음입니다:

$M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},$

여기서 $\sinh(t)$는 쌍곡형 사인(hyperbolic sine) 함수입니다.

Rational approximation

펄스 함수는 유리 함수(rational function)의 극한으로 역시 표현될 수 있습니다:

$\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}$

Demonstration of validity

첫 번째, 우리는 $|t|<{\frac {1}{2}}$ 곳의 경우를 고려합니다. 항 $(2t)^{2n}$은 항상 정수 $n$에 대해 양수임을 주의하십시오. 어쨌든, $2t<1$이고 따라서 $(2t)^{2n}$는 큰 $n$에 대해 영으로 접근합니다.

그것은 다음임을 따릅니다:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}$

두 번째, 우리는 $|t|>{\frac {1}{2}}$ 곳의 경우를 고려합니다. 항 $(2t)^{2n}$은 항상 정수 $n$에 대해 양수임을 주의하십시오. 어쨌든, $2t>1$이고 따라서 $(2t)^{2n}$는 큰 $n$에 대해 매우 크게 성장합니다.

그것은 다음임을 따릅니다:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}$

세 번째, 우리는 $|t|={\frac {1}{2}}$ 곳의 경우를 고려합니다. 우리는 방정식에서 단순히 대입할 수 있습니다:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$

우리는 그것이 펄스 함수의 정의를 만족시킨다는 것을 압니다.

$\therefore \mathrm {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}$

See also

• Fourier transform
• Square wave
• Step function
• Top-hat filter