Falling and rising factorials

수학(mathematics)에서, 떨어지는 팩토리얼(falling factorial, 때때로 내려가는 팩토리얼(descending factorial),^[1] 떨어지는 순차 곱(falling sequential product), 또는 아래쪽 팩토리얼(lower factorial)이라고 불림)은 다음 다항식으로 정의됩니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} (x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ factors}} \\ &= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \,. \end{align}}

올라가는 팩토리얼(rising factorial, 포흐하머 함수(Pochhammer function), 포흐하머 다항식(Pochhammer polynomial), 상승하는 팩토리얼(ascending factorial),^[1] 올라가는 순차 곱(rising sequential product), 또는 위쪽 팩토리얼(upper factorial)이라고 불림)은 다음으로 정의됩니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} x^{(n)} = x^\overline{n} &= \overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}^{n\text{ factors}} \\ &= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) \,. \end{align}}

각각의 값은 $n = 0$ 일 때 1 (빈 곱)로 취합니다. 이들 기호는 집합적으로 팩토리얼 거듭제곱(factorial powers)이라고 불립니다.^[2]

포흐하머 기호는, 레오 아우구스트 포흐하머(Leo August Pochhammer)에 의해 도입되었으며, 표기법 $(x) n$ 이며, 여기서 $n$ 은 비-음의 정수입니다. 그것은 다른 기사와 저자가 다른 규칙을 사용하여 올라가는 또는 떨어지는 인수를 나타낼 수 있습니다. 포흐하머 자신은 실제로 $(x) n$ 을 또 다른 의미, 즉 이항 계수(binomial coefficient) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \tbinom xn} 를 나타내기 위해 사용했습니다.^[3]

이 기사에서 기호 $(x) n$ 는 떨어지는 팩토리얼을 나타내기 위해 사용되고, 기호 $x (n)$ 는 올라가는 팩토리얼을 나타냅니다. 비록 커누스(Knuth)의 밑줄 표기법과 윗줄 표기법 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^\underline{n}} 과 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^\overline{n}} 이 점점 인기를 얻고 있지만,^[2]^[4] 이들 관례는 조합론(combinatorics)에 사용됩니다.^[5] 특수 함수 (특히 초기하 함수)의 이론과 표준 참조 연구 Abramowitz and Stegun에서, 포흐하머 기호 $(x) n$ 은 올라가는 팩토리얼을 나타내기 위해 사용됩니다.^[6]^[7]

$x$ 가 양의 정수일 때, $(x) n$ 은 $x$ -원소 집합에서 $n$ -순열( $n$ -permutations, 구별되는 원소의 수열)의 숫자, 또는 동등하게 크기 $n$ 의 집합에서 크기 $x$ 의 집합으로의 단사(injective) 함수의 숫자를 제공합니다; 반면에 $(x) n$ 은 $k$ -원소 집합을 $x$ 순서화된 수열 (빈 것도 가능)로 분할(partitions)의 숫자, 또는 $x$ 깃대의 행에 $k$ 구별되는 깃발을 배열하는 방법의 숫자를 제공합니다.

Examples and combinatorial interpretation

처음 몇 가지 올라가는 팩토리얼은 다음과 같습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{array}{rll} x^{(0)}& &=1 \\ x^{(1)}& &=x \\ x^{(2)}&=x(x+1)&=x^2+x \\ x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^3+3x^2+2x \\ x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^4+6x^3+11x^2+6x \end{array}}

처음 몇 가지 떨어지는 팩토리얼은 다음과 같습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{array}{rll} (x)_0& &=1 \\ (x)_1& &=x \\ (x)_2&=x(x-1)&=x^2-x \\ (x)_3&=x(x-1)(x-2)&=x^3-3x^2+2x \\ (x)_4&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^4-6x^3+11x^2-6x \end{array}}

전개에서 나타나는 계수는 첫 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling numbers of the first kind)입니다.

변수 $x$ 가 양의 정수일 때, 숫자 $(x) n$ 은 $x$ -집합에서 $n$ -순열의 숫자( $n$ -permutations from an $x$ -set), 즉 크기 $x$ 의 모음에서 빼낸 구별되는 원소로 구성된 길이 $n$ 의 순서화된 목록을 선택하는 방법의 숫자와 같습니다. 예를 들어, $(8) 3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$ 은 8-명 경주에서 가능한 다양한 시상대—금, 은, 동메달 할당—의 숫자입니다. 역시, $(x) n$ 은 " $x$ 개의 깃대에 $n$ 개의 깃발을 배열하는 방법의 숫자"이며,^[8] 여기서 모든 깃발이 사용되어야 하고 각 깃대는 많아야 하나의 깃발을 가질 수 있습니다. 이 맥락에서, $x P n$ , $x P n$ , 또는 $P (x, n)$ 과 같은 다른 표기법도 때때로 사용됩니다.

