계차수열

See also: Recurrence relation

영어권에서는 difference equation으로 부르는 것으로 보이며, 계차수열은 어디서 만든 용어인지 확인이 되지 않았습니다.

수학에서, 수열의 계차수열은 어떤 수열의 인접하는 두 항의 차이로 이루어지는 수열을 말합니다. 예를 들어 수열

1, 4, 9, 16, ... , n², ...

의 계차수열은 그의 계수의 차이: 4−1=3, 9−4=5, 16−9=7, ..., (n + 1)² − n²=2n + 1, ...에 의해 다음과 같이 쓰일 수 있습니다:

3, 5, 7, ... , 2n + 1, ...

그래서 수열 {a_n}의 계차수열의 일반항은 a_n+1 − a_n로 쓰입니다.

Relationship to difference equations narrowly defined

실수의 순서화 수열(sequence) $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$이 주어지면: 일차 차이(first difference) $\Delta (a_{n})$는 다음으로 정의됩니다:

$\Delta (a_{n})=a_{n+1}-a_{n}$

이차 차이(second difference) $\Delta ^{2}(a_{n})$는 다음으로 정의됩니다:

$\Delta ^{2}(a_{n})=\Delta (a_{n+1})-\Delta (a_{n})$,

이것은 다음으로 간단히될 수 있습니다:

$\Delta ^{2}(a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}$

보다 일반적으로: $\Delta ^{k}(a_{n})$으로 쓰이는 수열 a_n의 k^차 차이는 다음으로 재귀적으로 정의됩니다:

$\Delta ^{k}(a_{n})=\Delta ^{k-1}(a_{n+1})-\Delta ^{k-1}(a_{n})=\sum _{t=0}^{k}{\binom {k}{t}}(-1)^{t}a_{n+k-t}$

(수열과 그의 차이는 이항 변환(binomial transform)에 의해 관계됩니다.) 차이 방정식(difference equation)의 보다 제한적인 정의는 a_n과 k^차 차이로 구성된 방정식입니다. (널리 사용되는 더 넓은 정의는 "차이 방정식"을 "재귀 관계"와 동의어로 취급합니다. 예를 들어 유리수 차이 방정식(rational difference equation) 그리고 행렬 차이 방정식(matrix difference equation)을 참조하십시오.)

계차수열의 일반항

수열 $\{a_{n}\}$의 계차수열을 $\{b_{n}\}$이라고 놓습니다. 두 수열 사이의 관계는 다음으로 알 수 있습니다.

$\{a_{n}\}\;:\;a_{1},\quad a_{2},\quad a_{3},\quad a_{4},\quad a_{5},\cdots$

$\{b_{n}\}\;:\;\;\;\;\;\;\;b_{1},\quad b_{2},\quad b_{3},\quad b_{4},\cdots$

여기에서 원래 수열의 항을 구하는 것을 고려한다면, 정의로부터 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$a_{2}=a_{1}+b_{1}$

$a_{3}=a_{2}+b_{2}=a_{1}+(b_{1}+b_{2})$

$a_{4}=a_{3}+b_{3}=a_{1}+(b_{1}+b_{2}+b_{3})$

이와 같은 방식으로 추론해 볼 때 다음과 같은 결론에 이를 수 있습니다:

만약 $n\geq 2$이면, $a_{n}=a_{1}+(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n-1})$입니다.

이 식을 시그마 기호를 이용해서 나나태면 다음과 같습니다:

$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}$

이런 관계식은 원래 수열로부터 계차수열은 쉽게 구할 수 있기 때문에, 계차수열의 일반항으로부터 원래 수열의 일반항을 구하는 것이 좀 더 어렵습니다. 그렇기 때문에 계차수열의 합이 구할 수 있어야 원래 수열의 일반항을 구할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

수열 $\{a_{n}\}$은 $a_{1}=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여

$\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)=-n^{2}+n$

을 만족시킨다. $a_{11}$의 값은? [3점] [2021학년도 수능 나형 12번]

해설: mowoum:계차수열#응용예제1