Trigonometric integral

수학에서, 삼각 적분(trigonometric integrals)은 삼각 함수를 포함하는 적분(integral)의 가족(family)입니다.

Sine integral

다른 사인(sine) 적분 정의가 있습니다:

\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt

\operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.

피적분 $sin x$ / $x$ 은 싱크 함수(sinc function)이고, 역시 0번째 구형 베젤 함수(spherical Bessel function)임에 주목하십시오. $sinc$ 는 짝수(even) 전체 함수(entire function) (전체 복소 평면에 걸쳐 정칙(holomorphic))이므로, $Si$ 는 전체, 홀수, 및 그것의 정의에서 적분은 끝점을 연결하는 임의의 경로(any path)를 따라 취할 수 있습니다.

정의에 의해, $Si(x)$ 는 그의 값이 $x = 0$ 에서 영인 $sin x$ / $x$ 의 역도함수(antiderivative)이고, $si(x)$ 는 그의 값이 $x = \infty$ 에서 영인 역도함수입니다. 그들의 차이는 디리클레 적분(Dirichlet integral)에 의해 주어집니다:

\operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad

또는

\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.

신호 처리(signal processing)에서, 사인 적분의 진동은 싱크 필터(sinc filter)를 사용할 때 오버슈트(overshoot) 및 링잉 아티팩트(ringing artifacts)를 초래하고, 만약 잘린 싱크 필터를 저역-통과 필터(low-pass filter)로 사용하면 주파수 도메인(frequency domain) 울림이 발생합니다.

깁스 현상(Gibbs phenomenon)과 관련이 있습니다: 만약 사인 적분이 헤비사이드 계단 함수(heaviside step function)와 함께 싱크 함수의 합성곱(convolution)으로 여겨지면, 이것은 깁스 현상의 원인인 푸리에 급수(Fourier series)를 자르는 것에 해당합니다.

Cosine integral

다른 코사인(cosine) 적분 정의는 다음입니다:

\operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,

\operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,

여기서 $γ$ ≈ 0.57721566 ...는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다. 일부 교과서는 $Ci$ 대신에 $ci$ 를 사용합니다.

$Ci(x)$ 는 $cos x / x$ 의 역도함수입니다 (이것은 $x\to \infty$ 로 사라집니다). 두 정의는 다음에 의해 관련됩니다:

\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.

$Cin$ 는 짝수(even), 전체 함수(entire function)입니다. 해당 이유에 대해, 일부 교과서는 $Cin$ 를 주요 함수로 취급하고, $Cin$ 의 관점에서 $Ci$ 를 유도합니다.

Hyperbolic sine integral

쌍곡 사인(hyperbolic sine) 적분은 다음으로 정의됩니다:

\operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.

그것은 보통의 사인 적분을 다음에 의해 관련시킵니다:

\operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).

Hyperbolic cosine integral

쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 적분은 다음입니다:

\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,

여기서 $\gamma$ 는 (오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다.

그것은 다음 급수 전개를 가집니다:

\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).

Auxiliary functions

삼각 적분은 소위 "보조 함수(auxiliary functions)"의 관점에서 이해될 수 있습니다:

{\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\mathrm {d} t&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t&=&\quad \operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\qquad {\text{ and }}\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\mathrm {d} t&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}

이들 함수를 사용하여, 삼각 적분은 다음으로 다시-표현될 수 있습니다: (참조. 아므라모이츠(Abramowitz) & 스테근(Stegun), p. 232)

{\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}

Nielsen's spiral

$si , ci$ 의 매개변수 플롯에 의해 형성된 나선(spiral)은 닐슨의 나선으로 알려져 있습니다.

x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)

y(t)=a\times \operatorname {si} (t)

나선은 프레넬 적분(Fresnel integral) 및 오일러 나선(Euler spiral)과 밀접하게 관련됩니다. 닐슨의 나선은 비전 처리, 도로와 트랙 건설 및 다른 분야에 응용을 가집니다.^{[citation needed]}

Expansion

다양한 전개가 삼각 적분의 평가에 대해 사용될 수 있으며, 인수의 치역에 의존합니다.

Asymptotic series (for large argument)

\operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)

\operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.

이들 급수는, 비록 평가에 대해 사용될 수 있고 $ℜ(x) ≫ 1$ 에서 훨씬 정확히 평가될지라도, 점근적(asymptotic)이고 발산입니다.

Convergent series

\operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots

\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots

이들 급수는 임의의 복소수에서 수렴이며, 비록 $| x | ≫ 1$ 일지라도, 그 급수는 처음에는 느리게 수렴할 것이며, 높은 정밀도에 대해 많은 항을 요구합니다.

Derivation of Series Expansion

$\sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\,...$ (매클로린 급수 전개)

${\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\,...$

$\therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\,...$

Relation with the exponential integral of imaginary argument

다음 함수는

\operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0

지수 적분(exponential integral)이라고 불립니다. 그것은 $Si$ 및 $Ci$ 와 밀접하게 관련됩니다:

\operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.

각각의 관련된 함수는 인수의 음의 값을 잘라내는 것을 제외하고 해석적이므로, 관계의 유효성의 영역은 확장되어야 합니다 (이 범위를 벗어나면, $π$ 의 정수 인수인 추가적인 항이 표현에 나타납니다).

일반화된 적분-지수 함수의 허수 인수의 경우는 다음입니다:

\int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,

이것은 다음의 실수 부분입니다:

\int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,\operatorname {d} x=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.

비슷하게

\int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,\operatorname {d} x=1+ia\left[-{\frac {\;\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.

Efficient evaluation

수렴 테일러 급수의 파데 근사(Padé approximant)는 작은 인수에 대해 함수를 평가하는 효율적인 방법을 제공합니다. 다음 공식은, 로우 등. (2015)에 의해 제공되었으며,^[1] $0 \leq x \leq 4$ 에 대해 $10 -16$ 보다 더 좋게 정확합니다:

{\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}

그 적분은 보조 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 을 통해 간접적으로 평가될 수 있으며, 이것은 다음에 의해 정의됩니다:

$\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)$		$\operatorname {Ci} (x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)$
or equivalently
$f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)$		$g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)$

$x\geq 4$ 에 대해, 아래에 주어진 파데 유리 함수(Padé rational functions)는 10⁻¹⁶보다 작은 오차를 갖는 $f(x)$ 와 $g(x)$ 를 근사화합니다:^[1]

{\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}

References

^ ^a ^b Rowe, B.; et al. (2015). "GALSIM: The modular galaxy image simulation toolkit". Astronomy and Computing. 10: 121. arXiv:1407.7676. Bibcode:2015A&C....10..121R. doi:10.1016/j.ascom.2015.02.002.

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 5". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 231. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

External links

http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
"Integral sine", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Integral cosine", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[RoweEtAl2015-1] Rowe, B.; et al. (2015). "GALSIM: The modular galaxy image simulation toolkit". Astronomy and Computing. 10: 121. arXiv:1407.7676. Bibcode:2015A&C....10..121R. doi:10.1016/j.ascom.2015.02.002.

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