Si(x) (blue) and Ci(x) (green) plotted on the same plot.
수학에서, 삼각 적분(trigonometric integrals)은 삼각 함수를 포함하는 적분(integral)의 가족(family)입니다.
Sine integral
Plot of Si(x) for 0 ≤ x ≤ 8 π.
다른 사인(sine) 적분 정의가 있습니다:
![{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6b5375e31dd7d28217d7f9b386b6df14b05b5e)
![{\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a1fbe987b8c5174c74f624199a8268063e97ed)
피적분 sin x/ x 은 싱크 함수(sinc function)이고, 역시 0번째 구형 베젤 함수(spherical Bessel function)임에 주목하십시오. sinc는 짝수(even) 전체 함수(entire function) (전체 복소 평면에 걸쳐 정칙(holomorphic))이므로, Si는 전체, 홀수, 및 그것의 정의에서 적분은 끝점을 연결하는 임의의 경로(any path)를 따라 취할 수 있습니다.
정의에 의해, Si(x)는 그의 값이 x = 0에서 영인 sin x/ x 의 역도함수(antiderivative)이고, si(x)는 그의 값이 x = ∞에서 영인 역도함수입니다. 그들의 차이는 디리클레 적분(Dirichlet integral)에 의해 주어집니다:
또는 ![{\displaystyle \quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de60af3090cfcfab05bf25ed983b8151bf18768e)
신호 처리(signal processing)에서, 사인 적분의 진동은 싱크 필터(sinc filter)를 사용할 때 오버슈트(overshoot) 및 링잉 아티팩트(ringing artifacts)를 초래하고, 만약 잘린 싱크 필터를 저역-통과 필터(low-pass filter)로 사용하면 주파수 도메인(frequency domain) 울림이 발생합니다.
깁스 현상(Gibbs phenomenon)과 관련이 있습니다: 만약 사인 적분이 헤비사이드 계단 함수(heaviside step function)와 함께 싱크 함수의 합성곱(convolution)으로 여겨지면, 이것은 깁스 현상의 원인인 푸리에 급수(Fourier series)를 자르는 것에 해당합니다.
Cosine integral
Plot of Ci(x) for 0 < x ≤ 8π .
다른 코사인(cosine) 적분 정의는 다음입니다:
![{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d68544a5fa301da9b857820bae857d299a9743)
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624ee420495e138b8cf8b895cc86b97ca6080390)
여기서 γ ≈ 0.57721566 ...는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다. 일부 교과서는 Ci 대신에 ci를 사용합니다.
Ci(x)는 cos x/ x의 역도함수입니다 (이것은
로 사라집니다). 두 정의는 다음에 의해 관련됩니다:
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b2be07b1cf6b6db84afc84e92c548bc2713cda)
Cin는 짝수(even), 전체 함수(entire function)입니다. 해당 이유에 대해, 일부 교과서는 Cin를 주요 함수로 취급하고, Cin의 관점에서 Ci를 유도합니다.
Hyperbolic sine integral
쌍곡 사인(hyperbolic sine) 적분은 다음으로 정의됩니다:
![{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd2508911780ea8d9f156380c659911ef83101d)
그것은 보통의 사인 적분을 다음에 의해 관련시킵니다:
![{\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849541cdb90ece68d41e8ec44eb45f9bd3695e3b)
Hyperbolic cosine integral
쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 적분은 다음입니다:
![{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbdc7608379a87e4a4ffd2b97d688fba04ee03c)
여기서
는 (오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다.
그것은 다음 급수 전개를 가집니다:
![{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e60fe880b0c785d09f509ace2be027be114245d)
Auxiliary functions
삼각 적분은 소위 "보조 함수(auxiliary functions)"의 관점에서 이해될 수 있습니다:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\mathrm {d} t&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t&=&\quad \operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\qquad {\text{ and }}\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\mathrm {d} t&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba629ad1268d23aebd6a03f14f6720e91fc3183)
이들 함수를 사용하여, 삼각 적분은 다음으로 다시-표현될 수 있습니다:
(참조. 아므라모이츠(Abramowitz) & 스테근(Stegun), p. 232)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009162e022700ffa561af6b2a885548610bb1dd1)
Nielsen's spiral
Nielsen's spiral.
si , ci의 매개변수 플롯에 의해 형성된 나선(spiral)은 닐슨의 나선으로 알려져 있습니다.
