Tangent vector

Original article: w:Tangent vector

For a more general, but more technical, treatment of tangent vectors, see Tangent space.

수학(mathematics)에서, 접 벡터(tangent vector)는 주어진 점에서 곡선 또는 표면에 접하는 벡터(vector)입니다. 접 벡터는 Rⁿ에서 곡선의 맥락에서 곡선의 미분 기하학에 설명되어 있습니다. 보다 일반적으로, 접 벡터는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)의 접 공간(tangent space)의 원소입니다. 접 벡터는 싹틈(germs)의 측면에서도 설명될 수 있습니다. 형식적으로, 점 $x$에서 접 벡터는 $x$에서 싹틈의 집합에 의해 정의된 대수의 선형 유도(derivation)입니다.

Motivation

접 벡터의 일반적인 정의를 진행하기 전에, 우리는 미적분(calculus)과 그것의 텐서(tensor) 속성에서의 사용을 논의합니다.

Calculus

$\mathbf {r} (t)$를 매개변수 매끄러운 곡선(smooth curve)이라고 놓습니다. 접 벡터는 $\mathbf {r} '(t)$에 의해 주어지며, 여기서 매개변수 t에 관한 미분을 나타내기 위해 보통의 점 대신 프라임을 사용했습니다. 단위 접 벡터는 다음과 같이 지정됩니다: $$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.$$

Example

$\mathbb {R} ^{3}$에서 다음 곡선이 주어지면, $$\mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}$$ $t=0$에서 단위 접 벡터는 다음에 의해 주어집니다: $$\mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.$$

Contravariance

만약 $\mathbf {r} (t)$가 n-차원 좌표 시스템(n-dimensional coordinate system) xⁱ (여기서 인덱스로 보통의 아래첨자 대신 위첨자를 사용함)에서 $\mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))$에 의해 또는 다음에 의해 매개변수적으로 주어지면, $$\mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,$$ 접 벡터 필드 $\mathbf {T} =T^{i}$는 다음에 의해 제공됩니다: $$T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.$$ 다음과 같은 좌표의 변경 아래에서 $$u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n$$ uⁱ-좌표 시스템에서 접 벡터 ${\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}$는 다음에 의해 제공됩니다: $${\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}$$ 여기서 아인슈타인 합 표기법(Einstein summation convention)을 사용했습니다. 그러므로, 매끄러운 곡선의 접 벡터는 좌표의 변경 아래에서 차수 일의 반변(contravariant) 텐서로 변환될 것입니다.

Definition

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$를 미분-가능 함수라고 놓고 $\mathbf {v}$를 $\mathbb {R} ^{n}$에서 벡터라고 놓습니다. 우리는 다음과 같이 점 $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$에서 $\mathbf {v}$ 방향의 방향 도함수를 정의합니다: $$\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.$$ 그런-다음 점 $\mathbf {x}$에서 접 벡터는 다음으로 정의됩니다: $$\mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.$$

Properties

$f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$를 미분-가능 함수라고 놓고, $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$를 $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$에서 $\mathbb {R} ^{n}$에 있는 접 벡터라고 놓고, $a,b\in \mathbb {R}$라고 놓습니다. 그런-다음

1. $(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)$
2. $\mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)$
3. $\mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.$

Tangent vector on manifolds

$M$을 미분-가능 매니폴드라고 놓고 $A(M)$을 $M$ 위에 실수-값 미분-가능 함수의 대수라고 놓습니다. 그런-다음 매니폴드에 있는 점 $x$에서 $M$에 대한 접 벡터는 유도(derivation) $D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R}$에 의해 제공되며, 이는 선형이어야 합니다 — 즉, 임의의 $f,g\in A(M)$와 $a,b\in \mathbb {R}$에 대해 다음을 가집니다:

$D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.$

유도는 정의에 따라 다음과 같은 라이프니츠 속성을 가짐을 주목하십시오:

$D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.$

See also

• Differentiable curve § Tangent vector
• Differentiable surface § Tangent plane and normal vector

Bibliography

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press.
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole.
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill.