Sine wave

사인파(sine wave), 또는 정편파(sinusoidal wave 또는 sinusoid)는 사인(sine) 삼각 함수(trigonometric function)로 정의된 수학적 곡선(mathematical curve)이며, 그 중 그래프(graph)입니다. 그것은 연속파(continuous wave)의 일종이고 역시 매끄러운(smooth) 주기 함수(periodic function)이기도 합니다. 그것은 수학(mathematics)뿐만 아니라 물리학(physics), 공학(engineering), 신호 처리(signal processing), 및 기타 여러 분야에서 자주 발생합니다.

Formulation

시간 (t)의 함수로서 가장 기본 형식은 다음과 같습니다: $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\sin(\omega t+\varphi )$ 여기서:

A, 진폭(amplitude), 영에서 함수의 정점 편차.
f, 보통 주파수(ordinary frequency), 1초마다 발생하는 진동 (사이클)의 개수(number).
ω = 2 $π$ f, 각 주파수(angular frequency), 초당 라디안(radians per second)의 단위에서 함수 인수의 변화율.
$\varphi$ , 위상(phase), 그것의 주기에서 진동이 t = 0에 있는 위치 (라디안 단위)를 지정합니다.
$\varphi$ 가 비-영일 때, 전체 파형이 시간에서 $\varphi /\omega$ 초만큼 이동한 것처럼 보입니다. 음수 값은 지연을 나타내고, 양수 값은 진행을 나타냅니다.

Sine wave

5 seconds of a 220 Hz sine wave. This is the sound wave described by a sine function with f = 220 oscillations per second.

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The oscillation of an undamped spring-mass system around the equilibrium is a sine wave.

사인파는 같은 주파수와 임의적인 위상과 크기의 또 다른 사인파에 더해질 때 그것의 파형 모양을 유지하기 때문에 물리학에서 중요합니다. 그것은 이 속성을 가지는 유일한 주기 파형입니다. 이 속성은 푸리에 해석(Fourier analysis)에서 그것의 중요성으로 이어지고 그것을 음향학적으로 독특하게 만듭니다.

General form

일반적으로, 그 함수는 다음을 포함할 수도 있습니다:

파동이 전파되는 차원 위의 위치를 나타내는 공간 변수 $x$ , 및 각 주파수(angular frequency) $\omega$ 와 선형 속력 (전파 속력(speed of propagation)) $v$ 사이의 비례성을 나타내는 파동 숫자(wave number) (또는 각 파동 숫자)라고 불리는 특성 매개변수 $k$ ;
비-영 중심 진폭, $D$

이것은 다음입니다:

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )+D$ , 파동이 오른쪽으로 움직이면
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )+D$ , 파동이 왼쪽으로 움직이면,

파동숫자는 다음에 의해 각 주파수와 관련됩니다: $k={\frac {\omega }{v}}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {2\pi }{\lambda }}$ 여기서 $\lambda$ (lambda)는 파동길이(wavelength), $f$ 는 주파수(frequency)이고, $\nu$ 는 선형 속력입니다.

이 방정식은 단일 차원에 대한 사인파를 제공합니다; 따라서 위에 주어진 일반화된 방정식은 단일 직선을 따라 시간 $t$ 에서 위치 $x$ 에서 파동의 변위를 제공합니다. 예를 들어, 이것은 철사를 따라 흐르는 파동의 값으로 고려될 수 있습니다.

2 공간 차원 또는 3 공간 차원에서, 같은 방정식은 위치 $x$ 와 파동숫자 $v$ 가 벡터로 해석되고, 그들의 곱이 점 곱(dot product)으로 해석되면 진행하는 평면파(plane wave)를 설명합니다. 돌을 떨어뜨린 후 연못에서 물결 높이와 같은 더 복잡한 파동에 대해, 더 복잡한 방정식이 필요합니다.

Cosine

정현파(sinusoid)라는 용어는 사인파의 특성을 가진 임의의 파동을 설명합니다. 따라서, 코사인파는 정현파(sinusoidal)라고도 말하는데. 왜냐하면 $\cos(x)=\sin(x+\pi /2)$ , 이는 $\pi /2$ 라디안(radians)의 위상-이동를 갖는 사인파이기도 합니다. 이 시작 머리(head start)로 인해, 코사인 함수가 사인 함수를 앞서거나 사인이 코사인보다 뒤처진다고 종종 말합니다. 이에 따라 정현파(sinusoidal)라는 용어는 임의의 위상 오프셋을 갖는 사인파와 코사인파를 집합적으로 참조합니다.

Occurrence

Illustrating the cosine wave's fundamental relationship to the circle.

이 파동 패턴은 종종 바람파, 음파, 및 광파를 포함하여 자연에서 발생합니다.

사인파는 고조파(harmonics)를 가지지 않는 단일 주파수(frequency)의 표현이기 때문에 인간의 귀는 단일 사인파를 명확하게 들리는 것으로 인식할 수 있습니다.

인간의 귀에는, 둘 이상의 사인파로 만들어진 소리가 인지할 수 있는 고조파를 가질 것입니다; 다른 사인파의 추가는 다른 파형을 초래하고 따라서 소리의 음색(timbre)을 변경합니다. 기본적인 것 외에 더 높은 고조파의 존재는 음색의 변화를 유발하며, 이것이 다른 악기에서 연주되는 같은 음표(musical note) (같은 주파수)가 다르게 들리는 이유입니다. 다른 한편으로, 소리에 사인파 (주기적임)와 함께 비-주기적 파동이 포함되어 있으면, 잡음(noise)이 비-주기적이거나 비-반복적인 패턴을 갖는 것으로 특징지어지기 때문에 소리가 시끄럽게 인식됩니다.

Fourier series

Sine, square, triangle, and sawtooth waveforms

1822년, 프랑스 수학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier)는 정현파가 사각파(square waves)를 포함한 임의의 주기적 파형을 설명하고 근사화하기 위한 간단한 빌딩 블록으로 사용될 수 있음을 발견했습니다. 푸리에는 그것을 파동과 열 흐름 연구에서 해석적 도구로 사용했습니다. 그것은 신호 처리(signal processing)와 시간 급수(time series)의 통계적 해석에 자주 사용됩니다.

Traveling and standing waves

사인파는 분산 선형 시스템(distributed linear systems)에서 형태를 바꾸지 않고 전파되기 때문에, 파동 전파(wave propagation)를 분석하기 위해 자주 사용됩니다. 공간에서 두 방향으로 진행하는 사인파는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다: $u(t,x)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$

같은 진폭(amplitude)과 주파수(frequency)를 가지고, 반대 방향으로 진행하는 두 개의 파동이 서로 중첩(superpose)될 때, 정상파(standing wave) 패턴이 생성됩니다. 뽑아낸 끈에서, 간섭파는 끈의 고정된 끝점에서 반사된 파동임을 주목하십시오. 그러므로, 정상파는 특정 주파수에서만 발생하며, 이것은 공진(resonant) 주파수로 참조되고 기본 주파수와 고조파(harmonics)로 구성됩니다. 끈의 공진 주파수는 고정된 끝 사이의 길이; 현의 장력(tension)에 비례합니다; 그리고 끈의 단위 길이당(per unit length) 질량에 반비례합니다.

Sine wave

Formulation

General form

Cosine

Occurrence

Fourier series

Traveling and standing waves

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