![{\displaystyle x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48130ac3c12868461adb97c68af25ba8194cbd4e)
![{\displaystyle y(t)=a\times \operatorname {si} (t)}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6805183a020049292c93004e7d74983df5c97f6e)
나선은 프레넬 적분(Fresnel integral) 및 오일러 나선(Euler spiral)과 밀접하게 관련됩니다. 닐슨의 나선은 비전 처리, 도로와 트랙 건설 및 다른 분야에 응용을 가집니다.[citation needed]
Expansion
다양한 전개가 삼각 적분의 평가에 대해 사용될 수 있으며, 인수의 치역에 의존합니다.
Asymptotic series (for large argument)
![{\displaystyle \operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b91f628ff2b3b4732e7a1475e294d88f7cf870)
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955ac7573d06cb93df046d914e170320ae1af458)
이들 급수는, 비록 평가에 대해 사용될 수 있고 ℜ(x) ≫ 1에서 훨씬 정확히 평가될지라도, 점근적(asymptotic)이고 발산입니다.
Convergent series
![{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e4b5d4a1b319a389f6fd87148e6337074c9d19)
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef87258d8358cc1c91576326903cce6890062212)
이들 급수는 임의의 복소수에서 수렴이며, 비록 |x| ≫ 1일지라도, 그 급수는 처음에는 느리게 수렴할 것이며, 높은 정밀도에 대해 많은 항을 요구합니다.
Derivation of Series Expansion
(매클로린 급수 전개)
Relation with the exponential integral of imaginary argument
다음 함수는
![{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1fcafe2f71bbb4cf140e33c4bb6ddb7e04f4c3)
지수 적분(exponential integral)이라고 불립니다. 그것은 Si 및 Ci와 밀접하게 관련됩니다:
![{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b4ee5e0d44d4eddc6cdd35c35eda6516601b7a)
각각의 관련된 함수는 인수의 음의 값을 잘라내는 것을 제외하고 해석적이므로, 관계의 유효성의 영역은 확장되어야 합니다 (이 범위를 벗어나면, π의 정수 인수인 추가적인 항이 표현에 나타납니다).
일반화된 적분-지수 함수의 허수 인수의 경우는 다음입니다:
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3174767cd9015e21ab9d9faca34c6fd728f24793)
이것은 다음의 실수 부분입니다:
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,\operatorname {d} x=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bff2bc6f449566a4eb28319cd8943b848ed8dda)
비슷하게
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,\operatorname {d} x=1+ia\left[-{\frac {\;\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb531475b072416d7add59348d55361c50ba523c)
Efficient evaluation
수렴 테일러 급수의 파데 근사(Padé approximant)는 작은 인수에 대해 함수를 평가하는 효율적인 방법을 제공합니다. 다음 공식은, 로우 등. (2015)에 의해 제공되었으며,[1] 0 ≤ x ≤ 4에 대해 10−16보다 더 좋게 정확합니다:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1741f9262475979f690a684d4d8cd8e9838cf3a2)
그 적분은 보조 함수
와
을 통해 간접적으로 평가될 수 있으며, 이것은 다음에 의해 정의됩니다:
|
|
|
or equivalently
|
|
|
|
에 대해, 아래에 주어진 파데 유리 함수(Padé rational functions)는 10−16보다 작은 오차를 갖는
와
를 근사화합니다:[1]
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33abe2c341d5f54768000a14bc67380d3bae6075)
See also
References
Further reading
- Mathar, R.J. (2009). "Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(iπx)·x1/x between 1 and ∞". Appendix B. arXiv:0912.3844 [math.CA].
- Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). "Section 6.8.2 – Cosine and Sine Integrals". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
- Sloughter, Dan. "Sine Integral Taylor series proof" (PDF). Difference Equations to Differential Equations.
- Temme, N.M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
External links