Properties

올라가는 팩토리얼과 떨어지는 팩토리얼은 단순히 서로 관련되어 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{array}{rll} m^{(n)} &= {(m+n-1)}_{n} &= (-1)^n (-m)_n \\ {(m)}_n &= {(m-n+1)}^{(n)} &= (-1)^n (-m)^{(n)} \end{array}}

올라가는 팩토리얼과 떨어지는 팩토리얼은 보통의 팩토리얼(factorial)과 직접적으로 관련되어 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} n! &= 1^{(n)} = (n)_n \\[6pt] (m)_n &= \frac{m!}{(m-n)!} \\[6pt] m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!} \end{align}}

올라가는 팩토리얼과 떨어지는 팩토리얼은 이항 계수(binomial coefficient)를 표현하기 위해 사용될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n} \\[6pt] \frac{(x)_n}{n!} &= \binom{x}{n} \end{align}}

따라서 이항 계수에 대한 많은 항등식은 떨어지는 팩토리얼과 올라가는 팩토리얼로 이어집니다.

올라가는 팩토리얼과 떨어지는 팩토리얼은 임의의 단위(unital) 링(ring)에서 잘 정의되고, 따라서 $x$ 는 예를 들어 음의 정수를 포함하는 복소수(complex number), 또는 복소 계수를 갖는 다항식(polynomial), 또는 임의의 복소-값 함수(complex-valued function)로 취할 수 있습니다.

올라가는 팩토리얼은 $x$ 와 $x + n$ 이 음의 정수가 아닌 실수라는 조건으로 하여 감마 함수(gamma function)를 사용하여 $n$ 의 실수(real) 값으로 확장될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\,,}

그리고 떨어지는 팩토리얼도 마찬가지입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\,.}

떨어지는 팩토리얼은 단순 거듭제곱 함수의 다중 미분(differentiation)에서 나타납니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\,x^a = (a)_n x^{a-n} \,.}

올라가는 팩토리얼은 역시 초기하 함수(hypergeometric function)의 정의로의 적분입니다: 초기하 함수는 c ≠ 0, −1, −2,...를 조건으로 하여 다음 거듭제곱 급수(power series)에 의해 $| z | < 1$ 에 대해 정의됩니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}} \frac{z^n}{n!} }

어쨌든, 초기하 함수 문헌에서는 전형적으로 올라가는 팩토리얼에 대해 표기법 $(a) n$ 을 사용함을 주목하십시오.

Relation to umbral calculus

떨어지는 팩토리얼은 순방향 차이 연산자(difference operator) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \Delta f(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x{+}1)-f(x)} 를 사용하여 다항식(polynomials)을 나타내는 공식에서 발생하고, 형식적으로 테일러의 정리(Taylor's theorem)와 유사합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\,\Delta^n\!f(0)\,}{n!}\,(x)_n.}

이 공식과 많은 다른 곳에서, 유한 차이(finite differences)의 미적분에서 떨어지는 팩토리얼 $(x) n$ 은 미분 미적분에서 $x n$ 의 역할을 합니다. 예를 들어 $Δ (x) n = n (x) n -1$ 와 $d / dx x n = nx n -1$ 의 유사성에 주목하십시오.

같은 결과는 올라가는 팩토리얼과 역방향 차이 연산자에 대해서도 유지됩니다.

이러한 유형의 유추의 연구는 움브랄 미적분(umbral calculus)으로 알려져 있습니다. 떨어지는 팩토리얼과 올라가는 팩토리얼 함수를 포함하여 그러한 관계를 덮는 일반적인 이론은 이항 유형의 다항식 수열(polynomial sequences of binomial type)과 셰퍼 수열(Sheffer sequences)의 이론에 의해 제공됩니다. 올라가는 팩토리얼과 떨어지는 팩토리얼은 다음 관계에 의해 표시되는 것처럼 이항 유형의 셰퍼 수열입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} (a + b)^{(n)} &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)^{(n-j)}(b)^{(j)} \\[6pt] (a + b)_n &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)_{n-j}(b)_{j} \end{align}}

여기서 계수는 이항 정리(Binomial theorem)의 계수와 같습니다.

유사하게, 포흐하머 다항식의 생성하는 함수는 그때에 움브랄 지수에 해당합니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (x)_n \frac{t^n}{n!} = \left(1+t\right)^x \,, }

왜냐하면

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \operatorname \Delta_x \left( 1 + t \right)^x = t \, \left( 1 + t \right)^x \,.}

Connection coefficients and identities

떨어지는 팩토리얼과 올라가는 팩토리얼은 라 숫자(Lah numbers)를 통해 서로 관련됩니다:^[9]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} (x)_n & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} x^{(k)} \\ & = (-1)^n (-x)^{(n)} = (x-n+1)^{(n)} \\ [6pt] x^{(n)} & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (n-1)_{n-k} (x)_k \\ & = (-1)^n (-x)_n = (x+n-1)_n \,. \end{align} }

다음 공식은 중괄호 ${n k}$ 로 표기되는 두 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling number of the second kind)를 사용하여 합을 통해 변수 $x$ 의 적분 거듭제곱과 관련됩니다:^[9]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} x^n & = \sum_{k=0}^{n} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (x)_{k} \\ & = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{(k)} \,. \end{align} }

떨어지는 팩토리얼은 다항식 링(polynomial ring)의 기저이기 때문에, 우리는 그것들 둘의 곱을 떨어지는 팩토리얼의 선형 조합(linear combination)으로 표현할 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \binom{n}{k} k! \cdot (x)_{m+n-k} \,.}

계수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \tbinom{m}{k} \tbinom{n}{k} k! } 는 연결 계수(connection coefficients)라고 불리고, 크기 $m$ 의 집합과 크기 $n$ 의 집합에서 각각 $k$ 개의 원소를 식별 (또는 "함께 접착")하는 방법의 숫자로 조합론적 해석을 가집니다.

역시 다음에 의해 주어진 두 올라가는 팩토리얼의 비율에 대해 연결 공식이 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{x^{(n)}}{x^{(i)}} = (x+i)^{(n-i)} \,,\quad \text{for }n \geq i \,.}

추가적으로, 우리는 다음 항등식을 통해 일반화된 지수 법칙과 음의 올라가는 거듭제곱과 떨어지는 거듭제곱을 확장할 수 있습니다:^[10]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} (x)_{m+n} & = (x)_m (x-m)_n = (x)_n (x-n)_m \\[6pt] x^{(m+n)} & = x^{(m)} (x+m)^{(n)} = x^{(n)} (x+n)^{(m)} \\[6pt] x^{(-n)} & = \frac{\Gamma(x-n)}{\Gamma(x)} = \frac{(x-n-1)!}{(x-1)!} = \frac{1}{(x-n)^{(n)}} = \frac{1}{(x-1)_n} = \frac{1}{(x-1)(x-2) \cdots (x-n)} = \frac{1}{n! \binom{x-1}{n}} = (-n)! \binom{x-n-1}{-n} \\[6pt] (x)_{-n} & = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x+n-1)} = \frac{x!}{(x+n)!} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{(x+1)^{(n)}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)} = \frac{1}{(-n)! \binom{x+n}{-n}} = (-n)! \binom{x}{-n} \,. \end{align} }

마지막으로, 떨어지는 팩토리얼과 올라가는 팩토리얼에 대해 중복 공식(duplication formulas)과 곱셈 공식(multiplication formulas)은 다음 관계를 제공합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_{k+mn} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x-k-j}{m}\right)_{n}\,,& \text{for } m &\in \mathbb{N} \\[6pt] x^{(k+mn)} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+k+j}{m}\right)^{(n)},& \text{for } m &\in \mathbb{N} \\[6pt] (ax+b)^{(n)} &= x^n \prod_{j=0}^{n-1} \left(a+\frac{b+j}{x}\right)\,,& \text{for } x &\in \mathbb{Z}^+ \\[6pt] (2x)^{(2n)} &= 2^{2n} x^{(n)} \left(x+\frac{1}{2}\right)^{(n)} \,. \end{align}}

Alternative notations

올라가는 팩토리얼에 대해 다음 대안적인 표기법

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m\ge0 \,,}

그리고 떨어지는 팩토리얼에 대해 다음 대안적인 표기법은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m \ge 0 \,;}

각각 A. Capelli (1893)와 L. Toscano (1939)로 거슬러 올라갑니다.^[2] Graham, Knuth, 및 Patashnik은 이들 표현을 각각 " $x$ 에서 $m$ 올라가는" 및 " $x$ 에서 $m$ 떨어지는"으로 발음할 것을 제안합니다.^[11]

떨어지는 팩토리얼에 대해 다른 표기법은 $P (x, n)$ , $x P n$ , $P x, n$ , 또는 $x P n$ 을 포함합니다. (순열(permutation)과 조합(combination)을 참조하십시오.)

