각의 등분선

See also: Angle bisector theorem

중선 정리와 함께 간혹 혼동되는 것이 각의 이등분선입니다. 여기서는 일반적인 각의 등분선의 특징에 대해 논의를 하고, 자주 이용되는 각의 이등분선에 대해 결과를 알아보겠습니다.

내각의 등분선

$\triangle \mathrm {ABC}$에서 $\angle \mathrm {A}$를 $\angle \alpha$와 $\angle \beta$로 나누어진다고 할 때, $\triangle \mathrm {ABN}$의 넓이 $\mathrm {S} _{1}$과 $\triangle \mathrm {ACN}$의 넓이 $\mathrm {S} _{2}$는 다음과 같이 구해집니다.

$\mathrm {S} _{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {AB\cdot AN} \sin \alpha$

$\mathrm {S} _{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {AC\cdot AN} \sin \beta$

한편, $\triangle \mathrm {ABN}$과 $\triangle \mathrm {ACN}$의 꼭짓점 $\mathrm {A}$에서 변 $\mathrm {BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm {H}$라 하면, 높이 $\mathrm {AH}$가 서로 같기 때문에 밑변의 비가 곧 넓이의 비입니다.

$\mathrm {S} _{1}:\mathrm {S} _{2}=\mathrm {BN} :\mathrm {CN}$

${\frac {1}{2}}\mathrm {AB\cdot AN} \sin \alpha :{\frac {1}{2}}\mathrm {AC\cdot AN} \sin \beta =\mathrm {BN} :\mathrm {CN}$

$\mathrm {AB} \sin \alpha :\mathrm {AC} \sin \beta =\mathrm {BN} :\mathrm {CN}$

내각의 이등분선

여기서 내분하는 각도가 서로 같아지면 다음의 비를 만족합니다.

$\mathrm {AB} :\mathrm {AC} =\mathrm {BN} :\mathrm {CN}$

외각의 등분선

$\triangle \mathrm {ABC}$에서 꼭짓점$\mathrm {A}$의 외각을 $\angle \alpha$와 $\angle \beta$로 나누어진다고 할 때, $\triangle \mathrm {ABE}$의 넓이 $\mathrm {S} _{1}$과 $\triangle \mathrm {ACE}$의 넓이 $\mathrm {S} _{2}$는 다음과 같이 구해집니다.

$\mathrm {S} _{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {AB\cdot AE} \sin(\pi -\beta )$

$\mathrm {S} _{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {AC\cdot AE} \sin \alpha$

여기서 $\sin(\pi -\beta )$는 삼각함수의 덧셈정리에 의해서 다음과 같이 간단히 할 수 있습니다.

${\begin{aligned}\sin(\pi -\beta )&=\sin \pi \cos \beta -\cos \pi \sin \beta \\&=\sin \beta \end{aligned}}$

한편, $\triangle \mathrm {ABE}$과 $\triangle \mathrm {ACE}$의 꼭짓점 $\mathrm {A}$에서 변 $\mathrm {BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm {H}$라 하면, 높이 $\mathrm {AH}$가 서로 같기 때문에 밑변의 비가 곧 넓이의 비입니다.

$\mathrm {S} _{1}:\mathrm {S} _{2}=\mathrm {BN} :\mathrm {CN}$

${\frac {1}{2}}\mathrm {AB\cdot AE} \sin \beta :{\frac {1}{2}}\mathrm {AC\cdot AE} \sin \alpha =\mathrm {BE} :\mathrm {CE}$

$\mathrm {AB} \sin \beta :\mathrm {AC} \sin \alpha =\mathrm {BE} :\mathrm {CE}$

외각의 이등분선

여기서 외분하는 각도가 서로 같아지면 다음의 비를 만족합니다.

$\mathrm {AB} :\mathrm {AC} =\mathrm {BE} :\mathrm {CE}$

응용예제

응용예제1

두 점 ${\rm {A,B}}$를 지나는 직선이 점 ${\rm {C(2,4)}}$를 지날 때, ${\overline {\rm {AC}}}=4{\sqrt {5}}$이고, 점 ${\rm {B}}$는 선분 ${\rm {CA}}$를 $1:3$으로 외분한다. 점 ${\rm {D(3,2)}}$와 두 점 ${\rm {A,B}}$를 이은 삼각형 ${\rm {ABD}}$의 넓이가 최대일 때, $\angle {\rm {B}}$의 이등분선의 $x$절편은? (단, 점 ${\rm {A}}$의 $x$좌표는 점 ${\rm {B}}$의 $x$좌표보다 크다).

$(1)\;\;-6-2{\sqrt {5}}$

$(2)\;\;-6+2{\sqrt {5}}$

$(3)\;\;-6-{\sqrt {5}}$

$(4)\;\;6-2{\sqrt {5}}$

$(5)\;\;6+2{\sqrt {5}}$

해설: mowoum:각의_등분선#응용예제1