공간벡터의 내적

점 곱의 정의는 달라지지 않습니다. 단지 성분은 하나 늘어나기 때문에, 해당하는 연산이 늘어날 뿐입니다.

영벡터가 아닌 두 공간벡터 ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ , ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ 에 대해, 그의 점 곱은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta \\&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\end{aligned}}

벡터의 내적의 연산법칙

공간벡터는 그의 성분이 하나 늘어날 뿐입니다.

영벡터가 아닌 두 벡터 ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ , ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta \;(0\leq \theta \leq \pi )$ 라 하면

\cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}

여기서,

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}

|{\vec {b}}|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

영벡터가 아닌 두 공간벡터 ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ , ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ 에 대해

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\pm |{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|=\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}{\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}

내적은 실숫값이며, 내적의 최댓값은 두 벡터가 같은 방향으로 놓일 수 있으면 그 때가 항상 최대입니다.
벡터 관계식의 절댓값은 양변을 제곱해서 구합니다. 예를 들어 $\left|{\vec {x}}-{\vec {p}}\right|=k$ 를 구할 때는 구하는 값을 $k$ 로 두고 양변을 제곱해서 내적 관계를 이용해서 풀 수 있습니다.
도형에서 내적을 응용한 문제는 육면체 계열은 원점을 아래쪽 안쪽에 두고 좌표로 계산하는 것이 일반적으로 좋습니다.

정사면체는 좌표로 만들 경우 꼭짓점의 위치가 무리수가 나오기 때문에 사잇각을 알고 있는 벡터로 나타내어서 계산하는 것이 편합니다. 즉, 위의 꼭짓점에서 아래쪽의 세 개의 꼭짓점으로 이르는 벡터를 두면 각각의 사잇각이 $60^{\circ }$ 이기 때문에 다른 벡터를 이 세 개의 벡터의 내적 관계로 표현하는 것이 계산이 편해집니다.

정사면체나 정팔면체를 아래 위로 붙이면 꼭짓점이 서로 한직선위에 놓이는 것을 이용할 수 있습니다.
같은 평면 내부에서 교점을 벡터로 표현할 경우에는 연립으로 풀면 시간이 오래걸리므로 비값으로 계산할 수 있는지 우선적으로 고려해 봅니다.
구와 접하거나 구를 통과하는 평면은 구의 중심에서 접점이나 교선인 원의 중심사이의 벡터가 수직 벡터가 됩니다.
보통 내적의 최댓값과 최솟값의 문제는 두 벡터 사이의 각도가 $90^{\circ }$ 가 넘지 않을 때에는 기준이 되는 벡터(값이 변하지 않는 벡터)로 수선을 발을 내렸을 때 선분의 길이가 가장 긴 경우가 최댓값이 되며, 길이가 가장 짧은 경우가 최솟값이 됩니다. 각도가 $90^{\circ }$ 가 넘는 경우에는 수선의 발을 내렸을 때 길이가 가장 긴 것이 최솟값이 됩니다.