올라가는 팩토리얼 $x (n)$ 에 대한 대안적인 표기법은 덜 공통적인 $(x) + n$ 입니다. $(x) + n$ 이 올라가는 팩토리얼을 나타내기 위해 사용될 때, 표기법 $(x) - n$ 이 혼동을 피하기 위해 전형적으로 보통의 떨어지는 팩토리얼에 대해 사용됩니다.^[3]

Generalizations

포흐하머 기호는 다변수 해석학(analysis)에 사용되는 일반화된 포흐하머 기호(generalized Pochhammer symbol)라고 불리는 일반화된 버전을 가집니다. $q$ -아날로그( $q$ -analogue), $q$ -포흐하머 기호( $q$ -Pochhammer symbol)도 있습니다.

함수가 정수의 내려가는 산술 수열에서 평가되고 그 값이 곱해지는 떨어지는 팩토리얼의 일반화는 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \bigl[f(x)\bigr]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f\bigl(x-(k-1)h\bigr),}

여기서 $- h$ 는 감소이고 $k$ 는 인수의 개수입니다. 올라가는 팩토리얼의 대응하는 일반화는 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \bigl[f(x)\bigr]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f\bigl(x+(k-1)h\bigr).}

이 표기법은 각각 $[x] k /1$ 및 $[x] k /-1$ 인 올라가는 팩토리얼과 떨어지는 팩토리얼을 통합합니다.

임의의 고정된 산술 함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f: \mathbb{N} \rarr \mathbb{C}} 와 기호적 매개변수 $x$ , $t$ 에 대해, 다음 형식의 관련된 일반화된 팩토리얼 곱은

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (x)_{n,f,t} := \prod_{k=0}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)}

$(x) n, f, t$ 의 전개에서 다음과 같은 $x$ 의 거듭제곱의 계수와 그런-다음 그 다음 대응하는 삼각 재귀 관계에 의해 정의된 첫 번째 종류의 일반화된 스털링의 숫자의 클래스의 관점에서 연구될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = \left[x^{k-1}\right] (x)_{n,f,t} \\ & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. \end{align} }

이들 계수는 $f$ -조화 숫자와 관련된 재귀 관계와 함수 방정식뿐만 아니라 첫 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling numbers of the first kind)에 대한 것과 유사한 여러 속성을 만족시킵니다:^[12]

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} \frac{ t^k }{ f(k)^r }\,.}

대칭 일반화는 다음으로 정의될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^\underline\overline{m} \equiv \frac{x^\overline{m} x^\underline{m}}{x} = x^{\overline{m} + \underline{m} - 1}}

References

^ ^a ^b Steffensen, J. F. (17 March 2006), Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
^ ^a ^b ^c Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. 1 (3rd ed.). p. 50.
^ ^a ^b Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, S2CID 119584305. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
^ Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
^ Olver, Peter J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364.
^ Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. p. 256.
^ A useful list of formulas for manipulating the rising factorial in this last notation is given in Slater, Lucy J. (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. Appendix I. MR 0201688.
^ Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1. Ch. 2.
^ ^a ^b "Introduction to the factorials and binomials". Wolfram Functions Site.
^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. p. 52. ISBN 0-201-14236-8.
^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 47, 48. ISBN 0-201-14236-8.
^ Schmidt, Maxie D. (29 March 2017). "Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding f-factorial functions and the f-harmonic numbers". arXiv:1611.04708v2 [math.CO].

External links

[Steffensen-1] Steffensen, J. F. (17 March 2006), Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)

[The_Art_of_Computer_Programming-2] Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. 1 (3rd ed.). p. 50.

[Knuth-3] Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, S2CID 119584305. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

[4] Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.

[5] Olver, Peter J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364.

[6] Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. p. 256.

[7] A useful list of formulas for manipulating the rising factorial in this last notation is given in Slater, Lucy J. (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. Appendix I. MR 0201688.

[Feller-8] Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1. Ch. 2.

[Wolfram_functions-9] "Introduction to the factorials and binomials". Wolfram Functions Site.

[10] Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. p. 52. ISBN 0-201-14236-8.

[11] Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 47, 48. ISBN 0-201-14236-8.

[12] Schmidt, Maxie D. (29 March 2017). "Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding f-factorial functions and the f-harmonic numbers". arXiv:1611.04708v2 [math.CO].

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