공통근

Main article: Polynomial greatest common divisor

공통근은 실계수 다항방정식 2개가 같은 근을 가질 때, 이를 공통근(또는 공통해)이라고 부릅니다. 다항방정식이 공통근을 갖는다는 것은 다항식이 공통 인수를 가짐을 의미합니다. 즉, 두 다항식 $f(x),g(x)$의 공통 인수를 $G(x)$라고 하면, 다음과 같이 쓸 수 있음을 의미합니다:

$f(x)=G(x)\cdot f_{1}(x),\;g(x)=G(x)\cdot g_{1}(x)$

공통근을 구할 때에 주어진 두 식중에 한 개라도 근을 구할 수 있다면, 구해진 근을 공통근으로 추측해서 문제를 풀어 나갈 수 있습니다.

그러나 두 식에 미지수가 있어서 근을 구할 수 없는 경우, 즉 다항식 중에서 어느 것도 인수분해가 되지 않으면, 주어진 두 식을 변형해서, 인수분해가 가능한지 여부를 확인할 수 있습니다. 이때 주어진 두 다항식을 더하거나 빼는 방법을 자주 이용하는데, 왜냐하면 두 다항식의 합과 차도 여전히 원대 두 다항식의 공통 인수를 갖기 때문입니다:

$f(x)+g(x)=G(x)\cdot \left\{f_{1}(x)+g_{1}(x)\right\}$

$f(x)-g(x)=G(x)\cdot \left\{f_{1}(x)-g_{1}(x)\right\}$

응용예제

응용예제1

두 이차방정식 $x^{2}+2ax+1=0,x^{2}+2x+a=0$이 단 한개의 공통근을 갖도록 하는 $a$의 값을 구하여라. (단, 중근의 공통근은 2개의 공통근으로 간주한다.)

해설) mowoum:공통근#응용예제1

응용예제2

최고차항의 계수가 1인 다항식 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f\left(x^{2}\right)$과 $x^{3}f(x)$는 같은 차수의 다항식이다.

(나) $f\left(x^{2}\right)$과 $f(x)$는 모두 $(x+3)$으로 나누어떨어진다.

3이 아닌 정수 $k$에 대하여 $f\left(x^{2}\right)$와 $f(x)$가 모두 $x+k$로 나누어떨어지도록 하는 모든 $k$의 합은?

해설: mowoum:공통근#응용예제2

응용예제3

두 삼차방정식

$x^{3}-2x^{2}+mx+8=0,\;x^{3}+2x^{2}+nx+1=0$

이 한 개의 정수해를 공통으로 가지고, 나머지 근은 모두 허수일 때, 허수인 모든 근들의 합을 구하시오. (단, $m,\;n$은 정수이다.)

해설: mowoum:공통근#응용예제3

응용예제4

한 근이 $1-{\sqrt {2}}i$인 삼차방정식 $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$과 이차방정식 $x^{2}+ax+2=0$이 하나의 공통근을 가질 때, 세 실수 $a,b,c$에 대하여 $abc$의 값을 구하시오. (단, $i={\sqrt {-1}}$)

해설: mowoum:공통근#응용예제4